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振荡电流作用下氢气放电中电弧研究
摘要：电弧电流大小作为电弧通道半径的独立变量的研究已经取得一定进展。已经有研究者得出了300到3000A电流在460托氢气气压中放电的实验数据，本文将实验数据和作者的理论计算结果进行对比。前人关于电弧半径的计算存在很大误差，问题出现在电弧电导率的计算值，一是假设电弧电导率随皮斯策系数变化，二是假设电弧通道电导率恒定，通过比较两个模型的理论计算结果和实验测量结果得出以上结论。理论研究结果表明，根据兰金-于戈尼奥方程，电弧通道压力和激波前沿能量的关系是由气体离开激波前沿的速度决定的，而不是被公认的气体进入激波前沿的速度，这个结果说明电弧通道的边界是由激波前沿定义的。同时本文中阐明电弧电导率是关于电流参数的函数表达式。
符号名称
回路总电容
激波弛豫距离
电弧通道能量
电弧通道电流
弧柱区域阻抗参数
电弧长度
回路总电感
激波前沿上游气体压力
激波前沿下游气体压力
电弧半径
初始点弧半径
初始电弧膨胀速度
改变电导率后电弧半径的变化
改变阻抗参数后电弧半径的部分变化
改变电导率后电弧半径的部分变化
回路总电阻
电弧通道电阻
时间
电弧通道温度
活塞产生激波前沿的速度
气体进入激波前沿的速度
气体离开激波前沿的速度
电弧通道电压
击穿电压
变量
常数
热容比
初始气体密度
时域电弧通道电导率
电弧电导率常量
1. 引言
许多研究者已经研究过脉冲放电条件下电弧通道膨胀和扩张的现象，被引用最多的是Drabkina[1]和Braginskii[2]的结论，他们假设电弧通道是均匀的（密度、电流分布、电阻率恒定），所以电弧通道的膨胀符合自然条件下的流体动力学，并且放电开始时存在激波，激波前沿在产生时是圆柱形的，但是在半径发展稍微超过轴向长度时变成圆形[3]。在电弧膨胀的末期阶段，激波前沿发展速度减小，转化为声波。许多研究表明电弧膨胀过程从连接阴极和阳极的细丝开始，在这个时候通道半径与细丝半径相等，接下来受电流的影响电弧通道开始膨胀。
关于最近的研究，Engel[4]对Braginskii的工作做了一些改进，结果表明电弧通道膨胀不依赖于先前的部分假定，经过改进后电弧半径数值很大程度上符合实验结果。本文中，Engel算出的振荡放电下的半径膨胀可以被先前的实验结果[5]证实，被证实的实验条件是460托氢气气压以及电流振幅在约300到3000A之间的振荡放电。设计两种实验测量电弧半径，第一种是改变放电能量，放电频率不变；第二种是放电频率改变，放电能量不变。
这里的半径膨胀理论研究是以恒定电阻参数[2]和通道电导率为函数的，电阻参数将电弧通道压强与激波前沿的能量联系起来，这表明由通道压强和气体离开激波前沿的速度，从兰金-于戈尼奥曲线中可以找到更准确的电阻参数。电弧通道电阻率通常被认为是恒定的，其值是由连接阴极和阳极的细丝（放电初始阶段电弧）的电阻率决定的。对于恒定的通道电阻率，电弧通道中的电导由电弧通道的半径决定。如果电弧通道电导被用来计算电弧通道半径，假设温度是已知的，就可以通过皮斯策系数得到半径的估算值。通过比较理论结果和实验结果可知，前人在计算电弧半径时的错误出在时使用了随时间变化的电弧电导率。对电弧电导率参数求解在下文中说明。
电弧半径是非常重要的参数，因为它可以被用来计算时域电弧电阻[4]，反过来，随时间变化的电阻可以用来估计开关效率以及关断时间，开关中电弧膨胀速度和最大值的求解同样可以用到电子管和电热发射器物理学中。
2. 理论
有几个描述时域上电弧膨胀的理论表达式，自由膨胀的电弧放电电流较小（电流太小以至于可以忽略磁场力的影响）。假设电弧膨胀满足流体动力学过程，最早的研究由Drabkina[1]完成，他将电弧通道膨胀速度与通道中的能量释放联系起来，给出了电弧半径表达式
式中、和是常数，式（1）中储存在电弧通道中的能量需要由实验得到，这个能量与其他电弧通道参数的关系可以被表示为：
