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用Leacute;vy行走算法和萤火虫算法的随机优化鹰策略
摘要：大多数全局优化问题是非线性的，因此很难解决。当不确定因素存在于目标函数和约束条件时，它们变得更加具有挑战性。本文对随机优化提出了一种新的两阶段混合搜索方法，称为鹰策略。这一策略意图以迭代的方式使Leacute;vy行走随机搜索和萤火虫算法结合。数值研究和结果表明，提出的鹰策略是非常有效的随机优化算法。最后，将讨论为进一步研究的实际影响和潜在的主题。
1引言
找到任意优化问题的解决方案，我们可以使用传统的优化算法，如爬山法和单纯形法，或启发式方法，如遗传算法，或其适当的组合。在解决全局优化问题中，现代启发式算法变得强大 [4, 6, 7, 9, 13, 20, 21]，特别是对于NP困难问题，如推销员旅行问题。例如，粒子群优化算法（PSO）是由Kennedy 和Eberhart于1995开发的，基于自然界中鱼类和鸟类学的群体行为。它已被应用到寻找许多优化应用的解决方案中。另一个例子是由第一作者开发的萤火虫算法[ 13，20 ]，在许多其他算法中，它表现出比其他更有前途的优越性。在这些多智能体算法里的搜索策略是控制随机化和最佳解决方案的开发。然而，这样的随机化通常使用一个统一的分布或高斯分布。事实上，由于粒子群优化算法的发展，已有相当多的算法已经被开发出来，并且它们可以在不同的方式中超越粒子群优化算法[20, 22]。
另一方面，总有一些与所有现实世界的优化问题相关的不确定性和噪音。随后，目标函数可能有噪声和约束也可能有随机噪声。在这种情况下，一个标准的优化问题成为一个随机优化问题。标准优化问题的工作方法不能直接应用于随机优化；否则，所获得的结果是不正确的，甚至是没有意义的。不是优化问题必须重新修正，就是优化算法应作相应修改，虽然在大多数情况下，我们必须做两个 [3, 10, 19]。
在本文中，我们打算制定一个新的启发式搜索方法，称为鹰策略（ES），这个策略结合Leacute;vy行走搜索与萤火虫算法（FA）。我们将提供粒子群优化算法和其他相关算法的比较研究。我们将首先概述鹰战略的基本思想，然后概述萤火虫算法的本质，并对这些算法的性能进行了比较。
2随机多目标优化
一个普通的优化问题，不存在噪声或不确定性，可以写成
（1）
服从
（2）
其中X =（X1，X2，hellip;，XD）是设计变量的向量。
对于随机优化问题，不确定性或噪声对设计变量的影响可以通过一个随机变量的分布来描述[ 10，19 ]。这是
（3）
和
（4）
使用最广泛的分布是高斯或正态分布，其中，均值和标准差已知。因此，目标函数成为随机变量。
现在我们必须将优化问题以目标函数平均值的最小值或者的形式表示。
（5）
这里是的平均值或期望，i = 1,2，hellip;，N。一般情况下，我们还可以包括它们的不确定性，从而导致最小化
, （6）
,且是一个常数。此外，不确定性的约束，应作相应修改。
为了估计，我们不得不使用一些采样技术，如蒙特卡罗方法。一旦我们随机抽取样品，我们就有了
（7）
其中是样本数量。
3鹰策略
鹰鹫、金雕等鹰的觅食行为是令人鼓舞的。一只在自己的领土以随机的方式自由飞翔的鹰觅食就像Leacute;vy飞行，一旦猎物被发现，鹰将其搜索策略改变为一个密集的追逐战术，以便尽可能有效地捕捉猎物。鹰的狩猎策略有两个重要的组成部分：用Leacute;vy飞行（或走路）随机搜索和锁定目标密集追逐。此外，各种研究表明，许多动物和昆虫的飞行行为已经证明了Leacute;vy飞行的典型特征[5, 12–14]。雷诺兹和弗莱的关于果蝇的一项最新的研究表明，使用一系列直线飞行路径伴随着突如其来的900度转来探索他们的风景，导致Leacute;vy飞行式间歇无标度网络的搜索模式。人类行为研究如Ju/rsquo;hoansi狩猎觅食模式也显示了Leacute;vy飞行的典型特征。连光都是与Leacute;vy飞行相关[2]。随后，这种行为已被应用到优化和优化搜索，初步结果表明它的有前途的能力[ 12，14，16，17 ]。
