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基于尖点突变模型的支柱破坏的数值研究
S.Y. Wang1,a, S.K. AU1,b, K.C. Lam1,c 和 C.A. Tang2,d
1建筑与建筑学系,香港城市大学,香港九龙
2摇滚不稳定和地震活动性研究中心,东北大学、沈阳、中国
关键词 尖点型突变理论,数值模拟,岩爆
摘要 基于尖点突变理论，一个样品的岩石（震源周围的岩石）研究柱岩爆机理模型的提出。从理论上阐述了顶板和底板的刚度比、刚度比、顶底板和底板的刚度，对不稳定的爆发起着重要的作用。使用新开发的数字代码,RFPA2D,渐进破坏过程和相关的微震行为模拟岩石样本。数值模拟的结果也证实，软顶板和底板促进一个不稳定的失败或崩溃的支柱。此外，模拟结果再现了形变跳跃和能量释放在支柱岩爆过程中的发生。它表明，该模型正确模拟柱失效的过程。
前言 岩爆是一种突发性、爆炸性的事件，发生在地下深处，构成了对井下矿工安全的危害，对矿山结构造成破坏。任何采矿开挖岩石破裂在本质上是由于蚀变岩石的失败的原始应力状态。众所周知，岩石破裂是不连续现象显著表现。因此，很难使用传统的数学技术研究，关注持续行为。突变理论是一种关于不连续的性质的奇异性理论。它是由法国数学家托姆提出。许多不连续的现象，如斜坡不稳定，水库诱发地震，煤柱爆破，岩石试样的不稳定和断层运动，之前一直在数学上棘手的，可以使用突变理论处理。绝大多数岩柱的破坏都可以看成是不连续的、突变的现象。因此，用突变理论研究岩柱破坏是恰当的。
在本文的第一部分，基于尖点突变理论，介绍了一种研究柱冲击地压机理双岩模式。这是用来提高冲击地压机理的认识，如有发生岩爆方面的相互作用之间的柱岩和顶底板岩石。第二部分，利用RFPA2D模拟在岩石破坏过程和相关的活动。特别是在不稳定的支柱破坏的过程中发生的突然的应力下降和变形跳跃检查。协议之间的观察到的现象和尖点突变模型，了解了不连续性的性质。
理论解释
突变的简要介绍 尖点突变理论是一种突变理论，它具有双控制变量和一个状态变量，并将用于本文。其标准形式的潜在V（x）如下：
V（x）= （1）
其中x是状态变量p,q是控制变量。因此这是一个三维相空间。定义平衡表面,M,由方程给出：
（2）
下标x表示梯度仅对状态变量。这个表面是由所有V的临界点，即所有的平衡系统（稳定或者其他）。M表示一个理想的光滑表面。对于尖点突变，平衡表面M是方程给出：
（3）
接下来很容易找到奇点集S，M的子集是由所有V的退化临界点组成。里面的这些点也满足：
（4）
这里H（V）称为V的海塞矩阵，此时：
（5）
然后将S投影到控制空间B上得到分岔集，这一组的所有点集合C的变化发生在该形式的V上面。所以通过（3）和（5）消除x得到分岔集：
（6）
更容易预测会发生什么不同的路径在B的附近，如果其表面是如图1所示。这是一组平衡值（x,p,q)的尖点突变（公式的描述）。考虑系统的状态是由三维相空间与点对x,p,q为坐标，相位点P必须始终位于表面上。实际上它必须位于顶部或底部，因为中间对应于不稳定的平衡。
岩石体系的力学模型 如图2所示，是双岩体系（柱顶或地板）的示意图。在形变过程中，顶板或底板上的岩石都受到同一构造运动的影响。在最简单的情况下，如果变形的过程被看作是准静态的，系统处于平衡状态，即：
（7）
是岩石支柱的负荷能力，是作用在顶板或者底板上的作用力。在顶板上的作用力是（在弹性范围内）：
（8）
是表示刚度，是表示形变。方程给出了系统的受力形变关系：
（9）
其中E和是由实验确定的系数。对于一个横截面积为S，长度L的支柱，方程（9）可以用到里面，岩石的承载能力和岩石的形变，在以下形式表示：
（10）
是式样的初始刚度和形变对应的最大负荷能力值。公式（10)，在其曲线上存在一个拐点，其斜率的绝对值是
图1 尖点的平衡面和分叉集 图2 Rock-rock样本模型
突变理论的应用 最重要的一步是构造系统的势函数V。变量（在震源区岩石的形变）可以作为系统的状态变量。从图2中可以看出，整个系统的的能量可以表示如下：
（11）
是岩石支柱中储存的弹性能量，是储存在岩石顶板和底板中的弹性能量，是岩石破坏的能量。因此，可以得到下面方程：
（12）
考虑到（是所谓的远场位移），系统的势函数可以通过重写公式(12)如下：
（13）
给出平衡曲面M：
（14）
很容易看出，上面的方程是平衡方程（7）。奇点集是：
（15）
不难发现，方程（15）与远场位移无关，但是与材料参数，，和状态变量有关。也就是说，奇点集的突变可能发生是由机械系统的特性决定的。
现在可以从下式得到尖点：
（16）
这个方程的解是：
（17）
这是力-变形曲线的拐点。
为了获得尖点突变模型的标准模式，方程（14）的泰勒级数在方程（17）中使用，采用了第三级。可以得到下面方程：
