D-算子的新性质与其在中立性微分方程的周期解问题上的应用外文翻译资料

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题 目 D-算子的新性质与其在中立性微分方程的周期解问题上的应用

二 0 一 九 年 一 月 一 日

目 录

中文摘要hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;II

英文摘要hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;III

引言hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;1

1 D算子的新性质hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;2

2 D算子性质的运用hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;9

参考文献hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;13

D-算子的新性质与其在中立性微分方程的周期解问题上的应用群的性质及应用

鲁世平^a,b,*,徐燕^b,夏大峰^a

^a南京信息工程大学 数学，与物理学院，中国 江苏 南京 210044

^b安徽师范大学，数学系 中国 安徽 芜湖 210044

摘要：在本文中，作者首先研究了与中立性微分方程有关的D算子的新性质。接下来，通过运用这些新的性质，研究了D算子中立型泛函微分系统的周期解存在性的问题。有趣的是D算子是允许不稳定的，这是过去基于D算子稳定的假设的相关研究的推广。

关键词：中立型微分方程、D算子、Mawhin连续方程、周期解

^[1]

New properties of the D-operator and its applications on the problem of periodic solutions to neutral functional differential system✩

Shiping Lu^a,b,*, Yan Xu^b , Dafeng Xia ^a

^a College of Math. and Physics, NUIST, Nanjing 210044, PR China

^b Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241000, Anhui, PR China

Abstract：In this paper, the authors first investigate some new properties of the D-operator which is associated with neutral functional differential equations. Then, by using these new properties, the problem of existence of periodic solutions of the D-operator neutral functional differential system is studied. The interesting thing is that the D-operator is allowed to be unstable, which is generalized by the corresponding studies in the past under the crucial assumption that the D-operator is stable.

copy; 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Key words：Neutral functional differential equation、 D-operator、 Mawhinrsquo;s continuation theorem 、Periodic solution

^[2]

引言

在微分方程理论中，研究的如下形式的D算子型中立型微分方程(NFDE(D))

， （1.1）

的周期解的存在性是一个困难的题目。是一个常数，是线性的、连续的并且原子为零，并且对所有和任何在有界的有界集满足。困难在于它的性质如何反映解的一些普遍性质的信息还远未明确。例如，在方程(1.1)的解的定义里，只要求在t连续可微，但是通常情况下，可能在t处不可微[1-4]。在NFDE周期解的基础中，Jack Hale给出了一个名为稳定D算子[1,2]的定义。与等式(1.1)有关的D算子是稳定的，如果方程的零解是一致渐进的。

在D算子稳定的条件下，Jack Hale得到了如下结论[1]。

定理A. 如果是开集，D算子稳定，那么任何方程(1.1)的omega;-周期的解都有连续的一阶微分。

过去，许多研究者[5-8]运用定理A和一些固定的主要定理研究方程(1.1)周期解的存在性。现在的问题是：如果D算子不稳定，方程(1.1)存在拥有连续一阶微分的周期解吗？

在本文中，将研究如下的D算子：

, (1.2)

是实矩阵，是一个常数。通过运用泛函分析理论，研究出了D算子的一些新性质。例如，在允许D算子不稳定的情况下，我们得到了方程(1.1)的任何omega;-周期解在t处连续可微。然后作为应用，研究了带有由(1.2)定义的D算子的方程(1.1)的周期解。有趣的是，D算子不需要是稳定的。所以本文的任务扩展了到相应的[5-8]的工作。更多的，矩阵B不一定是对称的，故本文的结论(定理2.1和2.2)被推广到了相关的[9-14]的结论。

1.D算子的新性质

令是附属矢量，，并且是复数矩阵，令

,和范数，和

和范数，和

和范数，和

和范数

和由定义的范数。都是Banach空间。

从由(1.2)定义的D算子可知，

（2.1）

如果集合

, (2.2)

且对任何，微分系统

(2.3)

的连续-周期解u(t)的存在性与微分系统

. (2.4)

的连续-周期解u(t)的存在性等价。

因此，为了研究方程(2.3) 连续-周期解u(t)的存在性，可以满足证明方程(2.4)有连续-周期解的证明。更多的，还研究了方程(2.4)的连续-解的一些性质。

因为B = [b_ij]_ntimes;n是实矩阵，一定有一个复矩阵U例如

UBU^minus;1 = E_lambda; = diag(J1, J2, . . . , Jl)

是正规若尔当矩阵，其中

其中是B的特征值的一个集合。现在，令

A_i : P_omega; → P_omega;, [A_iy](t) = y(t) minus; lambda;_iy(t minus; tau; ), 对所有的t isin; [0, omega;], i = 1, 2, . . . , l.

引理2.1 (|11|)如果|lambda;_i | ̸= 1,那么A_i有逆A^minus;1 i : P_omega; → P_omega;具有下列性质，A_i由(2.6)定义。

1. 对于所有eisin;P_omega;，

(2);

(3)对于所有eisin;P_omega;,pge;1。

定理2.1 假设矩阵U和A算子分别由(2.5)和(2.2)定义，对于所有i = 1, 2, . . . , l, |lambda;_i | ̸= 1。则A有逆A^minus;1 i : C_omega; → C_omega;满足下列性质。

(1)

(2)对所有,其中

且常数q＞0且满足

证明 对于所有fisin;C_omega;，考虑系列微分系统：

x(t) minus; Bx(t minus; tau; ) = f(t) (2.7)

令x(t) = U ^minus;1 y(t);则

y(t) minus; E_lambda;y(t minus; tau; ) = Uf(t) := g(t). (2.8)

由于E_lambda;可能是一个复矩阵，易知y,g可能在T_omega;集中。令

y(t) = (y_1,1(t), . . . , y_1,n1 (t), . . . , y_i,1(t), . . . , y_i,ni (t), . . . , y_l,1(t), . . . , y_l,nl (t))^⊤

且

g(t) = (g_1,1(t), . . . , g_1,n1 (t), . . . , g_i,1(t), . . . , g_i,ni (t), . . . , g_l,1(t), . . . , g_l,nl (t))^⊤ . (2.9)

由(2.8)，可知

y_i,ni (t) minus; lambda;_iy_i,ni (t minus; tau; ) = g_i,ni (t) (2.10)

j = 1, 2, . . . , ni minus;1; i = 1, 2, . . . , l。通过运用引理2.1到(2.9)，可知方程(2.9)有一个特解y_i,ni (t)例如

(2.11)

且

(2.12)

在j = n_i – 1的情况下，通过运用引理2.1到方程(2.10)，可知方程(2.10)有一个特解y_{ni ,niminus;1}例如

（2.13）

且

（2.14）

把(2.11)代入（2.13），

(2.15)

把(2.12)代入(2.14)，

(2.16)

与上述情况相似，可知

（2.17）

(2.18)

hellip;,hellip;,hellip;,hellip;,hellip;

(2.19)

(2.20)

(

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