3.1鹰策略
现在让我们把鹰的觅食行为的两阶段策略理想化。首先，我们假设一只鹰在整个区域中执行Leacute;vy行走。一旦它发现了一个猎物，它就改变一次追逐策略。其次，追逐策略可以被视为使用任意优化技术的局部搜索，如最速下降法，或单纯形法[11]。显然，我们也可以使用任何有效的启发式算法，如粒子群优化（PSO）和萤火虫算法（FA）做集中的局部搜索。拟议的鹰策略的伪代码概述在图1。
超球面的大小取决于目标函数的景观。如果目标函数是单峰的，然后超球面的大小可以和域的大小相同。从任何初始猜测，原则上可以找到全局最优。如果目标是多种方式的，然后超球面的大小应是本地模式的典型尺寸。在现实中，我们在做优化之前，我们不太了解景观的目标函数，我们可以从一个更大的域开始，然后缩小或使用较小的尺寸，然后逐渐扩展它。
在表面上，鹰策略与随机重启爬山法有一定的相似性，但有两个重要的差异。首先，这是一个两阶段的策略，而不是一个简单的迭代法，因此鹰策略拟将一种很好的随机化（多样化）技术全局搜索和一种高效的局部搜索方法结合。其次，利用Leacute;vy行走算法而不用简单的随机化，这意味着可以更有效地探索全球搜索空间。事实上，研究表明，Leacute;vy行走算法远比简单随机游走探索更有效。
图1鹰战略的伪代码 (ES)
Leacute;vy行走有一个从Leacute;vy分布绘制的随机步长
Leacute;vy sim; u = tminus; , (1lt;le;3), (8)
具有无限方差的无限均值。在这里，鹰运动的步骤基本上是带有重尾的幂律步长分布的随机游走过程。特殊的= 3对应于布朗运动，而= 1具有随机隧穿特性，这可能更有效地避免陷入局部最优。
为了本地搜索，我们可以使用任何有效的优化算法，如单纯形（Nelder-Mead）或启发式算法如粒子群算法、萤火虫算法。在本文中，我们用萤火虫算法做局部搜索，萤火虫算法的目的是解决多通道全局优化问题[ 20 ]。
3.2萤火虫算法
现在我们简要概述由第一作者[ 13 ]开发的萤火虫算法的主要组成部分，灵感来自萤火虫闪光模式和特点。为简单起见，在描述算法，我们现在使用以下三个理想化的规则：1）所有的萤火虫都是不分男女的，萤火虫会对其他的萤火虫所吸引，不论性别；2）吸引力与它们的亮度成正比，因此任何两闪烁的萤火虫，亮度小的将走向亮度大的萤火虫。吸引力与亮度成正比，随着距离的增加而减少。如果没有更亮的萤火虫，它就随意移动；3）萤火虫的亮度是由目标函数的景观影响或决定的。对于最大化问题，亮度可以与目标函数的值成比例。
图2萤火虫算法的伪代码
在萤火虫算法中，有两个重要问题：光强度变化和吸引力公式。为了简单起见，我们可以假设一只萤火虫的吸引力是由它的亮度决定的，这反过来又与编码的目标函数有关联。
在最简单的情况下的最大优化问题，萤火虫在特定地点的亮度正比于，即。然而，吸引力是相对的，它应该是在旁观者的眼中，或由其他萤火虫的判断。因此，它会随萤火虫与萤火虫之间的距离而变化。此外，光照强度随离光源的距离而减小。光照在介质中也被吸收，所以我们应该让吸引力随吸收的程度而变化。在最简单的形式中，光照强度随平方反比定律变化，其中是源的强度。对于一个给定的具有固定的光吸收系数介质，光强度随距离变化而变化。那是
（9）
其中是原始光强。
因为萤火虫的吸引力是由相邻的萤火虫看到的光的强度成比例的，现在我们可以定义一个萤火虫的吸引力
（10）
其中是在r = 0时的吸引力。
