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弱电离尘埃等离子体的电导率
李华，吴健，袁承训，周仲翔
摘要：
本篇文章研究了尘埃等离子体的电导率，结果表明，尘埃等离子体的碰撞会改变等离子体中电子和离子的电导率，结果表明这些影响主要取决于灰尘半径、密度以及灰尘表面的电荷数，研究结果有助于增强对尘埃等离子体电磁波的理解。
- 引言
等离子体含有大量大小不同、从几纳米到几十微米的灰尘颗粒，在调查中引起学者们广泛的兴趣。这股研究热归因于尘埃等离子体的研究对天体物理学、天空物理学以及一些在人造环境中的应用都十分重要，这种等离子体被称为尘埃等离子体或者复杂等离子体。等离子体中的尘埃颗粒会被等离子电流和一些其他效应充电，充电程度取决于尘埃尺寸和周围等离子体的条件。由于等离子体中高电荷和大质量尘埃离子的存在表现出与电子和离子完全不同的动力学行为，以及与等离子体的相互作用导致出现新的物理现象并改变等离子体的物理特性，在过去的几十年中，尘埃等离子体的物理学引发了大量的研究。
电导率是用于描述等离子体电磁特性的必要参数，尘埃等离子体的电导率应与电子和离子等离子体的电导率有着很明显的区别，主要原因是等离子体中的灰尘颗粒带电很高（通常可以达到的数量级），并且它们的尺寸比离子大许多个数量级，带电尘埃粒子提供的库仑碰撞变得显著，并且可能与其他碰撞过程竞争，即使在弱电离等离子体条件下也是如此。与带电尘埃粒子相关的这种碰撞可以改变等离子体密度分布，这又反过来影响等离子体的导电性，但是这种碰撞过程对等离子体电导率的影响尚未被考虑。
本文的目的是通过考虑电子和带电尘埃粒子之间的碰撞过程来研究尘埃等离子体的电导率。在下一节中，我们将详细分析涉及带电尘埃粒子的碰撞过程，然后计算不同尘埃半径和密度的电导率对于电磁波频率的影响，尘埃尺寸分布对电导率的影响也在本文中研究了。 最后，我们总结了我们的结果并得出了一些结论。
2、理论公式
我们假设尘埃颗粒在等离子体中以球形存在，尘埃电荷由充电方程控制
（1）
其中是电子和离子的充电电流，Q是尘埃充电电流，对于带负电的尘埃颗粒，电流由下式给出
（2）
其中是尘埃粒子半径，和是电子和离子质量，和是电子和离子密度，和是电子和离子温度，此处的是指粒子的表面电位。还有一些无量纲变量，代表了尘埃粒子携带的电荷密度与电子数密度之比，代表尘埃的无量纲表面电位，，，这儿的是灰尘密度，代表充电数目，处于充电平衡状态时，.然后我们就可以得到
（3）
使用公式（3），我们可以数值计算尘埃z的无量纲表面势
考虑到电子的速度远大于离子的速度，因此在本研究中仅考虑电子与其他粒子之间碰撞的贡献， 电导率的表达可以通过玻尔兹曼动力学方程获得， 考虑到碰撞过程的电子动力学方程与分布满足以下形式
（4）
其中E代表电场，描述了由于在碰撞过程中重新分配导致的变化率，为了求解等式（4），我们引入了扰动分布函数，因此等离子体分布函数可以写成
（5）
其中指无干扰的分布函数，电子密度的麦克斯韦分布表示为
（6）
为了研究平衡的微小扰动，我们将方程（4）线性化并使用BGK模型近似，平面波的线性动力学方程的解可以写成
（7）
这儿的指有效碰撞频率，由于扰动，感应电流出现在等离子体中。 电流密度j取决于扰动分布函数
（8）
根据欧姆定律，对于高频段，复合电导率可表示为
（9）
其中是指等离子体频率，是中性电子和电子尘埃碰撞的总碰撞率. 与中性电子碰撞可用等式，其中是碰撞截面，是中性数密度，是电子的热速度，由于等离子体中的尘埃粒子带电，电子与之碰撞带电尘埃颗粒更复杂，应分为两个过程，包括与带电尘埃粒子的直接碰撞和带电尘埃粒子的库仑散射，第一个过程通常被称为充电过程，可以描述为
（10）
对于库仑散射，可以应用标准库仑散射方法来描述带电尘埃粒子的电子库仑散射。 库拉普散射截面的详细研究由Khrapak给出（参见参考文献[13-15]），麦克斯韦粒子分布的碰撞频率可以写成
（11）
其中是电子尘埃碰撞的库仑对数，它能用和筛选长度与尘埃半径之比大略计算，从（10）和（11）可以看出，库仑散射和充电碰撞的重要性很大程度上取决于因子z，当zgt;1时，充电碰撞贡献指数倍缩小，但库仑散射的贡献随z的平方增长。值得一提的是，（11）通过假设一种Yukawa模型，忽略任何碰撞，从而得到尘埃等离子体中的带电粒子之间的相互作用。与中性粒子的碰撞可能会使粒子势与Yukawa形式发生偏差，从而影响库仑散射过程，然而，在许多情况下，这个简单的模型确实提供了合理的预测，而且这个模型是复杂模型的基础。
