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2.3基于VAR模型的结构分析
因为VAR模型代表一组变量之间的相关性，它们经常用来分析利益变量之间的关系的某些方面。在下文中，将讨论解释一个VAR模型的三种方式。他们都是密切相关的，并且都将指出的随后问题的困扰。
2.3.1 格兰杰因果关系、瞬时因果关系和多步骤因果关系
因果关系的定义
格兰杰(1969)定义了因果关系的概念，在合适的条件下，它在VAR模型的情况下是很容易处理的。因此近年来它非常流行。这个想法的意思是原因不可能在发生在影响之后。因此，如果一个变量x影响变量z，前者应该有助于提高后者变量的预测精度。
为了使这个想法形式化，假设是t时期里宇宙中包含所有相关信息的信息集合。让代表基于中的信息，在起始时间t最优(即最小MSE)的h 步 预测过程。相应的预测均方误差MSE记录为。我们称在格兰杰意义过程引起过程，如果满足
，至少有一个h=1，2，hellip;hellip; (2.3.1)
另外， 如果(2.3.1)成立，我们会说格兰杰导致 (或短暂引起)或是的格兰杰原因。在(2.3.1)里，表示一组除了的过去和现在的信息宇宙中所有相关的信息的过程。换句话说，如果可以更有效地预测信息且过程中的信息是除去的过去和现在宇宙中的所有信息，可以称是的格兰杰原因。
定义可以马上分别扩展到和的M，N维过程。在这种情况下，称格兰杰引起，如果有，对于某些t和成立 (2.3.2)
另外，这可以表示为要求这两个的均方误差是不同的以及
(即右手矩阵和左手矩阵的差别在于是否为半正定的。因为零矩阵也是半正定的，因此有必要另外要求两个矩阵是不完全相同的。如果导致并且也会引起，这个过程(，)称为一个反馈系统。
有的时候，“瞬时因果关系”运用在经济分析上。我们称和之间有瞬时因果关系，如果
(2.3.3)
换句话说，在时间t，将添加到信息集合有助于提高的预测。不久我们将会看到。这个因果关系的概念是对称的，也就是说，如果和之间有瞬时因果关系， 那么和之间有瞬时因果关系 (见命题2.3)。因此在上述定义中，我们没有使用“瞬时因果关系从到”这种概念。
对于上述定义，一种可能的批评联系到选择均方误差作为衡量预测精度的标准。当然，另一措施的选择可能会导致一个不同的因果关系的定义。然而，在以下情况中，均方误差相等意味着预测因子相等。在这种情况下，可以说不被格兰杰引起，如果的最优预测不使用过程中的信息。这个结果拥有直观的吸引力。
一个更严重的实际问题是信息设置的选择。通常在宇宙中所有相关的信息都是不可预测的，因此最优预测给定的不能确定。所以在实际中对因果关系的定义经常被较少的要求。不是宇宙中的所有信息，只有过去和现在的信息的过程在研究中被认为是相关的，还有可以被取代。此外，代替最优预测，将最佳线性预测进行比较。换句话说，基于中的信息被线性最小均方误差h步 预测结果代替，基于中的信息被线性最小均方误差h步 预测结果取代。下面，当“格兰杰因果”和“瞬时因果关系”被使用时，如果不是另有注明，这些限制性假设将被直接使用。
格兰杰因果的描述
为了确定k维VAR过程中各个变量之间的格兰杰因果关系，假设它符合规范的MA模型，
(2.3.4)
是一个白噪声过程与非奇异协方差矩阵。假设包括M维 过程和(Kminus;M)维 过程以及其MA值是相应分段的，
(2.3.5)
利用预测公式(2.2.10)，基于的一步最优预测是
(2.3.6)
因此，预测误差为
(2.3.7)
正如2.1.3节中提到的，平稳过程的子流程也有MA预测误差表示。因此，
(2.3.8)
其中和最后一个表达式是一个马氏预测误差表示。因此，只基于的最优一步预测是
(2.3.9)
和相应的预测误差
(2.3.10)
因此，预测(2.3.6)和(2.3.9)是相同的，当且仅当，对于所有的t。换句话说，预测结果相等相当于有MA表示
规范化MA过程的独特性表示和，对于i=1，2， hellip;hellip;因此，得到下面的命题。
