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伯努利数和欧拉数的算术恒等式
Wenchang Chu and Chenying Wang
摘要．将形式幂级数法应用于初等三角函数，我们建立了四类涉及伯努利和欧拉数的算术恒等式，其中包括刘和罗(2005)最近的公式．
关键词．伯努利数;欧拉数;三角函数展开;共同涡旋公式．
在数学文献中，伯努利数和欧拉数在经典分析和数论中得到了广泛应用．他们可以通过三角函数来定义(见Stromberg[4，sect;7．58]并且以Wilf[5，sect;2．5]为例)如下
， (1)
， (2)
通过调用两个基本的三角关系
和
我们可以毫不费力地展示两个三角函数展开式
， (3)
， (4)
对于第一个自然数的次幂的和，有如下几个项著名的算术公式(cf．[1，sect;3．9]和[2，sect;6．5]):
最近，Liu和Luo在第一个m正奇数整数上发现了相似的结果，在他们的工作激励下，我们将建立四类包括伯努利和欧拉数的算数恒等式．令人惊讶的是，这将是以一种完全基本的方式完成，它包括在四个展开式的基础上利用三角函数和从幂级数中提取系数．在整个论文中，我们将假定，1; ．此外，文中将频繁使用下面的和函数的泰勒级数
和 . (5)
1 ．通过下列众所周知的公式
，
我们可以通过可伸缩的方法计算三角和
， (6)
为了说明我们的方法，本节将利用上面的恒等式来复习最近由刘和罗[3]获得的主要公式．
很明显，(6)等价于方程
代入(4)和(5)，得到如下幂级数展开
，
将的系数与上一个方程进行比较，我们得到了以下等式．
定理1(Liu和Luo[3，定理1])．对于，，有
，
重新表述(6)中所显示的方程
再次代入(4)和(5)，我们有另一个幂级数展开
使上一个方程两边的的系数相等，我们就可以得到另一个等式．
定理2(Liu和Luo[3，定理2])．对于和，有
.
在定理1和2中显示的两个一般公式包含几个有趣的特殊恒等式．刘和罗[3]展出的情况下“，0，1，2”和“，m = 1、2、3”，为了简洁起见，没有复制．感兴趣的读者可以参考刚才提到的原文．
对于任意的和，，表示的三项式系数
在上面的定理中，我们用定理1来求关于的内和．在一些简化之后，进一步推导下列双重和恒等式．
命题3(双重和恒等式，)．
这也可以通过交换求和顺序验证，然后应用特殊情况
定理1 当时，
， （7）
从定理1和2的证明，可以看出，这里提出的方法比Liu和Luo给出的原始方法要简单．这充分体现了形式幂级数法的优点．在相同的方法之后，我们将在余下的论文中进一步展示三个类似的算术恒等式．
2．根据三角关系
不难计算有限和
， （8）
我们将用它来研究自然数的奇次幂的有限和．
将(8)改写为下面的方程
，
然后代入(1)，(4)和(5)，我们得到幂级数展开式
从上述方程的两边解出的系数，将结果简化，我们得到如下的公式．
定理4．对于和，我们有
当，0，1，2时，这个定理减少到以下三个恒等式
， （9a）
， (9b)
， (9c)
同样的，当，0，1，2，3时，我们从上述定理得到其他三个有趣
的等式
(10a)
(10b)
(10c)
此外，我们还可以重新表述(8)中所显示的公式
根据(1)、(2)、(4)、(5)，有如下的幂级数方程
比较两端的系数然后化简结果，我们得到了下面的等式.
定理5．当和时，我们有
当， 0，1，2时，这个定理可以减少到以下奇怪的公式
， (11a)
， (11b)
， (11c)
类似的，当，1，2，3时，我们其他三个奇怪的公式
， (12a)
， (12b)
， (12c)
用定理4中的表达式替换的和，然后再简化结果，得到卷积公式．
命题6(双重和求和公式:，)．
最后一个恒等式可以用交换求和顺序直接证明，然后应用欧拉数的递归关系(4，sect;7．58)
，，
当1时，
. （13）
3．回顾三角公式
我们有有限三角和
， （14）
在这一节中它将被用于导出关于奇数幂和自然数的奇数幂的算术恒等式．方程(14)可以表示为
， （15）
应用(2)、(3)和(5)，我们有如下幂级数展开
比较两端的系数，我们得到了下面的公式．
定理7．对于，，我们有
让， 0，1，2在这个定理，我们得到以下三个等式
， （16a）
， (16b)
， (16c)
类似的，当， 1，2，3时，根据最后一个定理得到其它三个公式
， (17a)
， (17b)
， (17c)
重新表述(14)所显示的公式如下
应用(2)，(3)，(4)和(5)，我们有另一个幂级数展开
从上一个方程的两边解出的系数，我们得到下面的计算公式．
定理8．对于，，我们有
当， 0，1，2时，我们从这个定理得到以下三个等式
(18a)
(18b)
(18c)
类似的，当， 1，2，3时，根据最后一个定理，我们得到三个求和公式
， (19a)
， (19b)
， (19c)
对于定理8中的双重和，通过定理7对的内部和进行求值，然后简化结果，我们得到了卷积公式．
命题9(双和恒等式: ，)．
，
我们注意到，这个恒等式同样是通过交换求和顺序，然后再应用公式(7)得到的．
4．考虑到下列三角关系
我们可以轻易得到
， (20)
我们将用这个三角函数关系来进一步处理更多的包含自然数的偶数幂以及伯努利数和欧拉数的有限和．
重写(20)如下
， (21)
通过(2)和(5)，我们得到如下幂级数展开
比较两端的系数，我们得到了恒等式．
定理10．对于，，我们有
使，我们从这个定理中得到了，的欧拉数的递归关系和和的两个进一步的等式
， (22a)
， (22b)
此外，当， 1，2，3时，根据这个定理，我们得到其他三个公式
， (23a)
， (23b)
， (23c)
注意(20)也可以重写为
应用(2)和(5)，我们有
比较上一个方程两边的的系数，我们得到下面的算术公式．
定理11．对于，，我们有
.
使， 1，2，3，在这个定理，我们得到以下三个等式
， (24a)
， (24b)
， (24c)
类似的，当， 1，2，3时，根据这个定理，我们有其他三个等式
， (25a)
， (25b)
， (25c)
在定理11中，用定理10中的表达式代替了内和的k，然后将结果简化，我们得到了如下的卷积公式．
命题12(双重和恒等式: ，)．
最后，我们指出，这个恒等式可以通过交换求和顺序直接显示出来，然后再应用递归关系(13)．
参考文献
[1]l ． Comtet，Advanced Combinatorics，Dordrecht Holland，荷兰，1974．
[2]R．L．格雷厄姆，D．E． Knuth，o ． Patashnik，混凝土数学，addison - wesley
出版．公司、阅读、麻萨诸塞州，1989年．
[3]G．D． Liu，h ． Luo，一些关于伯努利数的恒等式，Fibonacci夸脱．
43(2005)，208 - 212．
[4]K．R． Stromberg，经典真实分析概论，Wadsworth公司
1981年加州蒙特．
[5]H．S． Wilf，Generatingfunctionology(第二版)，学术出版社，Inc ．，Boston，
马1994．
Vol． 55(2009)算术恒等式包括伯努利和欧拉数为77
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