英语原文共 114 页

赛车线优化

Ying xiong

上海交通大学计算机科学系（2009）

提交给工程学院部分满足程度要求

计算机设计与优化硕士 麻省理工学院

麻省理工学院2010.保留所有权利。

工程学院设计与优化计算

GilbertStrang数学教授 论文顾问接受

Karen Willcox航空航天副教授

2010年7月30日通过认证

内容

摘要 4

1. 介绍 5
2. 问题的表述 9
   1. 二维赛道的问题公式 10
   2. 三维轨道的问题公式 12
      1. 力分析 13
      2. 三维约束 18
   3. 代表赛道和赛车线 22
      1. 二维轨道的表示 22
      2. 三维轨道的表示 23
      3. 不同赛道的测试案例 28
   4. 使用功率约束修改问题 31
3. 使用欧拉螺旋进行最佳转弯 33
   1. 欧拉螺旋法 33
   2. 实施结果 36
4. 非线性规划求解器方法 43
   1. 非线性求解器方法的问题公式 43
   2. 使用现有的商业非线性求解器解决问题 48
5. 人工智能方法 54
   1. 用于寻找最佳赛车线的人工智能算法 54
   2. 实施和结果 62
      1. 适用于二维赛道的最佳赛道 62
      2. 适用于3D赛道的最佳赛道 72
      3. 更多结果分析 90
6. 综合方法 98
   1. 综合方法简介 98
   2. 实施和结果 98

7. 摘要 109

• 1. 比较不同的方法 109
  2. 使用我们研究的结果 110
  3. 结论和未来的工作 111

参考书目 112

附录 114

附录（A）摩擦系数表 114

附录（B）F1汽车功能 114

摘要

尽管大多数赛车手都擅长控制自己的赛车，但世界冠军在选择合适的赛车线方面总是很有天赋，而其他车手大多都没有这么做。最佳赛车选线是赛车运动中的一个关键问题。然而，目前它强烈地基于经验丰富的赛车手进行重复实时实验后的直觉。拥有一种能够根据给定的赛道和赛车产生最佳赛车线的方法将非常有用。本文阐述了四种生成最优赛车线的方法：欧拉螺旋法，人工智能法，非线性规划求解器法和综合法。首先，我们研究问题并获得二维和三维情况的目标函数和约束。研究了赛道的数学和物理特征。然后我们尝试不同的方法来解决这个复杂的非线性规划问题欧拉螺旋方法在拐角处产生欧拉螺旋曲线转弯，它可以快速准确地为没有银行的二维转角提供最佳结果。非线性编程求解器方法基于AMPL上的MINOS求解器和MATLAB优化工具箱，它只需要输入目标函数和约束。重点强调人工智能方法。它适用于任何2-D或3-D轨道形状。它采用智能算法，包括分支切割和前视，为2-D和3-D轨道提供最佳赛车线。并且该集成方法结合了方法及其优点，使其在所有情况下都快速且实用。比较了不同的方法，并详细描述了它们向最佳方向的演变。开发了便利的显示软件以显示用于观察的轨道和赛道线。寻找汽车最佳赛车线的方法也有助于找到自行车比赛，滑冰和滑雪的最佳赛车线。

介绍

在赛车运动中，赛车线是车辆行驶的路线。对于给定的赛道，可以有无数的赛道线。最佳赛车线最大限度地缩短了完成课程所需的时间。图1.1显示了同一赛道的两条可能赛道的比较。

• 1. (b)

图1.1。两条不同的赛道在同一条赛道上。（a）利用转弯并获得平稳一致的赛道，而（b）

随意行走

和不必要的小转弯会降低速度并花费更多时间。

最佳线路考虑轨道的条件，并根据轨道做出明智的决策。例如，将图1.1中的两条赛道线对于同一轨道进行比较，（b）进行许多随机不必要的转弯，而（a）明智地避免不必要的转弯并使线条更平滑。所以（a）战略上比（b）更明智。但是，它可能不是最好的解决方案。

很明显，在赛车游戏中，角落在性能上有很大差异。在直道上，从理论上讲，所有赛车手都可以达到最高速度并且直线前进;因此，对于赛车手的不同技能没有太大区别。但是当转弯时，速度不能超过允许的水平，并且在速度和赛车线的长度之间存在折衷。曲率较小的更平滑的赛车线更长，更弯曲的赛车线可能更短。统计数据显示，成功的赛车冠军总是追随最佳赛车线，而其他赛车手一直没有获得最佳赛道。 [1] 赛道最慢的部分区分了好的和坏的赛车技术。

假设一个an是向心加速度，an=?2 /r.当an是一个固定的数字，我们

有?2 与r成正比，即?2 prop;r其中v是允许的最大速度，r是

角落的半径。当r增加时，v将增加。r越大，对速度的控制越少。实际上，当r无限大时，角变成直线，最大

允许的速度只是汽车的物理极限 v最大（图1.2）。相反，考虑一下曲率k .当k增加时，允许的最大速度减小（图1.3）。

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

v

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

r

图1.2。最大允许速度v与角r的半径之间的关系当半径上升时，最大速度会上升。

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

v

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

k

图1.3。最大允许速度v与轨道k的曲率之间的关系。

曲率上升时最大速度下降。

角落处的赛道线取决于以下因素：制动点，转弯点，顶点以及下一个角落的位置和方向。[19]

