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反射和透射系数测定超材料有效介电常数和磁导率
史密斯和舒尔茨
我们分析的反射和透射系数从转移矩阵模拟电磁超材料的有限长度的计算，确定有效介电常数~ε和渗透性mu;。我们进行这种分析的线组成的周期性排列结构，开口环谐振器，两线环。
我们发现恢复的频率依赖ε和mu;是具有解析表达式的有效介质参数的预测完全一致。尤其重要的是，有线介质的频率区域，ε实部为负，策略产生一个频率区域中的mu;实部为负。在组合结构，频率，真正的恢复部分ε和mu;同时负折射率的实部也发现被明确否定。
已经提出，电磁超材料复合材料，形成的EI -从周期或随机阵列的散射元件-应响应电磁辐射作为连续材料，至少在长波长的限制。在最近的实验和模拟，它已被证明的某些材料的配置表现出散射行为既符合近似频率的假设ε和mu;的依赖形式。然而，该技术应用于这些研究探索材料是间接的，并没有提供一个明确的测量将分配价值观ε和Mu;。在这个快速传播，我们的目标是显示先前的猜想的确有效：为ε和mu;大学-模糊值可应用于电磁超材料。 我们的方法是利用透射系数和反射系数的计算公式为波垂直入射在有限平板超材料。我们将散射数据来确定复折射指数N和阻抗Z，对于不同厚度的系统，我们从中获得ε 自洽的价值。当我们利用模拟数据在这项研究中，我们描述的技术将适用于介质样品前当过实验表征散射参数已知。
表征电磁的常用方法一均质材料电磁散射特性确定其Z和N。虽然可以完全指定的Z和N的散射，它往往是更方便地选择第二组的分析变量，进行直接的材料解释。这些变量是介电常数ε=N / Z和磁导率mu;。N和Z，因此ε和mu;，频率依赖复杂的功能，满足一定的基于因果关系的要求。对于无源材料，Re（Z）和Im（N）必须大于零。
在一个给定的频率，任何支持只有一个传播模式通常会表现出一个明确的有效折射率的材料，材料是否连续或不连续。光子带隙材料，例如，其特征在于由色散曲线，其中可以提取一个有效的索引，即使对于带高于第一带隙，和良好定义的折射现象可以导致。然而，通常不可能将阻抗Z分配给非连续材料，除非材料中的波长远大于构成介质的组成散射元件的尺寸和间距。如果Z取决于表面终止强烈，或如果Z取决于样品的整体尺寸，然后Z是模糊的，它不可能为ε和mu;的内在价值。波的传播系数通常入射到一个一维板坯的长度D的连续材料的表面有关的n和z
（1）
其中是入射波的波数。入射波被假定为沿x轴的位置及移动，以原点定义为受辐射的材料见第一面。为了提高后续公式的清晰，我们引入归一化传输系数。
的反射系数也与Z和N由
（2）
方程（1）和（2）可以倒求N和Z作为 和r的函数. 执行此反转导致下列表达式： （3）
和
（4）
其中是两个实值函数在没有材料损失的情况下都归零。
注意，当N和Z的表达式是相对简单的，他们是多分支的复杂功能，其中的解释可能会导致在确定ε和mu;的最终表达含糊。我们可以利用这些材料的附加知识来解决这些含糊之处。
例如，如果材料是被动的，RE（z）gt; 0的要求修正了符号的选择。同样，Im（n）gt;0导致一个明确的结果Im（N）：
（5）
当我们解决（5）式的右手边时，我们选择两个根中的任何一个产生一个正值的解决方案Im（n）。Re(n), 然而，复杂的反余弦函数的分支，或， (6)
m是整数。当d是大的，这些分支可以任意靠近彼此，使得正确的分支的选择，在色散材料的情况下困难。因为这个原因，最好的结果是得到的最小可能的样品的厚度，因为通常在连续材料的分析。即使是一个小的样本，一个以上的厚度测量必须识别确定产量和持续的相同的n值解的正确的分支。请注意，我的要求（N）gt; 0唯一标识的标志（N），这是必需的材料时，有可能是左手材料，是地区的材料，重新（n）可能为负。
为了证明非连续分配metama材料的渗透率和介电常数的值体的有效性，我们利用传递矩阵法~ TMM产生三种结构的模拟数据：由线周期阵列中，由开口环谐振器~ SRR和由交错的线和SRR阵列中的周期阵列中。我们模拟给定系统的一个单元单元图1。作为线介质的频率函数的介电常数的实部。截止频率的结构，阻止开采的发病传播是22.3千兆赫。插图描述了导线相对于入射辐射的方向。
使用周期性边界条件的方向垂直于传播方向。TMM是一个完整的麦斯威尔方程的解，考虑在到散射元素的确切细节时并不同于（1）和（2）式。在嵌入介质中，所有的特征值的TM可以找到解析。我们发现，在感兴趣的频率范围为输入波垂直于样品表面，只有一个传播模式。所有其他模式的渐逝，这样的系统被认为是有效的，我们有理由利用方程的一维。 （5）和（6），其中和r表示这个扩展的透射和反射模式。在这里提出的计算中，细胞网格与 网格点，在文献11中描述的方式。在这里使用的中成药配方，金属的介电函数近似为，对所有的频率。一个较大的值的效果相应部分的介电函数降低吸收金属的结果，但不改变定性的PIC我这里介绍。一个正方形阵列的导线，有效介质参数的基础上，预计将表现出理想的频率依赖的电浆形式的 ，其中 是截止频率. 图1显示了从导线阵列仿真数据恢复许可证活动，沿偏振方向入射波的连续，并与晶格常数在5毫米。图中显示为一，三的数据，并在扩展格五层方向。