电弧电压或者电阻与电弧电流没有直接联系。Braginskii[2]在通道电导率和温度方面优化了Drabkina的理论，之前电弧通道的能量平衡等式是高度非线性的，为了将等式变换成可解的形式，通道半径被假设为一种满足时间函数的能量（）。空气放电电弧通道的膨胀可表示为：
可以注意到（3）中的常数是错误的[4]，应该是[6]。在氢气放电中的电弧膨胀，表达式应该为：
对于单电极脉冲实验[2]的初始放电阶段，等式（3）和等式（4）有很好的符合度，但是对于振荡脉冲电流过零点时的情况显然是不准确的。
在最近的研究中，Engel[4]发现了对于非线性能量平衡等式对两个自由度电弧等离子体的准确解。假设放电通道中电子加速产生两个自由度的等离子体，由于离子和分子的质量远大于电子，忽略从电场中获得的离子能量和电子碰撞中获得的分子能量。忽略其他自由度如旋转和振动，因为在电弧膨胀过程中[7]它们得到的能量很少，但是这些能量在击穿阶段被完全激发。Engel[4]得出的电弧通道半径表达式为：
通常来说，在（5）中被认为是恒定的，这使等式中在积分外面的分母可以被因式分解。然而，如果电弧通道温度已知，通过假设电弧电导率随皮斯策系数变化可以得到电导率值。Braginskii[2]证实在氢气中放电时，皮斯策系数电导率与实验结果符合完好，可以表示为：
Braginskii同样表明对于大气压下的空气电弧，电导率与电弧温度之间的耦合性比皮斯策系数预测的要低，因此随着离子化程度的变化增加，变量替换成。
电阻参数的值由压缩激波[8]中的压强和速度关系决定，图1给出了静止参考系中的激波前沿，表明每个区域中密度和速度的关系，在这个图中，周围的空气被“活塞”压缩形成激波前沿。从兰金-于戈尼奥方程对理想气体、恒定比热中的强激波（）得出，在极薄的激波前沿后面的压力是气体进入激波前沿的函数，可以表达为：
由于在激波前沿没有物质累积（，），激波前沿后面的压强也可以被表示为气体离开激波前沿速度的函数，表达式为：
式子（7）和（8）表明对于电阻参数有不同的结果，这取决于使用的速度是还是。例如，对于两个自由度[4]，从（7）中得到的电阻参数是，同样，从（8）中得到的电阻参数是。正如前面的描述，作者假设在这次实验中等离子体电弧是两个自由度的。
图 1 静止参考系中“活塞”与激波前沿的密度和速度关系
用哪种速度描述电弧膨胀取决于定义电弧通道的边界是激波前沿还是活塞，如果电弧通道的边界定义为活塞，如图1，活塞的扩张速度可以等效表达为电弧通道的扩张速度：
式子（7）和（8）能用（9）替代以找到压强和速度的关系式以及这种情况下或者的电阻参数的函数。然而，如果用激波前沿定于电弧边界，参考坐标系的运动速度一定是非零的，这样才能满足电弧通道的特定条件。运动参考系的物理关系与兰金-于戈尼奥方程相符合，气体进入通道的速度（等效为气体离开激波前沿的速度）一定为零才能满足电弧通道基本条件。当参考坐标系的运动速度与（9）中给出的速度一致时电弧通道的基本条件是满足的，也就是说，这是用图1中参考坐标系与活塞一同移动的方式去观察激波膨胀过程。在这个参考系中，通道扩张速度（激波前沿）等效于气体离开激波前沿的速度，压强和速度的关系在（8）中给出。在这种情况下电阻参数是，激波前沿和相关密度和速度关系的构造如图2所示。可以注意到虽然图中表明气体密度在电弧通道的几个区域中是恒定的，这实际上是错误的，因为实验[10]、[11]表明气体密度从通道中心的非常低的数值（比为扰动气体更低）增加到通道边界很高的数值（比未扰动气体大3到6倍），这种稠密的边界通常被认为是电弧通道[2]的“壳”，它随着扩张的通道移动，但是在通道中扩散是有限制的。所以，电弧通道膨胀被认为是“雪崩式”的，未扰动气体被推动称为电弧通道。
图 2 运动参考系中“活塞”与激波前沿的密度和速度关系
在下一节中，（5）被用来计算电弧半径的数值，结果与Martinen和Tholl[5]实验测量的半径结果相比较，用两个理论计算电弧通道半径，第一个理论包含（5）的估算，假设电弧通道电导率是恒定的；第二个理论包含计算半径时用到了（6）中给出的时域变化的通道电导率，设定电导率的变化随Martinen和Tholl[5]测量的电弧温度变化。上文已经讨论了错误出现在计算电弧半径时电弧电导率为恒定值，我们假设电弧膨胀的边界是由激波前沿的位置决定的，式子（8b）用来估算用于计算电弧半径计算（）的电阻参数值。恒定电弧通道电阻率（从第一个理论中得到）将被用来建立电弧电荷转移量的比例关系模型。
