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从理论到实践:稀疏宽带模拟信号的亚奈奎斯特采样
Moshe Mishali,学生会员,IEEE和Yonina C. Eldar,高级会员,IEEE
摘要—模拟信号常规的亚奈奎斯特抽样方法利用光谱支持的先验信息。在本文中，我们考虑了多频带信号的盲亚奈奎斯特采样的难题，其未知频率支持只占一整个个宽频谱的一小部分。我们的主要设计目标是能完成高效的硬件实现和数字化处理上的低计算量。我们提出了一个系统，命名为调制宽带转换器，其首先由一堆周期性波形产生模拟信号，然后通过低通滤波并以低的速率实现均匀采样，采样速率的数量级要小于奈奎斯特速率。从提出的样品中完美的恢复信号在一定的充分必要条件下是可以实现的。我们也开发了一种数字结构，它允许重建模拟输入并以低速率处理任何带宽，不需要内插到高奈奎斯特速率。数值模拟论证了许多工程方面：噪声和误建模的鲁棒性，潜在的硬件简化可能，实时性能的时变支持和量化效果的稳定性。将我们的系统和两个之前的方法相比较：带宽被现有的硬件设备限制的期性非均匀采样，它被限制为离散多频信号和高的计算负荷限制的随机解调器。
在奈奎斯特采样的大环境下，我们的方案有希望通过国家最先进的模拟转换技术—如交错转换器的带宽壁垒。
关键词 模拟 - 数字转换（ADC），压缩采样（VS），无限测量向量（IMV），多带取样，频谱盲重建，亚奈奎斯特采样。
1 简介
射频（RF）技术通过高载波频率对窄带信号进行调制。因此，人造无线电信号通常是稀疏的。也就是说,它们由一个相对少数量的窄带传输分布在宽的频谱范围内。一个的简单方法来形容这类信号是通过多带模型。多带信号的频率支持位于在宽谱传播的几个连续的时间间隔内。图1描述了一个典型的通信应用,宽带接收机,其中接收信号在多带模型后。
图1 三个不同的载波频率的射频传输，接收机接收到的多频带信号
在这样的应用中的基本操作是将输入信号转换为数字，并且低速处理部分或全部的单独传输。最终，数字产品被变换回用于进一步传输的模拟域。
由于多频带信号的宽谱范围，其奈奎斯特率在数量级上可能会超过最好的规格模拟 - 数字转换器（ADC）。因此，任何尝试获得一个多带信号必须以智能的方式利用它的结构。当载波频率是已知的，一个共同的实际工程方法是通过其载频来解调信号，使得所关注的频带频谱内容围绕原点为中心。一个低通滤波器用来拒绝其他的一些频带的频率。数字转换在匹配频带的实际信息宽度的速率下进行。单独对每个频带重复该操作形成的采样速率是带宽的总和。这种方法实现了最小采样速率，来源于 Landau [1]，其等于实际的频率占用。另一种不需要模拟预处理的替代的抽样方法在[2]中提出。在这种策略中，周期非均匀采样被用于在平均速率下采样多频带信号出自于Landau。常规解调和[2]中的方法依赖于载波频率的知识。
在载波频率是未知的接收器中，或随时间变化的场景，一个艰难的任务是在一个亚奈奎斯特速率下设计光谱盲接收器。在[3]和[4]中，一个多陪集抽样策略被提出，信号支持的独立，以低速率获得多频带信号。虽然取样方法是盲目的，为了从采样中恢复原始信号我们需要频率支持的知识。最近，在[5]中，我们提出了一个基于多陪采样全盲谱系统。我们的系统在采样或恢复阶段不需要的频率支持的知识。为了重构盲信号，我们提出了一种数字算法用来处理样品和确定的未知光谱支持。一旦支持被发现，连续信号就可以采用封闭形式表达来重建。
周期性非均匀采样是在模拟转换的大背景下频谱被完全占用时的一个流行方法。不同于在一个高速率下执行单个ADC，交错的ADC在速率为和适当的时间位移[6] - [8]下使用设备。然而，时间交错有两个基本限制。首先，低速率采样器必须共享一个容纳输入带宽的模拟前端。在今天的技术下可能的前端仍远远低于宽带制度。第二，保持准确时间的变化，按照的顺序，是难以实现的。多陪集采样，是交错ADC的一个特例，使得相同的限制依然适用。在第二节-B部分，我们详细讨论了实施交错ADC和多陪取样难度。实际上，这样的系统被限制为中间输入频率并且不能处理宽带输入。
最近，一种获得多频信号的新体系结构称为无规解调器，在压缩传感（CS）[9]，[10]的文献中被研究。在这种方法中，信号是由高速率伪随机数发生器调制，集成，并以低速率进行采样。该方案适用于从一个固定均匀网络中选择的有限集谐波信号。时域分析显示，CS算法可以从提出的样本中恢复这种多频信号[10]。然而，如第六节所讨论的，真正的模拟信号需要非常大量的谐波在离散模型上近似，这又使该重建在计算上变得不可行和对网络的选择很敏感。另外，时域方法的低速率阻碍了处理，即使对于多频输入，因为内插奈奎斯特速率是在重建的必要成分。
