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电磁理论手册
电磁和线性LS-DYNA中的代数
LS-DYNA测试R v980版本测试版
2012年8月9日星期四
4涡流解算器耦合
4.1带有外部电路
4.1.1张力
典型的问题通常涉及在a中产生感应电流的导电线圈工件（图（6）的模拟区）。 在线圈中产生的源电流到达施加边界条件。 有可能有一个强加的电流或施加电压。如果施加电压，则应用Dirichlet和Newman来求解等式（32）边界条件。 在BEM上没有应用进一步的约束
图6：线圈上（R，L，C）电路（施加的电压）的典型问题可以在EM CIRCUIT卡中定义允许施加的三种类型的电路电压 ：
bull;类型3：电路方程根据R，L和C（电路R，L，C）给出V（t）描述在图（6））以及网格电阻和电感/相互。
bull;类型2：V（t）由用户定义的负载曲线直接给出
bull;类型12：V（t）遵循由其幅度，频率和定义的正弦行为的出初始时间。
4.1.2强制电流
如果施加电流（EM电路卡：类型1（用户定义的负载曲线与类型相同）2）和类型11（类型12中的正弦行为）），如图（7）所示，则Phi;= 0，但是
图7：施加在线圈上的电流的典型问题
等式（44）中定义的BEM矩阵P将具有附加约束。 让我们介绍一下定义以下集合：
bull;HE是卷边的集合。
bull;BE是表面边缘（BEM边缘）的集合，大小为边界边缘的数量，
bull;BF是一组表面（BEM面），大小为边界面的数量，
bull;BN是表面节点（BEM节点）的集合，其大小为边界节点的数量。
让我们建立在等式（44）中定义的矩阵P. 第一种可能性是定义P如使用向量基础V〜的等式（44）1，以解决BEM线性系统定义（41）。 因为解向量k必须验证无发散条件（no电荷积累在表面上），必须施加附加的无发散约束：
(64)
且有 (65)
与是表面发散自由约束矩阵（稀疏），其中或者-1如果边缘i在面j上，则为-1，并且如果不是，则Ci，j = 0。该方法需要P矩阵密集，并且证明在求解时是不切实际的大系统。 因此不再使用。 相反，矩阵P被完全建立发散自由空间。 这样，由式（65）引入的约束将是直接的实施。 一个新的基础称为环向量基L〜一世[20] [21]在BE中定义为线性组合所有的V〜ks如边k包含节点i，系数等于1或者-1取决于边缘的方向（li =plusmn;vjplusmn;vkplusmn;vlplusmn;vm），以便使li环绕节点i（参见图（8））。 这个基地自动满足无背离条件。 因此，从这个新的基础，我们可以定义一个类似于表面的运算符梯度运算符GBE，BN，其将从节点空间BN到边缘空间的节点相关联BE与重要属性：
(66)
图9：导体的表面网格。
由V1，V2和V3组成的向量n1属于Ker（C）（进入f1和f2的通量等于通量离开），不属于由循环向量li构成的向量基.
方程（66）意味着Im（G）sub;Kr（C），但不一定Im（G）= Ker（C），因此，
BE，可能存在包括在空值空间中的边缘的一些向量组合的C（无发散），而不是梯度（ε/ Im（G））[20]。 这样的一个例子载体在图（9）中描述。 边向量的子空间的维度发散自由而不是梯度被写为。这个数字很重要，因为它将表示将必须添加到循环的额外非局部向量的数量向量，以便描述将建立矩阵P的完全发散自由空间。图（10）提供了在完全发散自由空间中构建的完整P矩阵的草图。
图10：满足无背离条件的完整P矩阵
图11：不同表面基本空间的拓扑
图（11）提供了使用的拓扑的总结[7]秩无效定理适用于BE和BN产生：
(67)
(68)
从等式（67）和（68），我们得出：
(69)
这种分解允许定义3个“Betti数”[2] [12]：
(70)
(71)
(72)
bull;在每个连接的零件上，G的零空间的大小为1，由节点生成载体。
（73）
因此，对于每个导体部分，Ker（G）的维度等于1。 是因此等于表面网格的连接部分的数量。
bull;对应于面向量的子空间的维度，不能是达到作为边缘向量的发散度。 当表面没有孔时（A = 0），则每个面矢量可以被定义为边缘矢量的任何组合
除了将被先前定义的相邻边缘值约束的一个。因此，如果A = 0，则= 1。如果表面没有如图（9）中那样闭合（Age;1）则= 0。
bull;之前已经描述过，并且对应于约束的数量可以添加到P矩阵中。 对于任何给定的网格，可以计算，，dim（BF）（表面面数），dim（BE）（表面边缘数）和dim（BN）（表面节点的数量）。 应用等式（69），可以计算。 物理上，对应于全局电流的“路径”的数量可以接纳给定的导体部分。 如果用户施加源电流作为电路边界条件，则相应的约束将被添加到P.用户不能定义更多的源电流电路，则或系统的值将是过约束。
