压缩映射原理到Lipschitzian映射的扩展
Xavier A Udo-utun* , Zakawat U Siddiqui and Mohammed Y Balla
摘要：最近，Udo-utun (Fixed Point Theory Appl. 2014:65, 2014)建立了非空不动点集的压缩算子所具有的一个性质，并用它证明了非扩张映射的不动点的存在性. 我们推广了这些结果，证明了具有这一性质的L-Lipschitzian映象不动点的存在性. 我们的结果推广和统一了关于压缩映象的渐近不动点的理论结果. 通过初值问题的全局存在性定理说明了其在常微分方程中的一个应用.
关键词：-弱压缩； 不动点； Krasnoselskii迭代； L-Lipschitzian
- 介绍
众多学者研究了著名的Banach不动点定理，称为压缩映射原理，著名的数学家根据各种压缩条件获得了许多推广. 本文中的方法是应用Berinde[1]导出的更统一的压缩条件，以获得满足第一作者[2]最近导出的某些（有界性）条件的Lipschitzian映射类的渐近不动点定理. 令为度量空间，为满足条件
. （1）
的映射. 则称T为L-Lipschitzian算子，其中是具有此属性的最小常数. 如果，则T称为压缩的，对于，T称为非扩张算子. 如果，则称T为扩张的.
接下来，我们将用表示的不动点集. 压缩和扩张映象不动点的研究仍然吸引着众多研究者的注意力，他们研究Banach不动点定理的扩展和推广. Banach空间中的压缩映射原理断言，如果为压缩的（即对于所有），则：
T具有唯一的不动点，该不动点由Picard迭代的极限给出，其中是K中的任何初始估计值.
以下估计成立：
Picard迭代的迭代的收敛速度由给出.
我们回顾度量空间中的压缩条件是，T称为压缩的，如果
, （2）
称T为拟压缩的（Ciric[3]），如果存在，使得
. （3）
继Ciric[3]之后，Berinde[1,4]研究了所有，，，和的替代形式，提出了-弱压缩的概念如下.
定义1[4] : 设为度量空间，，则映射称为是-弱压缩的（或弱压缩的）当且仅当
（4）
注1：-弱压缩也称为是几乎压缩的.
本文的结果被看做是-弱压缩概念的应用，得到了满足以下某些有界性概念的所有Lipschitzian映射的存在性结果，也表明了该条件是Banach空间中Banach压缩映射原理的非平凡扩展和修改.
具体来说，我们在任意Banach空间中，证明了一类Lipschitzian算子在下列中心假设下不动点的存在性：
（5）
对于某些和x，y在Banach空间E的某闭凸子集K中且.
- 预备知识
我们的方法涉及证明对于任意，满足（5）的任何L-Lipschitzian映射都具有不动点，这表明相应的平均算子是-弱压缩的. 换句话说，根据, 的Krasnoselskii迭代程序收敛到的不动点. 此外，我们证明了在Banach空间中，压缩映射原理的假设是上述（5）的特例.
关于扩张变换的不动点的研究包括Goebel和Kirk[5]在的一致L-Lipschitzian映射上的工作. Lipschitz [6]改进了对的估计为.
值得注意的是，最近关于一致L-Lipschitzian映射的最新研究趋势涉及一致L-Lipschitzian映射半群的不动点集的正规结构和结构. 这方面的工作包括[7，8]和[9].我们的结果包括这些研究为特例.
-弱压缩的其它例子在[10]中给出，文献[1,4]指出，许多众所周知的压缩条件都是几乎压缩条件（4）的特例，因为它不需要，这在基于压缩条件的几乎所有不动点定理中都是这样假定的，这些压缩条件涉都及形式，，，和的各种位移；参见Berinde[1], Kannan[11], Rhoades[12], Zamfirescu[13]及其参考文献.
满足（5）式的L-Lipschitzian算子的例子如下.
例1：令和，则对任何固定的，定义算子为，由于，所以是L-Lipschitzian的，并且具有不动点. 值得注意的是，满足条件（5）由中值定理，我们得到对介于和之间的某成立. 这表明存在，使得，其中x和y是不动点的适当闭领域中的所有点，满足且.
类似地，另一方面，由定义的算子是L-Lipschitzian的，具有Lipschitzian常数，但没有不动定点. 作为一个反例，有趣的是不满足性质（5）.这是因为当x与y十分接近的时，有.
Berinde在[4]中证明了以下定理，即第一个几乎压缩映射原理.
定理1：令是一个完备的度量空间，是一个-弱压缩的（即几乎压缩）. 则
（1）
（2）由定义的Picard迭代序列收敛到
（3）估计式
成立，其中是（4）中出现的常数.