一个拟合到所得到的曲线表示截止频率为的，一致的威慑开采注意到发病的传输（未显示）的频率依赖性没有区别的三和五行曲线。被发现的渗透率是团结在所有频率。
虽然没有确定传输波的相位的模糊性，反射波的相位必须是图2渗透率为SRR中等频率的函数，对一个或多个单元的长度。固体暗线对应的磁导率的实部和虚部决定使用TMM数据，而得到的公式是（7）式，假设选择近似的SRR介质参数。注意：8.5 GHz的渗透能力去负实部，用一个带宽为0.5 GHz。
相对于被认为是在材料的第一面上的参考平面测量的。由于超材料一般不具有明确定义的表面，问题出现在这个参考平面应该位于。在导线结构的情况下，可以得到一个明确的答案，它是合理的假设参考平面重合的第一平面的电线。我们发现，这种选择的参考平面， 有关系，与线介质完全电响应一致（即51米）。我在为SRR，参考平面的选择没有被发现是至关重要的；对于组合结构，然而，电线中-奈特的散射，与参考平面再次选择与导线的第一平面重合。
产生的第二个歧义是有效的单元长度，这将导致和的值，不依赖于结构的整体长度。
根据经验，在调查的三例，正确的长度对应单元格乘以各单元长度的号码找到我们。这在图1中可以看到，在分析不同的长度在相同的介电常数的线中的结果；只有有线介质组成的一层有明显的偏离的bulk”行为。应该指出的是，单元分析了广场，因此单元长度是隐含在计算中的每个元素之间的间距方向垂直传播美德。事实上，即使在传播方向上的一个单元单元产生几乎相同的散射参数作为较厚的材料，因此可能不会如此意外。
图2显示了渗透的实部和虚部为一只由SRRs介质的能力，如参考文献11。误差较大的实曲线从模拟图3。至于SRR中等频率的函数的介电常数的实部恢复。
数据，而虚线是从传输和反射系数计算的均匀材料的磁导率对应
（7）
其中，我们令 ， ， 。恢复形式的渗透性是一致的理想共振形式显示在（7）式，表明一个区域的负磁导率的范围为8.5千兆赫至9 GHz。这是发现从情节的传输距离与频率与未显示衰减传输区域一致！。
金属散射元件的阵列可以预期有一个净极化响应于所施加的电场，并且它可能被进一步预期的有效介电常数将是分散的，特别是如果元素是共振的。在图3中，我们小区恢复频率依赖性的介电常数对应的SRR的介质，这是明显的在频率覆盖范围。
结合一个SRR介质线中如图4所示的结果，其中我们比较恢复的介电常数和磁导率的实部从组合结构，无论从线或SRR中孤独。固体曲线是从组合结构，而虚线曲线单独从任一介质。与其他计算中观察到的一致，以及实验的电线的SRR中并没有显着改变的SRR介质渗透性能。然而，结合谐振环和电线导致介电常数不低于导线单独。
这是首次从理论上提出了对真空Veselago同时具有负的材料之间的界面的入射波入射 和 会折射到法线的同侧的接口。通过考虑图4的解析性质。收回 和 作为频率的函数的组合SRR /线中。平面虚线表示两个轴的零值.注意，而SRR中更积极的介电常数的线中结果加（实线）仅比线（虚线），不过有一个频率区域（8.5–9 GHz）， 和 是负。
在这样的介质的折射率，结果表明，复折射指数n必须，事实上，无论是消极的 和 都是负的。在最近的一项实验中，个超材料的结合与SRR介质线中形成，性质相似的模拟，是用来证明负折射和折射角度来恢复n作为频率的函数。While a
折射实验是一种有用的方法来衡量的指标，我们也可以直接获得这些信息和明确使用（3）式，如图所示5。如果你有最好的透射和反射系数获得相位信息，可以识别的大小和在平板直接入射测量折射率的标志。
我们已经表明，从传输/反射数据获得的材料参数的传统方法，可以成功地应用到超材料，受测得的样品的第一表面的定义的可能的含糊之处，和样品长度。前者可以通过加模糊的物质性信息在某些情况下解决，比如上面的线中显示。在这种情况下，它是不可能确定的散射面位置正确，整个单元可能的解对应的各种可能的表面范围的边界上的值的有效材料如图5。折射率（n）作为频率的函数的组合SRR /线中。在指数为负的区域对应的频率区域， 和 同时为负。
参数。这些边界将变得更窄的单元电池相比，波长变小。一个单元电池的正确长度，可以确定经验，需要一个解决方案，是稳定的几个分析长度。
最后一点，我们注意到，这个分析是在完全在我们的电子电极化强度P只取决于电场E结构的测量能力，和磁化强度M只取决于磁场H为一般散射元，这不一定成立，我们可能有，例如，一个本构关系如H5 G E1B /米。15介质响应以这样一种方式将具有手性，和一个旋转的偏振化。事实上，在这些计算中我们发现某种程度的偏振转换数据中的谐振环和组合SRR /线中。这一证据的手性行为IOR表明这里提出的分析提供了一个很好的，但不精确，超材料的表征。进一步改进的技术应该允许全评价得以实施。
我们感谢艺术维特尔有益的讨论，和john pendry。本项目由DARPA，通过从AFOSR和ARO资助也感谢北约和Ames实验室支持，和点感谢部分财政支持斯洛伐克授予机构
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