求解程序自动计算每个导体的面，节点和边的数量表面，和的值，并将该数据写入messag文件。 一个好的方法用户检查他的分析是确定是否正确地计算等式（69）由求解器和如果的计算值对应于他的期望值（它可以如图（9）和（9）所示，在圆环中= 2，在开放导体中= 1，= 0）（参见messag文件中的“Cohomology”部分）。
4.2施加外场
当外部场施加在系统上时，则矢量电势变为：
（74）
用A〜0外部强加场和A〜r为导体的反应场。假设不存在源电流，则等式（16）写为：
（75）
类似于等式（16），等式（75）被投影到W〜1形式，我们得到：
（76）
并且;
（77）
为了得到SAr，解决方程（41）和（42）中定义的BEM系统：
（78）
（79）
耦合的FEM-BEM系统因此读取; 类似于方程（48），（49）：
（80）
（81）
与另外两个额外的1形式向量：
（82）
（83）
一个和可以直接计算如果外场为（在这种情况下，必须被确定为）。如果外部场来自给定的电流密度分布，则和可以使用Biot-Savart定律计算：
（84）
（85）
4.3用LS-DYNA的其他求解器
4.3.1电磁和结构相互作用
求解器的范围不仅仅是求解涡流电流近似中的麦克斯韦方程但也可以与LS-DYNA的热和固体力学解算器耦合以充分利用他们的能力。 LS-DYNA中可用的所有材料因此可以独立于它们的电磁性能而使用。 材料有应变率依赖性（例如：Johnson-Cook [9]，Zerilli-Armstrong [23]，Steinberg [19]）特别适用于非常快速的变形应用，例如磁性成形焊接。
机械求解器可以以显式或隐式模式运行和电磁解算器只是如等式（47）中所描述的以隐式模式运行。 他们都有不同的时间步长和EM场在机械时间步长通过线性插值进行评估。 在典型的EM形成和焊接情况下，机械解算器运行在显式模式中在比电磁时间步长小很多的机械时间步长。 在每一个电磁时间步长，两个求解器将相互作用。 电磁解算器会将公式（56）中描述的洛伦兹力传递给所得到的机械解算器在机械方程中的额外力：
（86）
机械解算器将返回导体的位移和变形。
4.3.2热耦合
热和电磁解算器都隐式运行。 在每个电磁时间步长，电磁解算器将传达额外的焦耳加热功率项并且热解算器将传达温度。 几个状态方程是在电磁解算器中实现，允许定义电导率如何作为温度的函数演变：
bull;Burgess模型[3]给出电导率作为温度的函数密度。 Burgess模型给出了电阻率对温度和密度的关系对于固相，液相和气相。 目前，只有固体和液相。
bull;Meadon模型，将电导率作为温度的函数密度。 Meadon模型仅是具有固相方程的简化Burgess模型。
bull;表格模型，允许用户输入自己的负载曲线来定义电导率功能的温度。
图12：不同求解器之间的相互作用
5）：求解器的附加（其他）特征
5.1感应加热解算器
感应加热是一个加热导电物体（通常为金属材料）的过程，通过电磁感应（通常有移动或者不移动线圈），其中涡流在金属内产生并且有电阻会使金属产生焦耳热。求解器是在时域中工作的，而不是在频域中工作，以便获得基于线圈、工件运动以及EM参数的时间演变。因此，为了解决其中的涡流问题，EM时间步长兼容频率（即时间步长，是的在周期中存在至少90个单位步长单位）电流。例如：对于1MHZ的频率，时间的步长大约为1.e-8秒，将需要并因此1.e8时间步长解决一个完整的时间持续1s钟 。所以，使用经典的涡流解算器的感应加热分析将是耗时的。
感应加热解算器的工作原理如下：
我们假定电流振荡与该过程的总时间相比非常快速（通常的，具有频率的电流范围从kHz到Mnz，并且该过程的总时间大约为几秒）的情况下进行如下假设：在具有a的周期上解决全涡流问题。“微”EM时间步长，用户可以在a中指定这些“微”EM步骤的数量期。在此期间的EM场的平均值以及焦耳热计算。然后来假定材料的性质（和主要是电的驱动电流流动和焦耳加热时的电导率）不改变下一个周期的电流，这些性质主要取决于温度。因此只要温度不改变的话，就可以认为假设是准确的。
若改变太多，在这些期间，不需进行EM计算，仅计算焦耳加热功率被给予热解算器的平均。但是，随着温度的改变，导电性和EM场需要相应的更新，因此给出另一个对于新的平均EM的电流周期计算全涡流分辨率字段和焦耳加热的更新。用户可以定义这个“宏观”时间步骤，当EM字段在新周期（在EM CONTROL中定义重新计算或EM控制时间步骤卡）。因此，求解器可以有效解决问题涉及用于移动方式或者不移动线圈的感应加热。
图13：感应加热解算器
电阻加热解算器是仅涡流模型的简化版本的电阻和无电感效应。向量电视A~等于零并且保持标量势。方程系统简化为
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