（4）如果附加条件：存在和某，使得
, （6）
则不动点是唯一的，Picard迭代的收敛速度是
注意：
（a）为了证明我们的结论，只要证明由给出的平均算子是-弱压缩的，然后应用定理1获得的不动点.
（b） 对于，的不动点集与一致.
在下文中，我们将利用Archimedean属性和[2]中的最新成果如下.
引理1[2]：设是一个赋范线性空间，为一映射. 如果对任意不同的有，则.
- 主要结果
定理2：设为实Banach空间E的闭凸子集，而为非扩张映射。如果，则存在一个开子集，使得满足条件：对某和对所有
只要，就有
证明 给定实Banach空间E的闭凸子集和非扩张映射，具有. 令Y表示K中满足条件，的元素的集合, 我们将导出一个开子集，其中（5）被满足. 从和T的非扩张性得出：
（7）
（8）
（7）式和（8）式相加得
（9）
设是Krasnoselskii迭代格式生成的序列；众所周知，对于某初值，Krasnoselskii迭代序列收敛到具有非空不动点集的非扩张映射T的一个不动点. 给定我们设 ，注意到是一个非空有界集.这是因为我们总是可以找到使得. 由引理1如果，则. 由于，因此如果，则.
在这种情况下，采用的形式，其中,而变为的形式. 显然, 因为条件意味着对于足够大的n和m，. 这意味着在中，当时，有. 这得出, . 因此，由于可以做得尽可能小，并且在中，所以由（9）可得在中有成立. 设为中包含的最小开集，考虑到的连续性，我们得出非扩张映射满足条件（5），其中.
定理3：设为Banach空间的闭凸子集，而为L-Lipschitzian算子. 假设存在一个开子集，使得满足条件
只要，总有 （10）
对某和所有的 则在中有一个不动点，并且Krasnoselskii迭代程序；收敛到在中的一个不动点.
此外，条件（10）推广了Banach空间中的压缩条件（即具有的（1）式）.
证明 本证明需要使用定理1和定理2. 设表示平均算子, ，我们得到
（11）
如果则由（11）得出显然，如果则由（11）可得
其中和满足
因此，在这种情况下，是具有的-弱压缩，受上述和约束.
另一方面, 如果, 则通过（10）和（11）得出
因此选择使得和，根据定理1，我们得出在中有一个不动点，因此在中有一个不动点.
为了完成证明，我们需要建立Banach空间背景下的条件（10）的推广形式，即： 我们注意到，由于所有压缩映射类是具有非空不动点集的非扩张映射类的真子类，因此根据定理2，所有压缩都满足条件（10），因为压缩映射的不动点集是非空的，这就结束了证明.
接下来，运用定理2 和定理3中的的情况，我们得到下面任意Banach空间中非扩张映射的不动点结果.
推论1：设是实Banach空间E的闭凸子集，而是非扩张算子. 在中具有一个不动点当且仅当存在一个开子集使得满足以下条件：
只要，总有
对某和所有的
则在中有不动点，并且Krasnoselskii迭代程序；收敛到在中的一个不动点.
证明来自定理3的证明，其中. Udo-utun[2]提供了充分性的另一种证明.
- 在全局存在理论中的应用
在本节中，我们通过对著名的Picard-Lindelof结果的一个非平凡的改进，给出了全局存在条件，从而说明了我们的主要结果的适用性. 例如可见[14, 15]中初值问题的相关定理，其中，是矩形区域.
定理4：设为矩形区域上的Lipschitz函数：. 如果不等式
（12）
对于某个以及定义在闭区间上的所有成对的不同连续函数和都成立，则对每个，初值问题在上有唯一解.
证明 利用（12）我们得到
（13）
在Banach空间中通过定义算子，则由（13）得到，，其中. 等价地，我们有
（14）
但是当时有，因此应用（14）可获得，对于，有. 由此得出
（15）
这意味着满足（10）且 ，因此由定理3知 Lipschitzian算子具有一个不动点. 由于满足Lipschitz条件，所以初始值问题具有唯一解.
- 结论
最后，我们作如下说明：
1、我们的不动点结果不能保证不动点的唯一性，但是定理1的条件（6）的适当应用会得到不动点的唯一性.
2、我们发现定理2可以用来研究具有非空不动点集的Lipschitzian映射的一个特征.
3、 显然，条件（5）在常微分和积分方程中对于研究解的连续性，渐进性，绝对稳定性和不稳定性方面是非常有价值的.
参考文献
1. Berinde, V: On the approximation of fixed points of weak contractive mappings. Carpath. J. Math. 19(1), 7-22 (2003)
2. Udo-utun, X: On inclusion of F-contractions in (delta;, k)-weak contractions. Fixed Point Theory Appl. 2014, 65 (2014)
3. Ciric, LB: Generalization of Banach contraction princ
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