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第六章
关于二维弹塑性应用的初步理论和标准子例程
6.1 引言
在本文的第二部分，我们展示了在第一部分中的一维弹塑性问题发展下允许二维弹塑性问题的解决的概念和方法。特别是以下应用介绍:
第7章讨论了符合平面应力、平面应变和轴对称条件的弹塑性问题的解决方案。
第八章处理平面应力/应变和轴对称中材料具有依赖时间的弹粘塑性行为的问题。
第九章涵盖了弹塑性板弯曲的情况。
非线性算法在第二章将用于开发解决方案。那些适合二维连续介质理论或板弯曲的表达式必须全部被使用在过程中是普遍的和主要修改是必要的。例如初始屈服等级现在将依赖于三个或更多独立的应力因素以代替在单轴情况下初始时考虑的情况。
一个弹塑性应力分析程序的发展需要相应的弹性程序的基本特征，尤其是配方采用相同的基本元素和多种选择的元素类型是可用的。在本文我们考虑的三种不同的元素类型都基于等参的配方。所包含的元素在图6.1中,有:
含4个节点的线性位移变化的等参四边形元素,图6.1(a)。
含8个节点的侧面弯曲和在单元内呈现2次位移场的变化的巧凑四边形单元,图C.1(b)。
含9个节点的有一个中央节点的拉格朗日四边形元素,图6.1(c)。
这些元素的基本理论表达式在6.3部分将被提出，这些高阶元素的使用会导致特别高效的弹塑性解决包。
可塑性的有限单元
图6.1(a)4节点的等参四边形元素和形状函数
当前节点数
为了尽可能地简化问题考虑是局限于各向同性情况。*所有的可塑性应用在文本中都提出了经典的采用复制完整的弹塑性材料响应的增量理论。因此我们不关心像预测的刚塑性理论的极限状态行为,等等。考虑仅限于小变形情况下的应变可以认为是无穷小，和拉格朗日和欧拉几何描述一致。
初步理论和标准子程序
8个节点的巧凑单元 9个节点的拉格朗日单元
角节点：
边中节点：
当前节点数
图6.1(b)8-节点的巧凑四边形元素。
塑性有限元
角节点：
边中节点：
中心节点：
图6.1(c)9-节点的拉格朗日四边形元素
初步理论和标准子程序
图6.1 （c)9-节点的拉格朗日四边形元素(连续)。
对于每个应用程序,一个计算机代码被开发来允许解决实际问题。弹塑性问题的计算时间相对较长，且解决方案成本是对应的线弹性分析的典型的十倍。当然直接的差别将取决于塑性屈服的程度和接近极限载荷承载能力来寻求一个解决方案。鉴于这些相对较高的计算机成本，至关重要的是应该尽可能开发高效的代码,使用任何减少计算要求的数字技术。虽然，本文的主要目的是实现教学角色之间的妥协，但是必须不可避免地使程序清晰和效率。提出的程序的适用性被实例的解决方案证明了。在第二部分提出的所有计算机程序的详细的用户指令在本文附录II提供了。在6.2节中列出了二维连续的线弹性有限元分析和板弯曲问题的基本表达式。6.3节列出等参元素配方的原则，特别重视数值积分的作用。在6.4节综述了标准子程序与线弹性有限元分析和在6.5节中给出一些在第7章,8和9章中常见子程序的三个非线性应用程序。
6.2各种固体力学应用虚功表达式
6.2.1 引言
在本节中,我们简要描述各种只在弹性范围内的二维固体力学有限元应用程序。后7 - 9章我们演示在这些应用程序中的弹塑性或弹粘塑性行为可能包括使用有限元素。在第一部分,我们提出了一些非常简单的有限元表示。相比之下,在第二部分中我们提出了数字集成等参四边形元素。
6.2.2 虚功表达式
如果物体受到一系列体积力b然后由虚功原理我们可以写
其中是向量力, 是矢量边界向量, 是虚拟位移的矢量, 是向量相关的虚拟应变,是受力体域, 是边界向量规定的局部边界，是边界位移所规定的局部边界。
6.2.3 平面应力
考虑一些典型的平面应力问题,图6.2所示。典型地薄钢板受到荷载应用在x y平面上,即平面结构。板的厚度与其的x y平面尺寸相比被认为是很小。压力是假定为均匀地通过板的厚度和和可被忽略。因此,现在位移可以表示为
在u和v的平面位移分别在X和y方向 .
