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一种新的适用于恢复局部隐含波动率的方法
1、简介
基于不变波动率的假设，著名的B-S公式可以通过使用估计或预测的波动率常数作为输入来简单快速地评估欧洲期权。该期权的价值在波动率参数中是单调的。随后，大多数期权交易者反转B-S公式，以从市场价格中确定波动率（称为隐含波动率）。实际上，B-S公式并不是用作定价工具，而是作为在市场交易价格和相关的隐含波动率之间来回切换的手段。如果该模型是完全正确的，那么隐含的价值就会在不同的敲定价格和到期时间内进行。不幸的是，这种情况并非如此。暗示B-S公式的波动率随着敲定价格和成熟时间而变化，分别称为微笑效应和期限结构。
已经有各种尝试来扩展Black-Scholes理论以解释波动率微笑效应和期限结构。一类模型引入了非交易风险源，如跳跃或随机波动率。较新的模型引入了确定性波动率函数，该函数随现货价格和时间而变化。
Rubinstein，Dupire，Derman和Kani 独立构建了一个离散近似的风险中性过程的底层形式的三角树，这是原始Cox等二叉树的扩展。 这些隐含的树木在所有成熟期间与观察到的微笑相容，并且还保持模型完整。
Bouchouev和Isakov通过最终观察将波动率的识别转换为带终值测量数据的抛物方程反问题，并在某些假设下建立唯一性和稳定性结果。然后，他们获得了一个非线性Fredholm积分方程，用于未知波动率，将较高阶的时间项下降到成熟度，并迭代求解方程。 这种方法适用于反演短期波动率， 如果反演长期波动率，那么使用基于优化的算法可能会更好。
Lagnado和Osher建议利用梯度法极小化波动率泛函。 梯度下降的过程用于计算极小元。 在每个差分网格以及期权成熟期的敲定价格和时刻的每一次迭代中都需要计算变分导数。 换句话说，计算下一步波动率的近似值必须计算Black-Scholes方程的基本解， 因此，整个计算的过程十分的敏感。
Avellaneda等使用动态规划方法并最小化熵函数。 在[5]中可以找到一些其他优化方法的综述。
本文是文献[14]的续篇。他们使用最优控制框架来确定隐含的局部波动率并严格分析反问题。有了坚实的数学基础，我们提出了一种新的算法来实现校正期权定价模型的过程，即在最优控制框架中从市场期权价格中反演局部波动函数[10,11]。借助在最优控制领域开发的技术，我们成功地恢复了波动率函数。因此，作为最优控制，未知波动率的求解涉及到抛物方程正问题和反问题耦合的椭圆双边变分不等式。我们的数值实验表明，波动率函数恢复得很好。
2、相关的最优控制问题
根据文献[2,12,18,23]可知，股票价格s可以看做一种广义的扩散形式，满足如下方程
其中mu;是漂移项，是股票波动率，是标准的维纳过程，欧式看涨期权溢价满足以下Black-Scholes方程：
其中T是到期日，K是敲定价格，r是无风险利率，q是股息收益率（在股票上），sigma;是股票波动率，如（2.1），这是唯一的参数（在定价模型中） 这是不可直接观察到的。
近年来，许多期权变得流动（实际上，我们现在可以在标准普尔500指数中找到多达100个同时交易的期权，所有期权的执行价格和/或到期时间都不同）。 凭借如此丰富的数据，期权市场已成为丰富的信息来源。 因此，希望对不同的敲定价格K和（或）到期时刻T，利用当前时刻的股票价格s的观测数据来反演未知波动率。 在连续时间设置中，这相当于以下问题。
问题I.确定系数，使得不同的敲定价格K和到期时刻T, 期权的当前市场价格满足方程（2.2） 。