命题2.2（格兰杰非因果关系的描述）
让是一个VAR过程就像在(2.3.4)/(2.3.5)中并有正则算子。然后
hArr;，对于i=1，2， hellip;hellip; (2.3.11)
因为我们刚刚使用MA，过程表示(2.3.4)，而不是它的有限阶VAR形式，命题不仅体现了VAR过程的有效性，而且更一般的过程有一个规范的MA表示例如(2.3.4)。从(2.2.10)可以看到很明显，一步预测结果相等意味着h步 预测结果也相等，对h = 2，3，hellip;hellip;.。因此，命题提供了一个充分必要条件不格兰杰引起，也就是说不被格兰杰引起，当且仅当，对于I =1，2， hellip;hellip;。因此，通过看的MA表示，格兰杰非因果关系可以被轻松地观察检查。因为我们主要关心VAR过程，值得注意的是，对于一个不变的，稳定的VAR(p)的过程
(2.3.12)
这种情况(2.3.11)只适用于当且仅当，对于I =1，hellip;hellip;p。
这个结果遵循在(2.1.22)中的递归性，或者的倒数是。
因此，我们得到下面的结论。
推论2.2.1
如果是一个稳定的VAR(p)过程(2.3.12)与非奇异的白噪声协方差矩阵，
，h=1，2hellip;..hArr;，对于I =1，2， hellip;hellip;p. (2.3.13)
或者，
，h=1，2hellip;..hArr;，对于I =1，2， hellip;hellip;p. (2.3.14)
这意味着非因果关系可以由系统的VAR表示看出。例如，对于过程(2.1.14)的例子，
。
不格兰杰引起 因为如果系数矩阵是根据(2.3.12)区分，则。另一方面，格兰杰引起。为了给出这个讨论，经济内容让我们假设系统中的变量是投资(y1)，收入(y2)和消费(y3)的利率变化。这些规范，前面的讨论表明，投资格兰杰引起消费/收入系统而反过来是不正确的。它也很容易检查消费导致收入/投资系统，反之亦然。请注意，迄今为止，我们只定义了格兰杰因果关系中的两组变量。因此，在这个阶段，我们不能讨论格兰杰因果关系中消费与收入之间的三维投资/收入/消费系统。
让我们假设例子中的变量VAR(2)过程(2.1.15)
代表了通货膨胀率(y1)和一些利率(y2)。使用推论2.2.1，它是显而易见的，通货膨胀导致的利率，反之亦然。因此，系统是一个反馈系统。在下面我们将参考(2.1.15)作为通货膨胀/利率体系。
瞬时因果关系的特征
为了在MA过程(2.3.5)的框架下研究瞬时因果关系的概念，重写这个表示是有用的。注意，正定对称矩阵可以写成产品，P是一个有正对角元素的下三角非奇异矩阵(见附录A.9.3)。因此，(2.3.5)可以表示为(2.3.15)，其中和是协方差矩阵为(2.3.16)的白噪声。
因为白噪声误差有不相关的部分，它们通常被称为正交残差或创新。
基于}的最佳一步预测，此外，对，等于基于 cup;的互译预测，也就是说， (2.3.17)，因此
当且仅当Theta;21，0 = 0。反过来，这种情况很容易看到当且仅当协方差矩阵是对角阵，他的((Kminus;M)times;M)块左下角为零和(Mtimes;(Kminus;M))块右上角为零。当然，这意味着u1t和u2t(2.3.5)是不相关的，即。从而证明以下命题。
命题2.3(瞬时因果关系的描述)
让如(2.3.5)/(2.3.15)有非奇异的协方差矩阵Sigma;u。那么和之间就没有瞬时因果关系当且仅当。 (2.3.18)
这个命题给瞬时因果关系提供了一个很容易检查的条件如果过程是MA或VAR形式。例如，投资收入/消费系统有白噪声协方差矩阵 (2.1.33)， 那么在（收入，消费）和投资之间不存在瞬时因果关系。
从命题2.2和2.3中， = (，)有正交型的表示像在(2.3.15)中一样有形式(2.3.19)，如果不格兰杰引起，此外， 和之间没有瞬时因果关系。在没有瞬时因果关系的情况下，类似的如果型不是被 格兰杰引起，有Theta;21(L)equiv;0的表示。