在向量中列出了应变组成，
对于小位移，正应变表示为：
图6.2典型的平面应力问题
并给出的剪切应变为
注意在向量中列出的虚拟位移：
和联系虚应变得：
相关的应力应变关系式可表示为：
而
其中和是正应力，是剪应力。
对于线弹性情况下应力-应变本构矩阵为：其中和分别表示弹性模量和泊松比。
体积力b表示为
其中和分别表示单位体积力在x和y方向的矢量。
边界轨迹可表示为
其中和分别表示每个单元长度的边界轨迹。
单元体积表示为
其中是板的厚度。
6.2.4 平面应变
对于平面应变问题，一定的厚度尺寸对于某一板(比方说x y平面上)典型的在x y平面上大尺寸来说是很正常的，而体积力只被加载在x y平面上。平面应变问题可能是假定位移在z方向上可以忽略不计,平面位移u和v独立于z。图6.3展示了一些典型的平面应变问题。
在向量中列出的位移：
图三 典型的平面应变问题
其中和分别表示x和y方向的平面位移。
平面应变组成可表示为和与平面应力应用的应变组成有相同的含义。
虚位移和相关的虚应变可各自表示为
和
前面的应力应变关系式可表示为
其中应力与平面应力应用中的应力有相同的含义，线弹性材料的应力-应变本构矩阵D作为
注意正压力作用在x y平面是非零和可能被当作
体积力b和表面轨迹t同那些采用平面应力问题的有相同的意思。一个典型的体积元可表示为
在其假设在这些问题的每一单元片正被分析。
6.2.5 轴对称固体
一个三维固体对其中心线对称轴(正值z轴)和承受载荷和边界条件绕这个轴对称,然后其行为是独立于圆周的坐标图6.4显示了一个典型的轴对称固体。
图6.4一个典型的轴对称固体
位移可表示为
其中u和w分别表示r和z方向的位移。非零应变可表示为
其中小位移和正应变可表示为
和剪应变为
虚位移和相关的虚应变可各自表示为
和
应力应变关系式可表示为
在 其中和各自是和方向的正应力，是平面的剪应力。线弹性材料的应力-应变本构矩阵D作为
体积力可表示为
其中和分别表示单元体在r和z方向的体积力。
边界轨迹可表示为
其中和分别表示单元体在r和z方向的边界轨迹。
体积元可表示为
6.2.6 Mindlin板
在Mindlin板理论可以允许横向剪切变形。因此提供了一种替代经典Kirehhoff薄板理论。主要的假设是:
(a)位移与金属板厚度相比非常小,
(b)表面中心板的正压力可以忽略不计,
(c) 变形前中表面的法线保持垂直，变形后表面的法线不一定是垂直的。
一个典型Mindlin板如Fig.6.5所示。请注意Mindlin板理论是第五章中讨论的使用率最高的二维等效梁理论。主要位移参数可以表示为：
W是垂直于x y平面的侧板的位移和变量和是x y和y z平面内的正旋转角。这里应该注意的是,
其中和分别是x y和y z平面内的正旋转角
图6.5 一个典型的Mindlin板
和横向剪切应变的综合量。在薄板理论中假定剪切旋转角和下面定义都等于零。压变,更准确的压变角度,可以表示为
其中曲径可表示为
扭曲径为
剪应变表示为
虚拟位移和旋转角和相关虚拟曲率和剪切应变分别可表示为
和
本构关系式可表示为
其中
其中和是直接的弯矩和是扭矩。量和是在x z和y z平面的剪切力。各向同性弹性材料
其中一个厚度为t的板
G是剪切的模量和1.2是一个剪切修正项的因子。这里我们不考虑表面牵引。完成讨论这些和MindIin板理论的其他方面，读者倾向于休斯和他的同事的工作。我们只会考虑体积力量的形式
其中q是单位面积上的横向分布加载。一个元素板的面积可表示为
6.3 等参有限元表示
6.3.1 控制方程
在本节中,我们对6.2.3-6.2.6应用程序中描述的部分提出了离散化固体力学的控制方程。在有限元表示,位移和压变和虚拟对应量的关系可表达为