3、数值结果与讨论
来自固体火箭发动机的排气羽流可以表征为弱电离尘埃等离子体，其中含有大量的氧化铝颗粒（）[16,17]，通过实验测量的火箭尾气的等离子体和灰尘参数（参考文献[17,18]）表明灰尘颗粒的尺寸通常为0.1mu;m至10mu;m，灰尘密度为约至， 离子密度通常为至，中性密度为至。 作为参考案例，我们假设模型中，，温度T = 2000 K，用来计算尘埃等离子体的电导率。
图1显示了电导率相对于电磁波频率的变化，不同灰尘尺寸的电磁波频率分别为=1.0mu;m和 =5.0mu;m，并且还给出了没有尘埃颗粒的情况用于比较。从图1可以得出结论，带电尘埃颗粒的存在可以改变电子和离子等离子体的电导率。对于低频范围，带电尘埃粒子提供的碰撞会降低电导率，相反，当电磁波频率接近并大于总碰撞频率时，这种额外碰撞会导致电导率的增大。我们还可以看到，这些变化趋势随着灰尘半径的增大而增强。这可以解释为由于较大的尘埃粒子不仅在表面上具有更多的电荷，而且具有更大的散射截面，从而可以增加电子尘埃碰撞率。
除了灰尘半径效应之外，灰尘密度的增大，也会增加电子与带电尘埃粒子之间的碰撞。作为参考案例，我们分别设置 =1.0mu;m，= 和 = ，其他参数与图1相同。从图2可以看出，变化趋势与图1中的变化趋势定性相同。
图一. 尘埃颗粒半径对电导率的影响
图二.尘埃密度对电导率的影响
图三. 不同情况下随着的分布
在上面，灰尘颗粒是作为单一尺寸的。一般情况下，灰尘由不同的尺寸组成。为了研究尘埃尺寸分布对电导率的影响，我们以在空间等离子体中被广泛接受的幂律分布作为一个参考案例。 幂律分布的微分形式由[19]给出
（12）
其中是归一化常数，是幂律指数，范围内的所有尘埃总数可写为
（13）
对于单一尺寸的尘埃粒子，所有粒子都具有相同的大小，等于平均半径，相应的平均半径如下
（14）
我们定义是电子—尘埃碰撞的幂律大小分布与单一大小的比率，是平均幂律分布的大小。我们选择上述典型参数并研究该尺寸分布对电子和带电尘埃粒子之间碰撞率的影响。 图3是对于时相对于的变化。从图3可以得出结论，的值大于1，这意味着幂律分布的尘埃电子碰撞率大于单一尺寸的尘埃电子碰撞率。我们还可以发现，对于较小的，可以达到相对更高的值并随着的增加而增加。 但是，对于较大的，当ge;10时，对结果的影响可以忽略不计。
4、结论
在本文中，我们通过考虑电子与带电尘埃粒子的碰撞，研究了尘埃等离子体的电导率。 我们已经证明，带电尘埃粒子的存在会显著改变等离子体的电导率。对于低频段，由带电尘埃颗粒提供的碰撞会降低导电率。然而，当电磁波大于碰撞频率时，额外的碰撞增加了等离子体的导电性。这些影响都取决于尘埃半径，密度以及表面上的电荷数。获得的结果将有助于增强对某些尘埃等离子体中电磁波传播过程的理解。如通过固体火箭尾气羽流时，微波信号的额外吸收。
此外，考虑到真正的尘埃等离子体是由不同尺寸的粉尘构成，我们用幂律分布尺寸分布近似其带来的影响。结果表明，幂律分布的电子尘埃碰撞率超过单一尺寸粉尘的速率。这意味着与均匀尺寸相比，幂律尺寸分布对电导率的影响更大。通过考虑其他尘埃尺寸分布，从而将该模型扩展到尘埃等离子体也有一定的研究意义。
值得一提的是，灰尘表面上的电荷数量在本研究中被认为是不变的，但是已证实尘埃表面的电荷会受到波动的影响[20,21]，因此，在电导率分析中，应该考虑低频波段，特别是当频率接近尘埃电荷波动频率时这种情况。此外，等离子体中的尘埃颗粒不仅具有各种尺寸，而且还会以各种形状以及介电材料出现。例如，尘埃颗粒经常以细长的或旋转的形式出现。在这种情况下，由于与周围颗粒的相互作用，尘埃可以获得旋转速度，这种旋转的角频率可以达到相当大的值，并且还会改变等离子体的电磁特性。如果灰尘颗粒是介电材料，则材料的自身特性也可能对导电性有影响。所有这些因素对电导率的影响值得进一步研究。
致谢
作者对贾洁舒博士的一些建设性意见表示衷心的感谢。这项工作得到了国家自然科学基金委员会（NSFC）40831062号和61205093号的支持。
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