分别在xi和xj，任何两个萤火虫i和j之间的距离是笛卡尔距离
（11）
其中第i个萤火虫的空间坐标的第k个分量。在二维情况下，我们有
（12）
一个萤火虫往另一个更具吸引力（更明亮）的萤火虫的运动决定于
其中第二项取决于吸引力，第三项是一个控制参数的随机分组，这使得搜索空间的探索更加高效。
我们尝试使用不同的参数值，，[ 13，20 ]，经过模拟，我们得出的结论是，对于大多数应用程序我们可以用和= 1。此外，如果在不同的维度上的尺度变化显着，如到的一个维度，minus;0.001到0.01在其他的维度，用替代是一个好主意，其中在d维度的缩放参数应决定于利益问题的实际尺度。
当和infin;时，有两个重要的限制案例。对于，吸引力是恒定的和长度尺度Gamma;=infin;,这等于说，在一个理想化的天空中，光的强度不会降低。因此，萤火虫闪烁在域的任何地方都可以看到。因此，一个单一的（通常是全球性的）最佳可以很容易地达到。这相当于之前讨论的粒子群优化算法的一个特殊情况。随后，这种特殊情况下的效率可能与粒子群优化算法的效率相同。
另一方面，限制案例infin;导致Gamma;和（狄拉克delta;函数），这意味着在看到其他的萤火虫时，吸引力几乎为零或萤火虫是短视。这相当于萤火虫随机漫游在多雾的地区。没有其他的萤火虫可以被看到，每个萤火虫以一个完全随机的方式在漫游。因此，这相当于完全随机搜索法。萤火虫算法通常是介于这两个极端之间，调整参数和是可能的，这样它可以超越随机搜索法和粒子群优化算法。
4仿真与比较
4.1验证
为了验证所提出的算法，我们已经在MATLAB实现了它。在我们的模型中，参数的值是= 0.2，= 1，= 1，0 = 1，= 1。作为一个例子，现在我们可以用鹰策略找到Ackley函数的全局最优解。
图3 对于在（0，0）处全局最小值的两个独立变量的Ackley函数
其中（D = 1,2，hellip;）[ 1 ]。在范围minus;32.768 le; le; 32.768内，全局最小值发生在（0,0，hellip;，0），其中i = 1,2，hellip;，D。二维Ackley函数景观如图3所示，图4中显示了2.5%噪声的函数景观。
图4有高斯噪声的二维Ackley函数
在300次函数评估后（20只萤火虫，经过15次迭代，见图5）能找到一个给定的噪声值为2.5%的二维的全局最小值。
4.2鹰策略和粒子群优化算法的比较
各种研究表明，对于解决许多优化问题，粒子群优化算法可以超越遗传算法（GA）[7]和其他传统的算法。这部分是因为这一事实，目前最佳估计的广播能力可以更好更快地收敛到最优，Shilane等人讨论了进化算法统计性能评估的总体框架[ 15 ]。
现在我们将比较鹰策略与粒子群优化的各种标准测试函数。用Matlab实现这些算法后，我们已经进行了大量的模拟和每个算法已经运行至少100次，以便进行有意义的统计分析。当函数值的变化小于一个给定的公差时，该算法停止。结果总结在下面的表格（见表1），其中达到了全局最优解。这些数字的格式：评价的平均数（成功率），12.7plusmn;1.15(100)意味着函数评价的平均数（平均值）是12.7times;= 12700，标准偏差是1.15times;＝1150。寻找全局最优解的成功率为100%。在这里我们使用了以下缩写：MWZ为d = 16的 Michalewicz，RBK为d = 16的Rosenbrock函数 ，De Jong为d = 16的De Jong球函数，Schwefel 为d = 128的Schwefel，Ackley为d = 128的Ackley函数，和Shubert为极小值为18的Shubert函数。此外，所有这些测试函数有一个2.
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