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模糊集理论
H.-J. Zimmermannlowast;
自1965年建立以来，模糊集理论在许多学科、领域中都有着重大进展。可以发现这个理论被应用，例如，在人工智能、计算机计算机科学、医学、工程控制、决策理论、专家系统、逻辑、管理科学、运筹学、模式识别、机器人技术。数学的发展进程已经到了一个很高的标准，但仍然是永无止境的。在这篇综述中，模糊集理论的基本数学框架将被描述，以及这一理论的重要应用和技术。模糊集理论自1992年以来，它的神经网络理论和进化规划领域因“计算智能”或“软计算”而知名。这些领域之间的关系自然变得非常密切。然而，在这篇综述中，我们将主要集中在模糊集理论。我们将会对模糊集理论的应用会和大量实际问题的联系，给出一些参考。即使是一个部分，他们也肯定会超出这个评论的范围。
我们传统的形式化建模，推理和计算的传统工具是清晰的，确定性的，和精确的字符。在集合论中，一个元素既属于一个集合，也可以不属于。最优化的一个解是可行的或不可行的。精度假定一个模型的参数准确地代表已建模的实际系统。这一点，一般来说，也意味着该模型是明确的，即，它不包含模糊关系。最终表明我们认为是肯定的，对于他们的价值观模型参数发生是没有疑问的。不幸的是，这些假设和信念是不合理的，如果它是重要的，该模型描述现实（既不脆也不一定）。此外，完整的描述一个真正的系统的往往需要比人类所能认知，其过程需要更详细的资料，并加以了解。这种情况已经过去的哲学家所认知。
1923年，哲学家罗素提到的第一点，他写道：“所有的传统逻辑习惯，假设正在使用普瑞森符号。 它是，因此，不适用于这个地球上的生命只是想象中的天体的存在。1扎德称第二点，当他写道：“因为一个系统的复杂性增加，我们对做出精确及显著的行为的能力减少，直到达到一定的门槛，超越其精度和意义（或关联）几乎成为相互排斥的特性。2很长一段时间，概率论与数理统计成为现实模型不确定性的主要理论和工具。3，他们是基于所有的正式理论，在一定合理的公理假设下，这是很难测试的，当这些理论应用于现实。在此期间，超过20个其他的不确定性理论已被开发，5它们部分相互矛盾，部分却相得益彰。模糊集理论是这些理论中的一个理论，它最初的目的是将双重逻辑和/或经典集合论延伸。在过去的十年中，它已经朝一个强大的模糊数学的方向发展。然而，当它被使用时，作为一种工具，模型的现实优于传统的理论。在下面的章节中，有6个实证检验是非常可取的，对于非正常的理论，在现实中验证理论的一些尝试将被总结。
历史
一个简短的历史回顾可能是有用的，以更好地了解这一理论的性质和动机。通过zadeh7和goguen8模糊集理论中的第一个出版物显示作者的意图，去总结一套适应模糊命题。在某种意义上说，它是包含在人类的语言中，这是经典的概念，在人类的判断、评价和决策。Zadeh写道：“一个模糊集的概念提供了一个方便的点为一个概念性的框架，在许多方面和用在普通情况下的框架建设是相似的，但比后者更一般的、潜在的、可能具有更广泛的适用范围，特别是在模式识别领域中的信息处理。从本质上讲，这样的框架提供了一个解决问题的自然方式，是不精确的来源是严格定的而不是标准的随机变量”。7“不精确”在这里是指模糊的意识而不是对一个参数值，知识缺乏（如在公差分析中）。模糊集合论提供了一个严格的数学框架（模糊集合论中没有什么是模糊的！）其中模糊的概念现象，也可以精确和严格的研究。它也可以适用于一种建模朗适用范围，适用于模糊关系，标准的情况下，和现象的存在。这一理论的接受在上个世纪60年代至70年代开始缓慢增长。然而，在20世纪70年代，第一个成功的实际应用在控制技术过程方面，通过建立模糊规则为基础的系统，称为模糊控制（加热系统，水泥厂等），推进了市场在这方面的浓厚兴趣。成功的应用，特别是在日本，在洗衣机、摄像机、起重机、地铁列车，并且引发了上世纪80年代的进一步关注和研究，1984已经存在约4000的出版物。在2000年超过30000。粗略地说，在过去的几十年中，模糊集理论已经发展了一条线：
1.作为一个正式的理论，当成熟，变得更加复杂和复杂，并扩大了原来的想法和概念，以及“拥抱”经典数学领域，如代数，11、图论、拓扑等，推广或“模糊化”它们。这种发展仍在进行中。
2.作为一个应用“模糊技术”，即作为一种工具来建模，解决问题，和数据挖掘已被证明优于在许多情况下的现有方法，在其它方面对于经典方法有吸引力的添加。
在1992年，在欧洲，日本和美国的三次会议，三个领域的模糊集理论，神经网络，进化计算（遗传算法）加入部队和已知的计算机智能。8,12,13以类似的方式，“软计算”被用来大量处理处理不确定性和不精确性。
数学理论与经验证据
基本定义和操作
模糊集合论的公理基础是流形。哥特瓦尔德提供了一个很好的复习。14–16我们致力于理论本身的元素：
定义1 如果x是一个对象的集合，表示一般的X，然后一个模糊集Xtilde;是一套有序对:
Atilde; = .(x, micro;Atilde; (x)|x isin; X). (1)
micro;一tilde;（x）称为隶属度函数（广义特征函数）将X的会员空间m范围的子集非负实数的上确界是有限的。为支持micro;一tilde;（x）= 1：模糊集。
在定义1中，模糊集的隶属函数是一个清脆的（真值）函数。Zadeh模糊集合中定义了隶属函数本身是模糊集。这些集合可以定义如下：
定义2 M型模糊集是模糊集的隶属度值的M型minus;1，m＞1，模糊集在[ 0，1 ]。
因为在集合le;M R的模糊化的终止是任意的或难以自圆其说，hirota17定义模糊集的隶属度函数这是逐点的概率分布的概率集合。
定义3 一个概率set17 X上定义一个函数定义micro;，
micro;A : X times; K s (x, omega;) → micro;A(x, omega;) isin; KC(2)
and (KC, BC) = [0, 1] are Borel sets.