瞬时关系和格兰杰因果关系的讨论
在这一点上， 谨慎的看有些词看起来是合适的。“因果关系”这个词表明两组变量之间的因果关系。命题2.3表明，这样的解释是有问题的，对瞬时因果关系，因为这部分只描述了两组非零变量之间的相关性。它没有讨论任何关于因果关系。瞬时因果关系的方向不能来源于MA或VAR的表示但必须获得变量之间关系的更多知识。如下是这些知识可能存在的经济理论。
虽然因果关系的方向被定义与格兰杰因果关系有关联，其问题是缺乏从到因果关系的解释中的变量对将没有影响。看到这个考虑，例如，稳定的双变量VAR(1)系统(2.3.20)。
在此系统中，并不格兰杰影响通过推论2.2.1。然而，系统可能乘以一个满秩矩阵B。因此。。。注意，这只是另一个过程的表示(，)，而不是另一个进程。(读者可能检查过程(2.3.21)相同的方式和自协方差(2.3.20)。)
换句话说，系统的随机变量之间的相互关系可以表现为(2.3.20)或(2.3.21)虽然两个表征有不同的解释。如果2.3.21恰好代表了实际系统中正在进行的，的变化可能影响通过在第一个方程系数beta;。因此，缺乏格兰杰因果关系从一组变量的变量不能解释为缺乏因果关系。我们必须记住，VAR或MA代表特征集的随机变量的联合分布。为了得出因果关系，通常需要进一步假设评判有关变量之间的关系。我们将回到这个问题下面。
进一步的问题格兰杰因果的解释结果限制设置为只包含过去和现在的信息系统的变量而不是宇宙中所有信息。只有在宇宙中所有其他信息无关的问题，减少信息的设置是没有结果的。一些相关的问题将在下面讨论。
进一步的问题格兰杰因果的解释结果限制设置为只包含过去和现在的信息系统的变量而不是宇宙中所有信息。只有在宇宙中所有其他信息无关的问题，减少信息的设置是没有结果的。一些相关的问题将在下面讨论。
改变信息集
到目前为止已经假定信息集包含的变量或变量组只有我们想分析因果关系。通常我们感兴趣的是两个变量之间的因果关系在一个高维系统。换句话说，我们感兴趣的格兰杰因果分析的框架，信息集包含的不仅仅是变量的直接利益。在二元框架的两个变量信息集合是有限的利益，这是见过，如果前面的互译的预测一个变量不能通过使用信息的其他变量，同样适用于所有h步预测，h = 1，2，。
这个结果没有了如果信息集包含额外变量，根据L utkepohl(1993)。
说的更明确一些，假设向量时间序列，，和维度，，，分别是共同产生的一个VAR(p)的过程(2.3.22)。。。
左下角的A21的非零元素。注意，多步因果关系的定义和特征给出第一与第三个两套包含额外的变量。申请的定义和结果在当前的例子中，可能只是重新安排相应的变量。
除了这些扩展增加相关的信息，还有其他问题，可能使其难以解释格兰杰关系即使在双变量设置。让我们讨论一些他们的通货膨胀和利率体系。例如，可能产生影响的信息集合是否包含月度，季度和年度的数据。如果一个季度系统被认为是和没有找到因果关系从通胀利率并不意味着相应的月度利率分月通货膨胀率没有影响。换句话说，利率可能格兰杰引起通胀在月度系统即使它并不在季度系统。
此外，经季节性因素调整后的变量信息集合中使用未经调整的变量不一样。因此，如果发现格兰杰因果经季节性因素调整后的变量，它仍然是可能的，在实际的季节性系统利率不Granger引起通货膨胀。注释适用于测量误差的存在。最后，因果关系分析通常是基于估计而不是已知的系统。其他问题导致这种情况。我们将回到他们在下一章。
前面的重要讲话是为了提醒读者和多个时间序列分析对过度解读的证据一个VAR模型。不过，因果关系分析在实践中都是有用的工具，如果这些临界点是牢记。至少，告诉分析师格兰杰因果分析一组变量是否包含有用的信息对提高另一组的预测变量。因果
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