具有常数避难所的Lotka-Volterra捕食-食饵模型的正平衡点的全局渐近稳定性外文翻译资料

 2022-11-09 15:32:42

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具有常数避难所的Lotka-Volterra捕食-食饵模型的正平衡点的全局渐近稳定性

Fengde Chen, Zhaozhi Ma, Huiying Zhang

College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002, PR China

摘要：本文研究了具有恒定数量的食饵避难所的Lotka-Volterra捕食-食饵系统的正平衡点的稳定性问题。通过构造一个适当的Lyapunov函数，我们得到了一系列保证正平衡点的全局稳定性的充分条件。本文的研究结果补充和完善了一些现有的结果。

关键词：正平衡点、Lotka-Volterra捕食-食饵模型、食饵避难所

1.介绍

避难所的存在对捕食者与食饵的共存具有重要影响，在过去十年中，对于包含食饵避难所的捕食-食饵系统的动态行为的研究已成为一个研究热点，见文献[1-22,26]。文献[23]表明，对于具有避难所的Gause捕食-食饵模型，可能存在无界解；Gonzaacute;lez-Olivares等[24]研究发现具有Allee效应的Gause型捕食-食饵系统可以有不止一个正平衡点，并且给出了可保证极限环存在性与唯一性的充分条件；文献[25]研究了具有猎物食饵避难所的捕食-食饵系统的Hopf分支。

近期，Ma在他的博士学位论文[11]中研究了具有恒定数量的食饵避难所的传统Lotka-Volterra捕食-食饵系统的的动态行为，即

其中和分别表示在时间的食饵和捕食者种群的密度;为正常数。

在讨论系统的稳定性之前，先介绍一个定理。

考虑下来一般的Gause型捕食-食饵类型

设 为系统的正平衡点。Ma在文献[11]第27页中获得了如下结果：

定理1：假设对于所有有

那么 是全局渐近稳定的。

对于系统的正平衡的稳定性问题， 在没有给出详细证明的情况下，Ma在文献[11]中宣称，如果假设满足， 则定理1的结论可以应用于系统，并得到以下结论（见文献[11]中的定理3.6）。

定理2：若有，那么唯一的正平衡点 是全局渐近稳定的，其中

但是， 不足以确保系统满足不等式。为了说明这一点，我们假设。显然我们有，但是，直接计算可知，对于任意有

因此，定理2的结论是否成立仍然是一个悬而未决的问题。

本文的目的是为定理2提供一个新的证明。

2. 主要结论的证明

定理2的证明：.显然， 满足等式

上式等价于

现在我们构造以下Lyapunov函数：

显然，对于任意 , 是良定义的且连续。此外，由于 ，易得。

通过简单的计算，可以得到

表明正平衡点 是正象限中函数 的唯一极值。验证得知

和表明正平衡点是全局最小值，即对于任意的有

通过使用等式计算沿系统的解的导数，我们得到

(2.6)

显然，除了在正平衡点 时 ，对于所有的 均有 。因此， 满足Lyapunov的渐近稳定性定理，系统的正平衡点 是全局稳定的。至此，定理2得证。

3.结论

Ma 在文献[11]中提出并研究了一个具有常数食饵避难所的Lotka-Volterra捕食-食饵系统。同时提出，在定理2的条件假设下，应用定理1，可以得到系统有唯一的全局渐近稳定的正平衡点。但是，我们发现定理1不能直接应用于系统。在本文中，通过构造一个合适的Lyapunov函数，我们证明了在 的假设下，系统具有唯一的全局渐近稳定的正平衡点。本论文的结果补充完善了Ma在文献[11]中的主要结论之一。

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