从数学的角度来看，这是偏微分方程（PDE）的反问题。 但它不是标准的，因为它要求我们通过一系列对应于某些参数（K和/或T，通常是离散的）的解的观察值来确定定价方程的系数。 在固定点。 Bodurtha和Jermakyan在文献 [3]中，从经典的Tikhonov角度分析了该问题不适定性的本质。
基于对偶问题，原问题可转换为带新变量的标准抛物方程：
tau;= Tminus;t是期权到期的剩余时间。通过重新排列这些项，我们得到了隐含局部波动函数的Dupire[9]公式:
从理论上讲，我们可以从期权价格的完整知识中推断出波动函数。也就是说，如果期权的当前市场价格已知所有可能的敲定价格，K，和到期日，T，那么从理论上可以直接从(2.4)找到波动函数。但由于两个原因，这种方法并不可靠。首先，我们需要计算u(K,T)对T和K的数值导数，尤其是对K的二阶导数，u的一个小变化可能会导致其导数的一个大变化。因此，计算可能不稳定。第二个原因是市场期权数据只提供了()， m = 1,2，hellip;,M, n = 1,2,hellip;, n。u在其他点的值是通过内推（外推）技术得到的。因此，它会受到某种误差的影响，从而影响局部波动的最终值。
Dupire公式(2.4)在实际应用中存在一定的困难。因此，它需要改进。
我们分两步研究这个问题。首先，我们研究了局部波动不受时间影响的情况，并且只使用具有不同走向和固定到期日的期权价格。这种情况下，当局部波动也是一个函数的时间，留给未来的研究。
因此，由上可知，该问题可表示为基于终止时刻观测数据的典型抛物方程反问题。
问题二。找到sigma;(K)使得
满足方程(2.3)，其中和ulowast;(K)是对不同敲定价格K且当前时刻股票价格为的市场期权价格。
在本文中，为了相容性的考虑，假设u(K)是一个令人满意的连续函数。
上面的问题也不是很好解决的。然而，在标准形式下，我们可以在最优控制框架下求解。
首先，为了去除K = 0处的奇异点，我们对式(2.4)中的变量进行了更改:
这就导致了柯西问题
其中
在上述变换下，问题II变为
问题二。求出a(y)，使得
满足(2.6)，其中 (通过(2.5))，且满足
上面的反问题的解a(y)依赖于和。
进一步，我们还对给定的数据施加以下条件:
其中H(·)为著名的Heaviside函数。
让
为控制集，其中和分别为波动率平方的一半的下界和上界。
抛物方程的已知理论[15]保证,对于任何给定的一个, 柯西问题(2.6)有唯一解,且满足
加上(2.7)，(2.8)保证了这一点
这使得我们有可能定义一个有意义的泛函:
其中v为(2.6)对应于a的解。
我们现在引入以下最优控制问题。
问题三.找到一个,比如：
这样的，如果存在，就称为最优控制。
问题的难点在于，控制变量存在于定价PDE的二阶偏导数系数中，而且方程的形式是非发散的。
很容易看出，J(a)是一个非负下半连续泛函，A在Holder空间有界，通过状态分析，我们可以建立上述最优控制问题的存在唯一性。
定理2.1. 问题III有一个唯一的最优控制，.
在[14]中可以得到该定理的严格证明。
将未知波动率反演的问题转换为问题三的最优控制。现在，我们推导出最优控制的必要条件。
令为问题III的最优控制，为与对应的(2.6)的解。注意，对于, a是一个凸集，
对于,有函数
是定义良好和达到最小值。那么，我们必然有
即
其中是时，（2.6）的解
对(2.6)两边关于lambda;求导可得
其中xi;满足如下变分方程:
因此,由(2.10)有
使是下面的伴随方程的广义解:
然后根据(2.11)(2.13)和格林公式，我们可以推导出来
即
结合(2.12)和(2.14)可以得到
式(2.15)表明是下面椭圆型双边变分不等式[6]的弱解:
于是
因此，我们得到了最优控制问题的最优性条件.