（18）
（19）
这是岩石标本系统的尖点突变模型的标准格式，其中x是因次状态变量。 （20）
（21）
（22）
（23）
（24）
参数K是围岩刚度在岩石力-变形曲线的拐点斜率的刚度比。参数，它是相关的远场位移无量纲常数，被称为远场位移参数（也称为干扰）。从式（21）和（22）可以看出，该控制变量p和q是由刚性K和远场位移参数控制的。
判断稳定性 由于公式（6）仅当是被满足，所以系统达到突变的必要条件是：
（25）
根据（24），我们有：
（26）
或者：
（27）
也就是说必要不稳定状态完全是由系统本身的内部特性确定。例如，该材料的性能发挥出了几何性质在系统行为中起重要作用。如果岩石应变硬化或者理想塑性性质，根据式（26）和（27），该系统必然是稳定的。只有岩石具有软化特性是，才会产生不稳定。
数值模拟
基于岩石相互作用数值模拟理论，我们导致突然断裂，利用岩石破裂过程分析代码的渐进破坏的演化过程（RFPA2D）。这使我们能够在连续的基础上，在加载过程中直观地检查渐进破坏过程。
在本文中，它被假定支柱和顶底板有两个不同的韦伯概率密度分布。为了模拟岩石材料的脆性行为，选择了岩石性质。顶板或地板，以模拟岩体周边体，平均抗压强度，设定为150兆帕；平均弹性常数E是等于65帕和泊松比upsilon;= 0.25。均一性指数，m代表强度为2和弹性常数，10。式样柱，为了模拟岩体的突变，平均强度设定提高30%这意味着地板到支柱刚性比率为1/3.网眼的尺寸为200times;20040000元件以模拟具有一个大小的4000毫米times;4000毫米的样品。模拟被限制在一个两维的问题。
图3 数值模拟柱破坏过程及应力应变和应变的对应关系
当应用边界位移增大时，图3显示了在模拟过程中获得的渐进破坏过程。在渐进破坏过程中观察到以下几个阶段：
在初始加载阶段（低应力水平），一些局部破裂和相对稀疏，只有少数的地震发生的事件。在这个阶段的应力-应变行为几乎是弹性的（第1阶段，在图3）。因此，这种状态对应于稳定的柱形变形阶段。
然后，随机定位，非相互作用破裂的数量在支柱的左侧观察到。由于岩石的异质性，裂缝的分布不是对称的;几个裂缝仅在支柱的右脚发生。这一阶段的主要特征是整个岩体弥漫性变形破裂，异构整个岩体。在这个阶段的应力-应变曲线变为非线性（图3），这个阶段被称为亚稳定柱变形阶段。
宏观裂缝损伤累积，破裂成为群集，涉及更多的元素，从而导致断裂在柱的左侧相互作用和发展。随着损伤的积累，大团簇在主断裂成核前出现。应力-应变曲线显示应变弱化行为，与一个小的应力下降（C阶段在图3）。因此，这一阶段是归因于不稳定的支柱预警阶段。
最终失败元素的数量急剧增加，主要集中在支柱的右侧区域，并逐渐向中心区域。支柱变得机械不稳定，即在较弱的区域内的元素突然崩溃，形成一个断层。此时出现了2个大的应力下降，在第三阶段可以看到，而相应的声学事件是在第三阶段的5倍。这个半静态模型不能够模拟岩石的动态拍摄，突然发生很多微破裂和急剧应力降可以被视为支柱岩爆的表观特性。断层的应力场主要集中在它的周围，产生进一步的宏观损伤。这种应力集中导致了微破裂的又一个新的聚类点E发生。然而，无论是应力降还是声发射事件都不高于D点。然而，宏观剪切断裂是在这一阶段形成的。虽然后微裂缝越来越少，支柱持有一定的承受能力。因此这个阶段被称为残余柱变形阶段（图3）。
值得注意的是，在图4中，一个突然的位移跳跃发生点M在领先的过程中。最大Y位移跳跃是14mm，而最大X水平位移跳为3mm。这些数值结果论证了上述理论的尖点型突变模型。
图4 随负荷增加，支柱的突然位移下降
总结与结论
本文提出了一种简单的机械模型，提出了不稳定的岩石破坏的作用下的加载系统，并使用尖点突变模型的不稳定的机制进行了研究。从理论上阐述了机械的刚度比、K对试样的不稳定爆发起着重要作用。推导了变形跳跃和能量释放的简单公式。研究结果表明：系统的刚度分布决定了岩石系统的稳定性特征，而不稳定的条件是˂1。
利用RFPA系统、应力、应变的相互依存，声波或地震的排放，和地震能量释放的方法，和微震活动的演化过程及其空间分布进行了数值模拟的岩柱的破坏过程。该数值模拟结果是相当吻合理论思考的，从而验证了突变理论应用于岩石破裂研究的可靠性。
确认
本文所描述的工作部分由来自香港特区政府的研究资助局的资助，中国（项目编号9040810和9040922），香港城市大学（项目编号：7100263）和部分受支持由中国国家自然科学基金（编号50174013和49974009号）。
参考文献
[ 1 ]P.T.桑德斯：突变理论导论（剑桥大学出版社，剑桥1980）
[ 2 ] J.R.赖斯：对断层滑动与地震不稳定，应用
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