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空心高斯光束与其传播特性
蔡阳建
光学研究所和国家现代光学仪器重点实验室,浙江大学,杭州310028,中国
陆璇辉
光学研究所和国家现代光学仪器重点实验室，光学和电磁研究中心、浙江大学,杭州310028,中国
林青
光学研究所和国家现代光学仪器重点实验室，浙江大学,杭州310028,中国
2003年1月21日
一个被称为空心高斯光束(HGBs)的新数学模型描述了一种黑洞激光束(DHB)。通过正确选择光线参数，可以很容易地控制整个HGBs区域内的暗区区域。根据柯林斯积分，推导出了一种基于轴向光学系统的解析传播公式。HGBs也可以表示为一系列叠加的拉盖尔——高斯模式用一个多项式的展开。作为一个数值例子，它形象地说明了在自由空间中DHB的传播特性。HGBs提供了方便和强大的方法来描述和处理DHBs的传播,并且可以方便地用于分析被DHB影响的原子。copy;2003美国光学学会
近年来,被称作黑色-中空光束(DHBs)的中心强度为零的光束,,因为在原子光学中愈加广泛的应用获得了广泛的关注,。原子在DHBs中被偶极势吸引。1 - 3关于DHBs中原子的引导和捕获的一些理论研究已见报。4 - 6最近Yin等人的一项新研究结果显示,温度约为2mK的超冷原子样本可在金字塔形空心激光偶极阱中获得，全光学类玻色-爱因斯坦凝结可在远蓝失谐空心光束阱中获得。7
有多种多样的方法来创建黑点激光束,如横向模态选择法,8几何光学法,9光学全息法,10计算机全息图法,11和空心光纤法 。12 最近,锥形透镜被用来生产应用于原子俘获的空心激光束。3,13
理论上,有一些用来描述DHBs的模型;最著名的例子是TEM01束(也称为甜甜圈束)。同向 TEM01束被首先视为一个原子调焦镜头。14最近，甜甜圈束用作原子光学陷阱。1另一个描述DHBs的模型高阶贝塞尔光束,可以由轴棱镜获得。13在这篇文章中,我们引入一个新的数学模型——我们称之为空心高斯光束(HGBs)——来描述DHBs。我们已经推导出了通过轴向光学系统来传播HGBs的解析公式，并用图形的方式说明了在自由空间中HGBs的传播特性。
为了描述DHBs，我们定义HGB在z 0的电场如下：
n=0,1,2,...(1)
n是HGB的顺序，G0是一个常数。当n=0时,式(1)减小为束腰尺寸为v0的基本高斯光束。图1显示了HGBs归一化的二维强度分布的各种r、n值。在计算时，v0设置为1毫米。从图1可以明显看出，当n增大时，HGBs强度分布中亮环的半径也增大,这意味着，随着n的增加，HGBs黑暗区域的面积也会增大。
图1中HGBs在各r、n值下的归一化二维强度分布:(a)n=3,(b)n=5,(c)n=8,(d) n=15。
近轴近似值的范围内，任何光束在光学系统轴向的传播都可以用柯林斯公式来处理，15 在圆柱坐标系统中有如下形式:
(2)
r,theta;和r,theta;rsquo;分别是半径和方位角在输入和输出平面上的坐标。K= 2pi;/lambda;是波数，lambda;是波长,A,B,C,D是近轴光学系统的转换矩阵。
将式(1)替换为E0（rrsquo;,0）带入式（2）并用以下积分公式:
(3)
我们可以把式(2)转换为
(4)
我们应用下列积分公式15:
(5)
其中 Lnn为拉盖尔多项式。经整合，我们获得：
(6)
方程(6)是对于HGBs通过近轴光学系统的一般的传播和变化式。它为处理HGBs的传播和变化提供了方便而强大的工具。
事实上,HGBs也可以表示为拉盖尔-高斯方法的叠加。
为了证明这一点,我们从下式入手16:
n=0,1,... (7)
表示一个二项式系数，Lm是第m个拉盖尔多项式。
把式（7）替换到式（1）中，我们得到：
(8)
让我们回忆阶数为p的周期对称拉盖尔高斯光束：17
(9)
通过比较式（8）和式（9），我们发现z=0面上n阶HGB场分布只是n周期对称拉盖尔-高斯光束的叠加。
将式(9）带入式（2）通过复杂但直接的积分，我们得到：
（10）
q0=ikomega;0sup2;/2,q是光束q在z=0和z面的参数,与著名的ABCD定律相关：
(11)
omega;(z)是z平面上的束腰尺寸，采用以下形式:
(12)
数值结果表明式(6)和式(10)相等；两者都是描述HGB通过轴向的光学系统一般的传播公式。
作为数值例子，我们研究了HGBs在自由空间传播时的强度分布特性。距离z的自由空间的转移矩阵写作：
（13）
将式（13）代入式（6），我们得到HGB以几种不同的传播距离在自由空间传播的归一化三维强度分布，如图2。用于计算的参数有：lambda;=632.8nm，omega;0=1mm，n=10，zR =4965mm。
由图2我们可以看到HGB在近距离区域有很好的传播稳定性。随着传播距离z的进一步增大，强度分布发散,HGB的黑暗区域减少。在远距离区域，黑暗区域消失，轴向强度变为最大。
这是由于HGB并不是一个纯粹的模式,而是结合了一系列的拉盖尔-高斯的模式,不同的模式随着距离z的不同而变化，不同的模式在传播中重叠和干涉，这样就产生了HGB有趣的传播特性。
图2。HGB在两个传播距离的自由空间传播的规范化三维空间强度分布为：（a）z=zR，(b)z=10zR
最后，我们引入了一种新的激光束，称为空心高斯光束，用来描述暗中空激光光束。这种新的激光可以表示为一个叠加的拉盖尔-高斯模式。我们由通过轴向光学系统的HGBs，使用柯林斯积分，推导出解析传播公式。HGBs在自由空间中的传播特性在数字上进行了说明。HGB被证明是一种用于描述DHBs的理想、方便的模型，。HGBs可以用来分析指导,关注和捕获的超冷原子,甚至于玻色-爱因斯坦冷凝物。
这项研究由中国自然科学基金会提供支持(批准60078003)。
林青的电子邮件地址是qlin@mail.hz.zj.cn。
参考：
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