让我们从只经过一个角落的问题开始吧。在分析单个角时，最佳线是最小化角落时间成本并最大化车辆通过角落的整体速度的线。如果使用具有最小半径的路径，则围绕拐角行进的距离最小化。然而，通过将具有更宽半径的曲线（即，更小的曲率）装配到拐角中，可以保持更高的速度。这可以补偿行进的额外距离。在分析整个赛道时，最佳赛道线可最大限度地缩短总时间，并最大限度地提高赛道周围的整体速度。

已经针对该主题进行了一些研究以找到最佳赛车线。然而，其中大部分侧重于高度简化的物理条件，并且没有对实际情况进行全面分析。还没有关于三维轨道的工作，三维轨道实际上是最常见的赛道，并且三维条件要复杂得多。它有

与二维轨道的一些主要差异。在已发表的论文中， 优化目标都被设置为曲率平方

int;??2integral积分的最小化，这是计算弹性势能的常见表达式，没有明确解释为什么TF2在这里使用;或直接的时间流逝，这在很大程度上取决于速度功能如何与赛车线相关联。我们还将展示平方根的积分

通过实验结果，k（int;radic;??????）代替int;??2 通常是更好的优化目标。int;??2minim的最小化实际上是通过一个角的欧拉螺旋来实现的。因此，欧拉螺旋不能保证是最佳解决方案，只是最接近解决方案之一。

问题的表述

该问题的目的是最小化汽车完成整个赛道的时间成本。

其中t是总时间成本，s是汽车行驶的长度，v是汽车的速度。因此，时间成本是速度从零到行程总长度的倒数的积分。

关于道路（轨道）状况和汽车特征存在若干约束条件。我们将研究用各种约束最小化t的优化问题。我们将首先分析二维赛道，然后将其扩展到更一般的三维赛道。

图2.1显示了两个电子赛车游戏的两个截图。（a）中的轨道是二维轨道，而（b）中的轨道是三维轨道。（b）看起来更像是一个真实的模拟，具有复杂的道路条件，不同的弯曲角度和倾斜的转弯。

• 1. (b)

图2.1。通过视频游戏截图展示2-D赛道和3-D赛道。（a）来自二维赛车游戏，（b）来自三维赛车游戏。

显然，在图2.1（a）中，轨道可以用二维几何形状来表示，就像图中直接向下看的视图一样。然而，图2.1（b）中的轨道要复杂得多，因为汽车向右侧弯曲，而左侧车轮由于倾斜角落而低于右侧车轮。

二维赛道的问题公式

让我们从二维（2-D）赛道开始吧。二维赛道是平坦的轨道，沿途没有斜坡或倾斜的角落。在xyz空间中，整个轨道可以用z = 0表示。

对于二维赛道上的赛车存在一些限制。我们将逐一分析它们。

• • 1. 假设没有打滑。汽车始终在控制范围内运行。为了满足防滑约束，转弯时的速度不应太大，以便汽车上的摩擦力可以提供所需的向心加速度（图2.2）。

图2.2。在2D轨道上，仅通过摩擦力提供支撑车辆转向的侧向力。

这里m是汽车的质量， 是摩擦系数，g是重力的加速度。的值取决于道路状况和汽车的功能。忽略

车轮之间的差异，通常使用的摩擦系数表见附录（A）。

• • 1. 汽车总共移动了一个角度△theta;theta;度（图2.3）。从曲线长度的公式，我们知道

图2.3。△theta;theta;可以参数化汽车沿着线行进的距离，给定所有点的半径信息以及限制凸区域的轨道。

• • 1. 汽车转弯的物理限制。例如，汽车不能立即转180度。这表明汽车的转弯半径不能太小（图2.4）。

• • • 1. (b)

图2.4。一辆汽车的转弯与代表汽车的灰色矩形。（a）是适用的转弯，因为转弯的半径足够大。但是（b）不适用，因为半径太小而且汽车不能立刻转弯。

• • 1. 发动机或赛车规定的速度限制。汽车无法以无限大的速度行驶。最大速度限制

• • 1. 引擎加速度限制。允许加速度有上限和下限

amin le; a le; amax

a分 是负数，定义最大减速度;a最大 是正数并定义最大加速度。从F1赛车的特点，我们设置了一个分 = -4g，一个最大 = 1.45g（参考附录（B））。很明显是绝对的

减速度值远大于加速度的绝对值。这确保了赛车的安全性。

总结约束，优化问题的表述如下：

最小化

s.t.

1ds v

kds=

这是涉及动态编程的非线性优化问题。目标函数是总时间成本，表示为行进距离函数的积分。有六个限制。其中两个是非线性约束，其中四个是线性约束。当变量数量很大时，这将是一个大规模的优化问题。

三维轨道的问题公式

三维（3-D）轨道是现实生活中最常见的轨道。三维指的是轨道向左或向右偏向的轨道以及轨道的上下斜坡。不同的轨道具有不同的3D功能。像NASCAR赛道这样的赛道有更多的倾斜角落，而像一级方程式赛道的一些赛道更少有银行业务，但更多的上下坡。

处理二维和三维轨迹的基本概念是相似的，但三维情况要复杂得多，力分析也是非常不同的。

我们将首先进行力分析，给出三维问题公式，然后介绍在三维中表示轨迹的方法。

力分析

无论我们将汽车视为单点还是扩展对象，都会有所不同。如果我们将汽车视为伸展物体，它的两个轮子可能会受到不同的力量。如果我们将汽车视为仅一个点，则所有力都应用于其几何重心。lt;

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