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Schauder Estimates for Elliptic and Parabolic Equations
椭圆和抛物方程的Schauder估计
文摘中注意作者给出了一个基本的和简单的证明椭圆和抛物型方程的Schauder估计。
证明也适用于非线性方程组。
关键词Schauder估计、椭圆方程、抛物型方程
0、简介
拉普拉斯方程的Schauder估计是传统地建立在牛顿势理论的。不同的证明被Campanato发现后，他介绍了Campanato空间;Peetre运用卷积函数;Trudinger运用函数的缓和性质;并且西蒙,运用爆破参数。Safonov也发现扰动参数，并且Caffarelli发现完全非线性均匀椭圆方程,也适用于拉普拉斯方程。
在这个报告中我们给一个初等和简单证明椭圆和抛物型方程的Schauder估计的方法。
我们证明允许将右边Dini连续,也给二阶导数的连续性一个Sharp函数的估计。它也收敛于log-Lipschitz梯度的连续性方程有界的右边。此外,它也适用于非线性方程组。
- 拉普拉斯方程
考虑上的Laplace方程
- （1.1）
其中(0)是在欧几里得空间内的单位球。假设是Dini连续的，则令，其中。
则然后我们有以下估计的连续模。
定理1.1 令是式（1.1）的一个解。则，
有
， （1.2）
其中，只依赖于。由此可见，如果，则有
， （1.3）
。 （1.4）
证明 我们将要使用以下调和函数的基本估计，
（1.5）
其中只依赖于。
记。对令是
的一个解。
则有。由极大值原理，
（1.6）
因此
. （1.7）
因为是调和的，根据式（1.5）我们有
,
. （1.8）
因为，根据式（1.6），减去二次的一部分是调和的并且等于上的。因此由式（1.5）有，
, . （1.9）
对任何给定的在原点附近的点，我们有
.
（1.10）
令因此有。再由式（1.8），我们有
. （1.11）
同理，通过上与上的解，其中，我们可以估计出。为了估计出，记。由式（1.5）和（1.7）我们有
. （1.12）
因此得到
. （1.13）
结合（1.10），（1.11）和（1.13）我们得到（1.2）。证明完成。
同样，我们在边界有估计。
定理1.1rsquo; 令是和上的一个解。假设是Dini连续的。则，估计（1.2）成立。
此证明和定理1.1一样，我们把替换成，并且记若是一个在且在上时为调和函数，则在在上的后扩展上是调和的。
在式（1.4）中用第一个衍生式替换第二个衍生式，并且令是上，上的解，我们也可以得到以下的log-Lipschitz连续性。
推论1.1 令是（1.1）的一个解。则，
. （1.14）
- 线性抛物方程
上述证明也适用于具有变系数方程。让我们考虑上的线性抛物型方程
（2.1）
我们记。
定理2.1 令是（2.1）的一个解。假设和是Dini连续的。则对任何点，有
（2.2）
其中（抛物线的距离），，。
注意来自式（2.2）和方程（2.1）的的连续模。如果和是连续的，我们可以得到抛物型方程的Schauder估计。如果当，有，则
（2.3）
若，我们有一个类似（1.4）的估计。
证明 记。令是上和上的解。其中表示抛物线边界。则满足
. （2.4）
由极大值原理，
,
其中。因此有，
. （2.5）
因此相似于（1.8），
.（2.6）
剩下的证明和定理1.1相同，这儿省略。
- 完全非线性方程组
3.1 完全非线性,均匀椭圆方程
在sect;1中的参数也适用于完全非线性均匀椭圆方程。为简单起见，我们考虑在上的方程
, （3.1）
其中是。这个估计可以由在sect;2中的冻结系数法拓展到表。我们需要一个系统的如（1.4）的先验估计。
假设（a） 对任何在上
的解，其中是一个常数，并且是一个对称的常数矩阵，因此有，我们有以下估计
, （3.2）
其中，独立于，和。
如果是凹或凸的，对部分内部的估计由独立的Evans[6]和Krylow[10]证明成立的。相似于定理1.1我们接下来有
定理3.1 令是（3.1）的一个解。则，有
. （3.3）
如果，我们有
, （3.4）
,（3.5）
, （3.6）
在（3.2）中常数依赖于，和椭圆常数（的最小和最大特征值）。
证明 证明和定理1.1的非常相似。令是
（3.7）
的解。
通过假设（a），满足上线性方程的系数。因此根据线性椭圆方程的
Schauder估计，
. （3.8）
如果是Dini连续的，那就是收敛的。根据假设（a）并且，我们得到。证明剩下部分中唯一不同的就是式（1.12）应该被
（3.9）
所替换。其中。
3.2 Monde-Ampegrave;re方程
估计（1.2）（或（3.3）其中）适用于在上的Monde-Ampegrave;re方程严格凸的解决方案
（3.10）
其中对正常数有，并且（相当于）。常数依赖于和的凸性模量。
此证明和定理1.1很相似，除了如下我们首先需要规范化的解决方案。通过减去一个线性函数，我们假设，。记。对一个足够小的，先对的单位模做线性变换，因此有。然后做一个扩张，，因此有，并且足够小。Monde-Ampegrave;re的变量在这个改变下不变。
现在和在（3.7）中一样定义（对Monde-Ampegrave;re方程来说使用水平集方程比（3.7）中的球更方便）。我们需要验证假设（a）（其中）在所有的情况。它可以显示集合在集中球上存在一个良好的状态，命名为。但是这保证在和时成立，同时选择性小并且足够小。我们想讨论的Monde-Ampegrave;re方程的规律性的更多细节放在了一个单独的工作中。
3.3 注
（ⅰ）由Aleksandrov极大值原理[8]，我们可以在以上证明中将替换为。
（ⅱ）通过狄利克雷问题的存在性和唯一性薄弱或粘度解决方案，上述定理也持有弱或粘度的解决方案。
（ⅲ）拉普拉斯方程(1.2)的Sharp函数估计由微妙的奇异积分的估计建立[1]。
（ⅳ）的定理3.1由Safonov [13,14]和Caffarelli[2,4]的用二次多项式近似的扰动论据所给出。也可以从[9]看到当是Dini连续的情况。我们在以上允许情况下在（3.5）和（3.6）中证明了的情况。
（ⅴ）Monde-Ampegrave;re方程（3.10）的严格凸的解的估计由[3]提供。如果的连续是放松到Dini连续的，则的连续性由[18]给出。
（ⅵ）类似（1.14）的估计也适用于抛物方程（2.1）和完全非线性方程（3.1），但它不是真正的Monde-Ampegrave;re方程（3.10），可通过[19]中的一个例子得到。
参考文献
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[14] Safonov, M. V., Classical solution of second-order nonlinear ellipt
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