基于有限元的车辆结构失效分析
H. S. Kim and H. Huh*
韩国先进科技学院 机械工程系
摘要：本文主要讨论准静态载荷条件下车辆结构的失效问题。三维结构的有限元分析是基于塑性对偶定理制定的，考虑到了工作硬化条件下的结构连续变形。对于“s”形框架的失效分析是基于有限元分析程序和商业码ABAQUS开发。其结果在承载能力和变形方式预测方面表现出良好的一致性。实例研究还表明，所提出的方法可以用来识别结构的薄弱部分，还可以通过改变其设计，以提高承载能力，减少车辆乘客车厢扭曲。
关键词：三维有限元分析；失效分析；加工硬化；空间车辆结构；“s”形框架
前言
车辆结构的设计应该能够有效地吸收动能以保证良好的耐撞性能。为了改善这一特性，在初始设计阶段，车辆的承载能力和失效模式必须以简单模型为基础进行估计。在最初的设计阶段，利用有限元分析，车辆的研发时间和成本可以通过提供足够的结构强度和可压空间来保护乘客。 Lyle（1991）论述了合适的碰撞分析在车辆概念设计中的应用。
塑性铰技术和极限分析概念经常用于预测汽车碰撞的总响应。塑性铰的技术假设所有的塑性变形发生在预设铰链。Chang（1974）开发了一种基于极限分析原理的设计分析方法，用于估算乘员区极限承载能力和相关的失效机制。他在实验中获得了主要车身连接处的刚度数据，并在一个基准数学模型中使用这些数据。然后，他研究了四个典型的负载条件下的结构响应对每处连接的影响。McIvor等人（1977）提出了一种空间框架的大静态塑性变形的结构理论。分析假定塑性变形仅限于在节点处的理想铰链。Nikravesh 和 Chung（1984）采用塑性铰的概念，将结构划分为塑性铰连接的几个组件，由一个联合弹簧组合建模而成。Kang（1996）开发了一个简单的有限元模型，用非线性弹簧单元来表示弱区域的塑性铰行为，并由分析预测了荷载-位移曲线和顶压阻力。但是，要使用塑性铰技术，需要由实验或半经验方程预先确定结构特性和适当的铰链位置。结果的的质量取决于这些特性和铰链位置。
极限分析是估计结构的承载能力和失效机制一种有效的概念。当与有限元法相结合时，极限分析有了显著的进步。Huh and Yang（1991）基于对偶关系求解了平面应力问题。 Yang （1993）用连续极限分析法计算了桁架和框架的大变形。因为该方法只涉及几何更新，可以实现在相对较大的步长时获得精度更新。但是，在增量分析时，复杂的应力更新是必要的。Huh and Lee（1993）也建议在有限元极限分析中考虑加工硬化效应。 Liu等人（1995）将三维极限分析构想为一个数学问题，对完美的塑性结构的进行极限分析。然而在Liu的研究中并未考虑工作硬化效应，只是计算了初始极限载荷。Huh等人（1998）推导出一种以工作硬化材料特性为极限解的三维极限公式。在本研究中，选择“S”形框架来比较极限分析法和弹塑性分析法。
为了估算车辆结构的能量吸收效率和失效机制，在研究各种荷载条件下的承载能力和失效模式时进行失效分析研究很有必要。Mahmood 和 Paluszny （1981）研究出一种半经验方法来发展金属板材在碰撞载荷条件下的设计方法。失效模式对能量吸收的影响取决于负载条件、结构形状和材料特性。 Magee 和Thornton （1978）分析了结构的能量吸收效率与材料性质和结构形状变化的关系。车辆的设计应通过使结构能够有效地吸收碰撞能量来确保耐撞性。使用失效分析对主要变形部件和它们的变形模式进行研究。在概念设计的初始阶段，就应该保证汽车的耐撞性。
在本研究中，准静态载荷条件下简化车辆模型的失效行为使用有限元极限分析。结构的承载能力在随着结构的逐步变形而逐渐减小。因此，初始失效荷载在评价车辆碰撞安全性时是一个重要的因素。这项工作的目的是评估此能力，利用有限元极限分析方法，基于失效研究的结果来改善车辆设计。有限元极限分析法可用于系统地预测塑性失效荷载和失效模式。因此，这是一个在初始设计阶段检查车辆结构的安全性有用工具。
极限分析理论
极限分析公式由原始-对偶公式组成。它解决了服从凸屈服准则和相关流动法则的塑料材料问题。原初公式可以由静态和基本容许条件以约束最大化问题的形式导出，即，
最大化 q（sigma;）
服从 ▽·sigma;=0 在区域D内
sigma;·n=qt 在part;内 （1）
le; 在区域D内
其中sigma;是在参考域D的应力张量，t是在单位外法线矢量为n的边界表面part;的牵引力矢量，并且q是比例加载的正实参数。在静态应力空间可行域可以用应力满足平衡和静态边界条件方程的状态下得到。冯米塞斯屈服准则 ＝被视为基本可行域。虽然q可在方程(1)中唯一获得。 sigma;是否唯一并不确定。