定理2.2.令为问题III的最优控制，为(2.6)的对应解。然后,存在一个函数解决伴随方程(2.13),这样是一个椭圆双边的解的变分不等式(2.16)。
3. 数值模拟
3.1算法
总结上一节的结果，得到状态方程(3.1)、伴随方程(3.2)和变分不等式(3.3)三组方程:
于是
给定市场价格选择和时刻的，我们将通过确定。我们的任务是从这三组方程中解出a(y)一旦我们有一个a(y),我们能够得到波动函数。
鉴于和,解决a(y)的任务可以通过迭代过程如下:
(1) 我们令a(y)的初值为求解方程(3.1)给出了。求解(3.1)、(3.2)等偏微分方程的算法见附录。
(2)分配进，其中步骤1中给出了。
(3)和之间的区别的最终条件为。用这个和一个a(y)鉴于在步骤1中,我们可以解决方程(3.2)来获取。
(4) 对于和,我们可以解决变分不等式(3.3)来获取一个新函数a(y),用。算法也在附录中给出。
(5) 检验迭代是否终止。假设是给定的误差上界。如果迭代结束。否则我们将作为一个新值a(y),回到步骤1,重复这个过程,直到
3.2数值实验
我们已经完成三个数值实验的“真解”波动函数(用)指定如下。
(1)“平的”波动:
(2)“微笑”波动:
(3)“斜”波动:
在所有的三个实验中,我们使用一个水平线作为初始值。一些基本参数:
在数值实验中,我们首先解决方程(3.1)和以获得我们处理 作为给定的市场价值。然后, 在前面的小节中提出迭代过程后,我们解决了系统(3.1)-(3.3)与获得a(y)。通过比较计算波动函数以及真实函数我们可以证明我们的方法的准确性。
图1 波动性的恢复.虚线是初始条件。实线是真实波动率，点是通过使用我们的算法从真实波动率产生的期权价格中数字恢复的波动率。
图2“微笑”波动的恢复。虚线是初始条件，实线是真实波动率，点是通过使用我们的算法从期权价格中数字恢复的波动率产生真正的波动性。
图3“倾斜”波动的恢复。虚线是初始条件，实线是真实波动率，点是通过使用我们的算法从选项中数字恢复的波动率价格随真实波动而产生。
表1表明,在第一个实验中,相对区别sigma;(s)和均小于。在第二个实验中，数值计算收敛较快，精度在左右(见表2)，第三个实验与最后一个实验一样有效(见表3)，图1-3显示了三个实验的结果。
4. 结束语
在金融领域，特别是在连续时间条件下，期权定价模型的标定仍然是一个突出的问题。这种困难是由于数学工具在处理相关反问题的局限性造成的。
本文解决了最优控制框架下波动函数反演的反问题。利用[14]建立的最优控制的存在唯一性，给出了变分不等式的一个必要条件。然后我们提出一个迭代过程来求解波动函数。数值实验表明，该算法稳定，收敛速度快。随着理论基础的建立，我们的方法现在已经准备好让实践者和研究人员使用市场数据和价格期权进行测试。
致谢
我们要感谢两位匿名的推荐人提供的宝贵意见和建议。研究资助计划由香港研究资助局资助，资助额为港币1068/ 01h。
附录
A.1.偏微分方程(3.1)和(3.2)的数值格式
对于式(3.1)，对于任意，总是存在较大的数值和，使得。通过假设方程(3.1)改变为
现在，我们使用Meyer的不变嵌入[20]的方法来数值求解这个方程。设以及
我们有
将其代入式(A.1)，比较的零阶和一阶系数，得到以下三个常微分方程:
解决上述四组方程(A.2)-(A.5)给出了或。
式(3.2)的数值过程与式(3.1)相似，因此省略。
A.2变分不等式数值格式(3.3)
鉴于和我们现在解决方程(3.3)a (y),其中被定义为(3.4)。重新排列式(3.1)给出
因此,我们有
对于变分不等式(3.3)，我们引入一个伪时间变量t，得到一个抛物线双侧变分不等式
与初始值
抛物型变分不等式(A.6)的渐近稳态解为椭圆型变分不等式(3.3)的解。
现在，我们对(A.6)执行显式有限差分法:
使
然后,(A.7)成为
因此,我们有
当并且n比大。
通过上面的计算，我们得到了第一次迭代，和。如果和的区别大于错误绑定,ε,我们继续迭代按照相同的程序。
参考文献
[1] Avellaneda M, Friedman C, Holmes R and Samperi D 1997 Calibrating volatility surfaces via relative-entropy minimization Appl. Math. Finance 4 37–64
[2] Black F and Scholes M 1973 The pricing of options and corporate liabilities J. Political Economy 81 637–59
[3] Bodurtha J Jr and Jermakyan M 1999 Non-parametric estimation of an implied volatility surface J. Comput. Finance 2 29–61
[4] Bouchouev I and Isakov V 1997 The inverse problem of option pricing Inverse Problems 1
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资料编号：[19933]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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