定义4 一种语言variable2是由五（x，t（x），U，G，Mtilde;），其中X是变量的名字，T（x）（简称T）表示集合X，这是长期的，对X的这些值中的每一个语言值的名称设置为模糊变量，一般表示X和U的论域范围，这是与基础变量u相关；G是一个句法规则（通常有一个语法形式）产生的名字，X，X的值，m是一个与X语义关联的值。Mtilde;（x）是U的一个模糊子集 . 一个特殊的times;，即一个名字产生的克，被称为一个术语（例如，图1）。
当然，模糊集在图1中表示的语言变量的“年龄”的值可能会更恰当地被连续模糊集。
定义5 一个模糊数mtilde;是凸模糊集Mtilde;实直线R上的，
1.它存在一个x0isin;Rmicro;Mtilde;（x0）= 1（x0叫做Mtilde;平均值）。
2.micro;Mtilde; (x) is piecewise continuous.
杜布瓦和prade9定义LR模糊数如下：
定义6 一个LR型的模糊数mtilde;，存在参考函数L（左）和R（右），和标量alpha;gt; 0，beta;gt; 0
一些其他有用的定义如下：
定义7 一个模糊集的支持Atilde; , S(Atilde; ) 是所有 x isin; X 的脆集，例如 micro;Atilde; (x) gt; 0.
脆）集的元素，属于模糊集Atilde; ，至少在一定程度上alpha;被叫做alpha;的水平集：
定义8 模糊集 Atilde; 是凸的如果
或者，如果所有的水平集是凸的，模糊集是凸的。
定义9 对于一个模糊集 Atilde; ,基数|Atilde; | 被定义为
|X| 被称为一个Atilde; .相对基数
模糊集的运算模糊测度与模糊测度的各种定义。感兴趣的读者可以参考文献18–21。
在他的第一次出版，zadeh7定义以下行动模糊集集的泛化和脆脆的陈述（读者应该认识到集合操作连接，对应于逻辑运算符和工会和补充，或否定）：
定义 10 交叉（逻辑和） : 模糊集 Atilde;和 Btilde; 被定义为:
micro;Atilde; cap;Btilde; (X) = Min(micro;Atilde; (X), micro;Btilde; (X))forall;x isin; X (8)
定义11联盟（或专有）：该联盟的成员函数被定义为：
micro;Atilde; cup;Btilde; (X) = Max(micro;Atilde; (X), micro;Btilde; (X))forall;x isin; X （9）
定义 12补充（否定）：该补充的关系功能被定义为：
micro;Atilde; (X) = 1 minus; micro;Atilde; (X)forall;x isin; X （10）
Linguistic variable
Very young
Values of age
Age
Young
Very old
Old
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Age
Base variable
FIGURE 1 | Linguistic variable lsquo;Agersquo;.2
1
5 10
FIGURE 2 | LR-representation of a fuzzy number.
这些定义后来被扩展。“逻辑与”（交叉口也可以被建模为一个t-norm18,21–28 或（联盟）为变。这两种类型是单调的，交换的，和联想。
非参数的准则和T-conorms的典型的双对下面编译：
(1a) 激烈积:
(1b) 激烈和:
(2a) 有界差:
(13)
(2b) 有界和:
(14)
（3a) 爱因斯坦积:
t
(3b) 爱因斯坦和:
(4a) 尔积:
(4b) 尔和:
(5a) 最小:
(5b) 最大:
这些算法被定义如下:
tw le; t1 le; t1.5 le; t2 le; t2.5 le; t3 （21） (21)
s3 le; s2.5 le; s2 le; s1.5 le; s1 le; sw. (22)
也定义了一些参数化操作符，例如:
- 尔并集:
- Yager路口:
3.Yager并集
4..杜布瓦和普拉德路口:
- 并集
最后，一类的平均operators29的被定义，不具有的叔规范和叔conorms的数学性质。一个对于那些运营商的理由将在第实证研究给出。最有名的两个有以下几种
定义13：补偿和操作被定义如下：
实际上，一个与各自的t余模每个凸组合可以作为平均算子。
定义14 一个owa-operator30定义如下
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