方程(1)在函数空内定义了一个凸形表面，并寻求正缩放因子q（sigma;）的最大值，而应力矩阵的幅度sigma;受凸模冯米塞斯屈服条件的制约。而这种求最大值的问题，下界方程有塑性，可通过有限维近似来解决，由于结果需要在应力空间中确定，因此其不够实际、有效。
凸问题对应于上限方程有双重解。双重方程的最小解等于方程（1）的最大q（sigma;）。为构建对偶问题，可以利用虚功原理构成一个弱平衡方程。
(2)
其中，u是在物理解释作为一个可接受的速度函数中的任意函数。上述是在两个或三个维度的参考域基于每个增量的情况下得出的。可容许参数u，满足part;上的运动学边界条件，利用散度定理和静力边界条件会导致等价的变分命题。
（3）
其中ε是应变率矩阵和符号，表示两矩阵内积算子。方程（3）可以用如下方式表示
(4)
将边界积分方程（3）规范化，即：
(5)
利用最大耗散原理或赫尔德不等式，将sigma;:ε改写如下:
(6)
其中为冯-米塞斯范数的应力，为冯-米塞斯的负范数的应变率，分别说明了应力和应变率的等价定义。
不等式是精确的，即当ε与屈服函数的梯度成正比时等式成立。精确条件：
(7)
这在塑性中是众所周知的正规性条件，其中，k是一个比例因子。因此，q（sigma;）的上限可以通过建立不等式的确立
(8)
其中，上界只取决于机动容许函数u。基于方程式不等式(8)及的绝对最低限度的存在，对偶公式可化为：
求 最小值
服从于
(9)
运动学边界条件
由对偶关系（(Huh and Yang, 1991），最小解等于方程(1)中q（sigma;）的最大值，存在于运动学容许函数空间的最小的部分内。在实际问题中，可以使用数值方法求方程(9)的一般解。
在计算中对加工硬化材料，有效应力–应变曲线是逐步稳定的，但屈服应力的幅度，是基于连续迭代使用二分法（Huh and Lee, 1993, 1998）的有效应变调整，即
(10)
其中和分别代表加工分别硬化和应变硬化，表示等效塑性应变。考虑到每一次增量中的屈服应力，由于公式的性质没有必要检查应力-应变关系是否正确地跟踪给定的数据。上述概念从传统的极限分析扩展，使得使用有限元分析的三维结构与加工硬化材料的三维结构来模拟失效的行为成为可能。虽然在假设屈服应力是一个常数时可能有少量错误，但它保证了稳定的收敛性和计算效率的稳定。它也消除了在每一增量下计算塑性或弹塑性切线模量的累积误差。增量应允许每一步的最大有效应变小于0.2%。从一个典型的单轴应力-应变关系，可以得到的屈服应力。
(11)
其中，A和n是对于一个给定的材料而言是常数，是初始屈服应力。
有限元程序和最小化技术
对偶方程离散成有限元的子域，并减少在有限维空间的凸规划问题，其中N是离散变量的总数。为了保证体积不变，目标函数修改为：
(12)
其中，A是惩罚因子，有可能是一个较大数值。
对于有限维近似，在三维空间中的应变率矢量可以表示成一个矩阵形式：
(13)
其中B与应变率分量有关的梯度矩阵，U是节点速度向量。有效应变率可以写成：
(14)
其中，，矩阵形式的体积应变率可以写为：
(15)
其中A是一个向量{1 1 1 0 0 0}，。
目标函数使用有限元中的二次形式的离散矢量表示的速度场U来近似，即：
(16)
整数E是有限元素的总数，
(17)
公式(17)中的单位刚度矩阵可以近似为一个迭代格式：
(18)
式中，（n-1）和（n）分别表示以前的迭代步骤和当前步骤。
近似的对偶方程(9)成为了一个约束二次问题：
最小化 (19)
服从于
其中，代表被包含到矩阵K和向量C正常条件和运动边界条件，而此时将产生最佳的U和每个迭代步骤相关的最小值。约束最小化的方程(19)在求解过程中使用拉格朗日乘子法可转换为一个无约束的问题。
最小化 (20)
式中为拉格朗日乘子。
微分方程式（20）关于位移和拉格朗日乘子的结果，在以下公式中：
(21)
(22)
由式子(21)和(22)，可得到如下式子：
(23)
(24)
(25)
当位移边界条件已给出时，位移矢量可分为2个部分：
(26)
其中是一个未知的位移矢量，是从已知的边界条件。刚度矩阵K也可以对于给定的位移边界条件分为对应的子矩阵:
(27)
负载矢量也可分为2个部分:
(28)
其中，当仅当位移边界条件时，变成零，当位移边界条件给定时未知。使用分区刚度矩阵和位移矢量，方程(21)可以重新变为：
(29)
而方程(29)可以分解为两个独立方程：
(30)
(31)
由方程(3
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