在本文中，我们的目标是将之前方法的优点结合起来：处理模拟多频带模型的能力，具体执行的采样阶段和一个涉及高效数字处理的频谱盲恢复阶段。此外，我们希望一种允许低速率处理的方法。即要处理任何一个传输频段无须事先插值高奈奎斯特率的能力。
我们的主要贡献是一个模拟系统，被称为调制宽带转换器（MWC），它由一系列的解调器和低通滤波器组成。该信号被一个周期波形相乘，其周期对应于多频带模型参数。一种在奈奎斯特速率下的方波替代是一种选择，其他周期性波形也是有可能的。调制器的目标是将频谱转换为基带。调制输出后经过一个低通滤波器滤波并以低速率进行采样。速率可低至单个传输的预期宽度。基于频域的参数，我们证明了一个合适的参数（波形周期，采样率）选择来保证我们的系统可以唯一的决定一个多波段输入信号。此外，我们描述了如何在每个分支上在一个更高速率下来交换信道的数量，这么做的代价是需要额外的处理。从理论上讲，这种方法允许整个系统以比奈奎斯特速率低的操作速率折叠到单个信道。
我们的第二贡献是一个数字结构，它可以就不同的目的对样品进行处理。原始模拟输入的重建成为了一种可能的功能。或许更有用的是所提出的系统产生相应于每个带的低速率序列的能力。其中，原则上，允许随后以低速率对每频带进行数字处理。此体系结构还具有对输入进行时变支持的能力。在数字处理的中心是我们以前工作中[5], [11]得到的连续-有限模块。CTF在数字域将支持恢复和其余部分的操作分开。在我们以前的工作中，CTF需要大量的奈奎斯特率下的数字处理。因此，在高速率的计算中只提供了模拟重构。与此相反，在这里，对CTF计算是直接在低速率的样品上进行的。
本文的主题是从理论到实践，即理论抽样方法与实际的工程方面捆绑在一起。除了唯一性理论和稳定性的条件，我们利用广泛的数值模拟去学习典型的宽带方案在第五节中。仿真模拟了鲁棒性噪声和信号误建模，潜在的硬件简化以减少设备的数量，时变光谱支持的快适应，和量化样本的性能。MWC的一个电路级的实现在12中提到过。
本文安排如下：第二节描述了多频带模型，并指出在宽带制度下多陪采样的局限性。在第三节中，我们描述了MWC系统并提供采样结果的频域分析。这导致了保证了能够匹配数字样本的唯一信号具体的参数选择。我们权衡信道的数目、速度和复杂性的讨论来对这一节进行总结。低速率处理和恢复的体系结构在第四节提出。在第五节中，我们对提出的系统进行了详细的数值估算。第六节是相关的工作回顾。
2 公式和背景
A.问题描述
在本文中，我们设在里是实值连续时间信号。假定连续信号被带限到，从形式上看，傅立叶变换被定义为：
（1）
为0，当。的奈奎斯特速率为。由于技术原因，也被认为是在上分段连续。我们从下面定义的多频带模型来看信号。
定义1：集包含所有的信号，这使得傅立叶支持变换被一些不相交的中的个区间（带）包含，且以及各自的带宽不超过。
中的信号由于的共轭对称有偶数个宽带。频带位置是任意的，特别是，他们预先是未知的。多波段模型中典型信号的光谱支持如图一中例子所描述。其中和，由可能的发射机的规格所决定。我们希望为模型中的信号设计一个采样系统用于从满足以下属性：
- 采样速率应该尽可能的低；2该系统没有频带位置的先验知识；3.该系统可以用现有的模拟设备和（优选低速率）的ADC来实现。
在采样阶段我们还需要设计一个改造方案，它可以将离散样本转换回连续时间域。这个阶段在重建之前可能包括有数字处理。一个隐性（但至关重要）的要求是恢复要涉及一定合理数量的计算。实时应用也可能需要从输入到输出的短潜伏期和恒定的吞吐量。因此，有两个主要因素决定了该整体系统可处理的输入频谱范围：模拟硬件将信号转换为数字所要求的速率和一个可以容纳计算负载的数字阶段。
在我们之前的工作5中，我们证实了对于允许完美盲重建的最小采样速率是，也证实了低于奈奎斯特速率。这个式子代表信号占据频带超过一半的奈奎斯特范围。
没有速率改善是可能的（对于任意的信号）在这种情况下。因此我们在下面假设，对于盲恢复具体的算法，实现最小速率，在5中基于多陪抽样速率被提出。下一节我们简要介绍这个达到最小速率和盲的结果的方法。然而，实际的ADC的限制，我们将在下一节中详细描述，表明多陪集宽带采样是不符合实际的。如第三节-A所述，在本文提出的采样方案规避这些限制，并在实际执行方面还有其他优点。