其中节点i，是节点变量的向量, 是虚拟节点变量的向量,是全局形状函数的矩阵和应变是全局应变位移矩阵。N是整个网格的节点总数。
如果(6.38)和（6.39)替换成虚功表达式(6.1)然后我们获得
因为(6.40)必须适用于任意设置的虚拟位移然后我们得到每个节点方程的形式
如果我们用C(0)等参有限元表示，我们可以分别从每个元素评估其贡献(6.41)。位移可以表示为通常的方式
其中对元素e的局部节点i，是形状函数的矩阵和向量的变量是,在每个元素e中都有r个局部节点。
典型 4 -，8-,9-节点等参元素形状函数分别在图6.1(a)、(b)和(e)被列举出。注意,在等参元的表示我们可以使用以下矩阵表示一个元素中的x和y坐标
在是用于位移表示中相同的形状函数。我们可以假设的雅可比矩阵为
求的逆然后推出使用表达式
应变位移关系式可表达为
其中是应变矩阵，离散体积元 (或Mindlin板块)可表示为
其中在表6.1中被定义，我们也总结成表达式和，和四个应用程序。
笛卡尔形状函数中使用衍生应变-位移矩阵如表6所示，包含用链式法则的区别。 （对于轴对称问题用r和z代替公式中的x和y） 表6.1对二维固体力学的应用程序的节点位移、应变矩阵和体积元或面积元。
Mindlin 板
轴对称
平面应变
平面应力
应用
和
其中和的关系可来自雅可比矩阵的逆(6.45)。
因此我们在每个元素形式有一个线性的应力——应变关系：
单元e的表达式代入（6.4.1）第一个关系式中
是刚度矩阵的子矩阵元素。
单元e的表达式代入（6.4.1）第二个关系式中
单元e的表达式代入第三个关系式中
其中是的子部分，同时是元素e的边界。当然对于很多元素对不会有作用。
6.3.2刚度矩阵和相应的荷载向量的推导
现在让我们考虑K的推导。现在的集成是表现在自然坐标系。因此刚度矩阵的子矩阵连接节点i和j的形式为
元素的数值计算。如果被积函数在(6.53)表示为
然后
有个抽样点的一个四边形元素的数值积分导致
其中和是权重因素和是取样的位置。
被体积力作用在节点i的相应的节点力为
的组成数值计算。如果在(6.57)中的被积函数表示为
然后
有个抽样点的一个四边形元素的数值积分导致
其中和是权重因子和是取样的位置。
边界轨迹上的相应的节点力在作者的前面的章节已处理和将总结在6.4.5节。等参元数字集成计算机实现的已经详细描述在文本的有限元编程中。在这里我们只是简单总结在图6.6中所涉及的推导元素刚度矩阵的主要步骤。
第七章 二维弹塑性问题
7.1引言
在这一章里,我们考虑符合平面应力、平面应变或轴对称条件的固体的弹塑性应力分析。大多数工程中遇到的问题都可以近似满足其中一个分类。满足在二维固体的弹塑性材料的行为基本规律将考虑数值方面的问题,为此将会介绍新概念如塑性潜力和常态条件下。文章只提供基本表达式和读者将被引导到其他更完整的理论体系来源。事实上情况很复杂,不同类型的材料表现出不同的弹塑性特征。在这一章将使用四个不同的屈服标准。Tresca 和 Von Mises理论适用于近似金属塑性行为,MohrCoulomb Drucker-Prager标准适用于混凝土、岩石和土壤。
在本章后面的部分计算机代码允许开发实际问题的解决方案。许多弹塑性解所需的子程序在第六章里。在本章其他子程序的开发和组装提供一个工作项目。
7.2 可塑性的数学理论
数学塑性理论的目的是提供一个理论描述材料的应力和应变之间的关系,表现出一种弹塑性响应。从本质上说,塑料的行为的特点是不与时间有关的不可逆应变，只能持续一次一定程度的压力。在本节中,我们概述对于一般的连续体相关的基本假设和理论表达式。对于一个更完整的读者讨论可参考文献1 - 3。为了制定一个理论模型弹塑性材料变形必须满足三个要求:
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