3. 实验结果和讨论
文献[5]中得到的实验测量氢气中电弧通道半径值可以证实式（5）的计算精度，在图3和图4中可以看到比较结果。图3展示了恒定频率，可变能量放电的实验结果，图4展示了恒定能量，可变频率放电的结果。在图3和图4中，用串联RLC电路计算（5）中的放电电流值。Martinen和Tholl[5]表明回路额外电阻为1，总回路电阻在图3和图4中给出，用来计算电弧电流，其他回路参数（等效串联电阻、回路电感、放电电容、频率响应等）造成实际回路电阻大于1。图3和图4中的其他数据（通道温度、通道半径）在文献[5]中均被考虑。需要注意的是，电弧通道半径用电子纹理相机拍摄的光度来判断，实验准备过程中的细节问题在文献[12]中可以找到。在图3和图4的数据中可以看出通道膨胀速度在电流开始的三个振荡周期明显减小。
图 3 恒定频率，可变能量放电中，文献[5]实验测量电弧电流、温度、半径值
图 4 恒定能量，可变频率放电中，文献[5]实验测量电弧电流、温度、半径值
图5和图6画出恒定通道电导率情况下计算电弧通道半径，在文献[2]中指出对于与本课题相似的研究中，通道电导率在约范围内。在计算电弧半径时，假设通道电导率恒定，通道电导选用在第一个电流峰值时与实验和理论结果相匹配的值，这种“匹配”上的电导率值被称作，在一定程度上与电导率期望值相符合，在（8b）中给出关于电导率的电阻参数。计算中初始电弧半径是，初始气体密度是，氢气气压是460托。从图3和图4的实验测量结果中，初始电弧膨胀速度可以被估算，的值在表1中给出。
图 5 假设电导率恒定，可变能量放电时，计算半径值（实现）与测量半径（虚线）
图 6 假设电导率恒定，可变频率放电时，计算半径值（实现）与测量半径（虚线）
Berge和Manthey[13]发现了初始电弧通道的初始膨胀速度与电弧电流的上升有关，他们给出初始膨胀速度的表达式
式中对于760托大气压放电是的恒定数值，表2给出了需要被证实的等式（10）的参数，在表中也给出了氢气放电的数据，是恒定的，空气中的平均值为（标准偏差下是）。等式（10）预测了在放电条件相同的情况下，氢气中电弧通道的初始膨胀速度比空气中要快，这是因为随[13]改变。另外，在表2中给出的值有19%的最大误差，这是一个相当大的错误，但是可以归因于计算膨胀速度使用的图解法。
表 1 初始电弧膨胀速度与电弧电导率值
表 2 关于击穿电压的计算参数
通常来说，图5和图6中电弧通道半径的计算值与实验测量值在电流第二个振荡周期符合良好，这种符合在第三个电流振荡周期（膨胀速度明显下降）有30%的误差，在图中情况2可以看出。情况2中较大的错误是可以被预测的，因为这种放电的振荡频率比其他情况要慢得多，激波前沿可能从通道中分离出去，或者通道膨胀速度已经达不到声速而不能产生激波。其他使电弧膨胀速度减慢的现象可以理解为式（5）中没有考虑到的通道能量损失，比如辐射和热传递损失的能量。
如果假设激波前沿的速度衰减为声速时通道膨胀速度减小，在衰减时间已知的情况下可以估计最大电弧半径。Few[14]发现弛豫时间对于圆柱体激波可以给出
如果电弧通道能量是已知的，可以估算激波前沿的弛豫时间，从而可以得到最大通道半径。在激波前沿速度下降为声速时，通道半径只会因为惯性作用微弱增加，然后通道膨胀完全停止。用式（11）计算弛豫时间不会在这个研究中验证，因为式（1）不会用来计算电弧通道半径（电弧通道能量也不会被计算，因为通用表达式描述电弧能量或电弧电阻）。然而，如果能找到计算电弧电压或电阻的公式（或者能够假设），就可以计算式子（1）和（11）的值，从而得到电弧能量。
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