B 实际ADC的多陪集用法
在多陪集采样中，的采样在一个周期和非均匀网格中取得，这个网格是奈奎斯特网格的一个子集。在形式上，通过在奈奎斯特速率取样的序列表示。我们设是一个正整数，并且是一组个具有鲜明特征的整数。多陪集采样包含个均匀的序列，称作陪集，其中的第个陪集定义为：
（2）
只有当时陪集被用到，所以平均的采样速率是低于奈奎斯特速率。
一个可能的采样序列（2）的实现如图二所示。组件是个速率为的均匀样本。其中第个采样是从原点移位过来的。
图2 多陪集抽样原理（a）的实现在时移和实际采样之间不需要滤波，然而，实际的ADC的前端有一个固有的带宽限制，在前述（b）的均匀采样被建模成一个低通滤波器。
虽然这个方案看起来简单直观，实际的ADC引入一种内在的带宽限制，这篡改了样本。这个失真机制，在图2（b）中作为前述的低通滤波器被建模，成为高速率输入的关键。要理解这一现象，我们侧重于实际ADC的模型，如图2（b）,忽略暂时的时移。在速率样本/秒下的一个均匀的ADC试图输出输入信号逐点的样品。设计过程和制造技术导致了额外的属性，称为模拟（全功率）带宽[13]，这就决定了该设备能够处理的最大频率。任何频谱内容超出赫兹会衰减和失真。带宽限制是固有的，不能从ADC分离。因此，制造商通常推荐加入前置外部抗混叠低通滤波器，具有截止频率，由于内部设有一寄生响应。这个比例影响ADC的电路设计的复杂性，并且通常在范围[14]
（3）
实际ADC模型在实施多陪采样时存在两个困难.首先，RF技术允许传输速率在数量级上超过国家最先进的设备的模拟带宽。例如，由 Analog Devices Corp.制造的ADC设备前端带宽可达到[14]。因此，任何试图通过实际的ADC以获取一个宽带信号会导致超过赫兹的频谱内容损失。采样序列（2）衰减和失真了而且不再是逐点的值。这种限制是根本的而且还有其他多陪集结构（e.g.由不均匀时钟触发的单个ADC）。第二个问题是对资源的浪费，这个不是很严重，但也适用于某些可用的设备当奈奎斯特速率时。对于一个稀疏频谱的信号，多陪集减少了平均采样速率通过使用中个陪集，其中一般都是。图2中每一个陪集都在速率下采样。因此，ADC在速率下采样，这要远低于标准范围（3）。这意味着采样的速率远低于ADC的最大能力。
最终，对宽带信号实施多陪集需要设计一个专门的微调ADC电路，为了满足较宽的模拟带宽，并且还利用预期的非标准速率。尽管这有可能对于专家来说是有趣的任务，但它违背我们设计的基本目标，也就是，使用标准的和现有的设备。在[15]种一种非传统的ADC通过高速率光器件来设计。这个光学电子系统引入了一个带宽能达到宽带制度的前端，以一个光学系统的大小为代价。不幸的是，目前，这样的设计不能用纯电子技术来实现。
多陪集采样另一个实际的问题，存在于光学实现中，起因于时移元件。在ADC之间维持精确时间延迟在奈奎斯特间隔顺序下也是困难的。
图3. 调制宽带转换器—多频段信号的实际采样阶段
这些延迟中的任何不确定性影响了从采样的序列[16]中的信号恢复。在文献中已经提出的各种不同的算法用以补偿定时错配。然而，这给接收机[17]，[18]增加了实质的复杂性。
3 采样
我们现在提出了一种替代的采样方案，它使用可用的装置，不再考虑模拟带宽问题并且不需要非零时间同步。这个系统被称为调制的宽带转换器（MWC），在图3中示意性地绘制其各种参数。在下一小节中，MWC将会就任意组参数进行描述和分析。在第三节-C中，我们指定参数的选择，宽带位置的独立，即接近最小速率。这个所得的系统由图3中的MWC和在下一节介绍的恢复架构组成，满足了我们问题公式化的所有要求。
- 系统说明
我们的系统利用了传播理论[19]，[20]中的扩频技术。一个模拟混合前端混叠了光谱，使得每个频带的频谱部分出现在基带。该系统由几个信道组成，实施不同的混合方法，这样，原则上，足够多的混合方法物允许恢复相对稀疏多频带信号。
更具体地，信号同时进入通道。在第个频道，和一个混合函数相乘，它的周期为。混合之后，信号的频谱被一个为截止频率为所截断并且滤波后的信号以频率被采样。每个信道的采样率是足够低的，从而使现有的商用ADC可以用于这项任务。因此设计的参数信道的数量为，周期为，采样速率为，混合函数为，。
为了具体起见，在续集中，被作为一个分段常数函数，在之间交替对于每个相等的时间间隔。从形式上看：
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