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智能系统研究和机电一体化国际会议（2015年ISRME）
研究三线摆的非线性扭转运动
关键词： 三线摆；非线性振动；周期
摘要
本文对三线摆的非线性扭转振动进行了研究。悬盘运动的微分方程已经获得的理论分析。振动曲线和相位图已经可以用数值微分方程来解决。研究发现振动特性随着系统参数的变化而变化。理论分析给出了长摆线三线摆的振动周期公式。这个公式的有效性在实验中得以证实。
简介
用三线摆测量刚体的转动惯量在物理和工程实践中是一种很常见的方法[1,2]。在这种方法中，使用了长线摆并且扭转角的振幅控制在小于5°，另外，三线摆的扭转运动被认为是谐波振动。但是当角振幅比5°大得多或者线摆的长度与悬盘一样或比悬盘的半径短时，非线性振动就不能被忽视了。在这种情况下，有一些问题有待解决。如悬盘如何移动, 周期振动如何随着扭转角的振幅变化而变化等等。在本文中，我们将试图回答这些问题。
图1：三线摆的原理图
悬盘扭转运动的微分方程
三线摆是由两个平行的圆盘用三条等距悬挂线连接并且对称分布。较高层和较低层的圆盘分别称作悬盘和垫盘。如图1所示,上下圆盘的半径分别标记为r和R。悬线的长度是L。两个悬盘调整成水平。两个盘之间的距离是H。两个悬盘的中心在同一垂直线上，标记为O1O2，悬盘可以围绕O1O2做反向运动。假设线长度不变，悬盘扭转角为theta;时，h也将上升。在这种情况下，给出了以下的几何约束关系。
在实际实验中，h lt; lt; H，因此，如果忽略h2，上面的方程会变成：
将方程式（2）对t求导，可以获得悬盘翻转的速度，整理可得：
如果忽略摩擦和阻力的影响，当悬盘反向运动时，三线摆系统的机械能是守恒的。按照机械能守恒定律，我们获得以下公式：
其中m和l 分别是质量和悬盘的移动惯性。theta;0是悬盘的最大扭转角。
将方程式（4）对t求导，可以获得悬盘运动的微分方程如下：
空载悬盘的振动曲线和相图
悬盘一般来说是由均匀的金属材料构成。如果是空载,其转动惯量可以表示为 。因此, 方程（5）可以简化为
方程（6）是非线性微分方程[3,4]，使用龙格库塔法来解决[5]。振动曲线和相图见图2和图3。
图2：振动曲线
图3：相位图
图2和图3表明，振动曲线更像是正弦曲线。当H足够大时，相图则更像椭圆。这些都显示了,长摆线更像谐波振动但短摆线却并非如此。
悬盘的振动周期
根据方程（5），我们可以获得如下的方程（7）：
由于空载悬盘，，那么我们从上面的公式获得如下方程：
将上面的式子按照扭转角度从0到theta;0 积分，在四分之一周期中可以得到以下周期关系的表达：
图4：周期随着r/H和theta;0 变化的关系
观察到振动周期变化会随着系统和状态因素的改变而改变，我们将公式（9）数值积分并画出了图像。图4是当R = 0.1 m的结果。结果表明，对于同一个单摆而言，周期会随着角振幅theta;0的增加而增加。theta;0越小，振动周期越接近谐波振动的结果。
在实际试验中，r远小于H，也就是说，，于是，方程9变形为：
按照，进行变量替换可以得到：
以上公式的积分是第一类型的椭圆积分。注意到谐波振动的周期是：
于是长摆线单摆的周期可以表达为：
图5：不同周期表示的对比
图5显示了方程（9），方程（13）以及谐波振动的结果。表明了当 时, 方程（9）非常接近方程（13）的结果。这暗示了，如果，单摆可以被认为是长线摆，并且它的振动周期可以由方程（13）计算。
实验检查
为了检查以上的阐述的正确性，我们在阿尼奇实验室做了实际的实验。在实验过程中，使用来自杭州大华制造有限公司的测试仪（DH4601A）来测量转动惯量。系统要素分别是：r=4.332plusmn;0.002cm，R=9.180plusmn;0.002cm， H =42.75plusmn;0.05cm，m=1205.00plusmn;0.01g 。我们用电子毫秒计时器悬盘摆动10圈的时间区间，然后计算摆动周期。实验数据在表1中列出。
表1：实验数据
表1表明用如上的系统要素，三线摆的振动周期随扭转角振幅theta;0 的增加而增加。我们将实验数据和方程（13）的结果显示在图6。显而易见的是实验数据（用圆圈表示）非常贴合方程（13）的结果（用线表示）。这说明了用方程（13）去计算长摆三线摆的摆动周期是非常有效的。
图6：实验数据和方程13的结果
结论
以上的研究发现，三线摆的扭转振动是非线性的。系统参数以及初始状态会影响振动的特性。经过理论分析得出了长摆三线摆在任意扭转角度振幅的周期公式。本文的工作丰富了线摆振动的研究。
参考文献
[ 1 ]盛中志，易德文，杨武：大学物理，第23卷，第二册（2004），44-46页（中文版）。
[ 2 ]葛玉红：力学与实践，第34卷，第六册（2012），50-54页（中文版）。
[ 3 ]闫竹柳，李群晨：非线性振动，高等教育出版社，北京(2001)(中文版)。
[ 4 ] L.Cveticanin，非线性科学与数值模拟国际期刊，第10卷（2009）1491—1516页。
[ 5 ]刘慧因，MATLAB R2007概要，清华大学出版社，北京（2008）（中文版）。
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