定量研究二次时滞差分系统的稳定性
原文作者 S. S. SHEN SHUNIAN ZHANG
单位 Department of Mathematical Sciences
University of Alberta
Edmonton, Alberta, Canada T6G 2G1
Department of Applied Mathematics
Shanghai Jiaotong University
Shanghai 200240, P.R. China
摘要：这是一篇二次时滞差分系统的稳定区域大小估计在零左右的报告。当初始变化渐近于稳定区域，二次型时滞差分方程组的初值问题的解接近于零。示例为一个三维系统和三个一维方程表现出稳定性和不稳定性。示例 2-4 所示当在系统中的参数不满足稳定条件，零解可以是不稳定。三个初始扰动的演化特征以数字形式显示： 衰减到零，被放大，但有界，越来越为无穷大。示例 3 进一步表明稳定零解不可能是全局吸引子。数值计算结果证实本文的主要定理的结论，意味着我们的稳定区域的大小的估计具有合理的精度。
关键词：二次时滞差分系统；均匀稳定性；一致渐近稳定性；稳定域；渐近稳定性区域
1.介绍
当考虑一个动态的系统，均衡点是否稳定往往是一个问题。同样是真实的时滞差分系统。经过稳定性的坐标变换任何平衡点分析可以转化为零解的稳定性问题。本文旨在研究零解的差异时滞稳定性质系统。
稳定性研究可分为两类。第一个是定性的稳定性研究可确保零解是稳定或不稳定的原则。Elaydi 和张 [1]就是这种定性稳定性研究的例子，并提出了一些稳定性判据有限时滞差分系统的一般形式的离散的李雅普诺夫泛函和李雅普诺夫函数。[1] 中的分析方法，在本论文中也总结了，在 [2] 中，其中一个可以找到无时滞差分方程的稳定性理论广泛的处理。张 [3] 扩展[1] 中的结果到无穷时滞差分系统的。放宽的稳定性条件 [4] 中发现它是改进 [1，3] 中的结果。尽管有上述进展的定性稳定性研究，在实际应用中常常需要知道平衡扰动最大耐受以致于摄动也仍然能吸引回到平衡。这就要求更多仔细的估计，在上述证明中所涉及的职能质量稳定性结果和不同的初始扰动的数值模拟。我们来到第二类稳定性研究： 零解的稳定性区域大小的定量描述来自均衡的初始扰动的演化的数值模拟。
在本文中，我们将具体描述稳定区域的大小为了符合初始扰动 （即，初始数据） 被限制在此区域内，使得所需的均匀稳定和/或一致渐近稳定的性能得到保证。数值模拟介绍了几种不同的系统和三个类型的初始扰动的演化结果表明： 稳定的演化，不稳定但有界的演变和不稳定的无界的演化。我们所知，解析和数值包含在此的结果在本文中是他们是第一个演示文稿的大小的定量描述的稳定性区域和二次型时滞差分系统的零解的渐近稳定性。
本文的内容安排如下。用来描述本文稳定性的结果的准备材料主要在第 2 节和定理 2 的第一部分为主体结果在第二部分第二节所述。主要结果的证明是在第 3 节。四个数值例子介绍了在第4节和第5节中结论和讨论。
- 主要成果
为了描述本文的主要结果，我们对包括一些预备知识时滞差分系统的稳定性。对于时滞差分系统的以下一般情形：
， （1）
其中表示（k维欧几里得空间）的非负整数集和，其中与一些正整数rgt;0.假设其中，所以那 （1） 总是有零解.显然，对于任何给定没有和一个给定的初始函数：
，
还有一个独特的解决方案 （1），由表示，满足（1）的所有整数和
，其中.
令
.
在续作中，我们总是会假设变量 n、 s、 i，和 j 带整数值和所有时间间隔和不平等是离散的。
下面的定义和定理从 [1] 将使用中的陈述和证明主要的结果。
定义1 （1）中的零解都是均匀稳定的如果对于每一个的（美国），而且对于任意，总存在一个独立于以便于如果，然后有
，对于所有的都成立.
定义2 (1) 的零解是一致渐近稳定 （UAS），如果它是US，并且对于每一个都有一个存在，存在一个整数独立于只要而且，然后有
，对于所有的.
定义3 一个严格单调递增并且连续的函数W：，并有，
如果ugt;0被称为一个楔子.
定义4 所在区域定义在
被作为是 （1） 零解的渐近稳定性区域.
定理1 假定存在一个李雅普诺夫函数V:,其中
，因此
（i），和
（ii），当
，对于成立.
这里的，，是楔子，是一个连续函数当，并有
，
其中是（1）的一个解.然后（1）的零解是UAS.
在本篇文章中，下面我们研究二次型时滞差分系统：
， （2）
其中，，是ktimes;k的常数矩阵，和 （它是的转置矩阵） 是的矩阵：
， .
这里的是一个矩阵，他的第i行是然后他的其他元素都是零，i.e.，
和
，
这里的然后，其中，对于某个正整数r（j=1，2）.
对于一个向量 x，其欧氏范数定义为
，
对于矩阵 A，其谱范数定义为
，
其中和在续作中，是相应的最大的特征值然后是相应的最小特征值.以上述选用的准则，他遵循了.
从 [5]可以得知，如果所有特征值的系数少于一个的话 （在这种情况下还不如一个我们说是稳定的 A0），则为任何给定正定对称矩阵 C，一定存在独特正定对称矩阵 H 因此有
. (3)
我们采取二次型
，
作为李雅普诺夫函数，其中 H 是 （3） 的解决方案。然后会有
.
因此，显然满足条件定理1里的条件（i）.
有了上面的准备之后我们现在可以提出一个定理来陈述我们主要的结果。
定理 2 假定矩阵是稳定性并且有一下两个条件：
（i），这里，和
（ii），这里
，
借助某个常数：和.
然后我们可以得到下列两个结论：
- （2）的零解是UAS对于任意的rgt;0都成立.
- 没有解存在对应球，对于所有的，每当有
， (4)
其中P是(ii)中所指的.
；
和
（c）渐近稳定性区域包含至少一个球区域，它的半径是
，
这里的，，和将稍后被指定.
在上述定理中，给出了三个结论。其中结论 (a) 表明，其零解是渐近稳定的。这是一个定性的结果。结论 (b) 和 (c) 分别给出了尺寸均匀稳定的区域内外一致渐近稳定性。他们是
都是定量的结果。在下一节中我们将给出了定理的一个证明。
- 主要结果的证明和拓展
定理的证明被分为两个步骤。第一步是要证明我们可以构造一个有上界的李雅普诺夫函数，然后因此，验证结论 (a)在上述的定理的正确性。第二步是证明结论 (b) 和 (c)。
证明
步骤1 对于任意给定的（），我们有
. （5）
现在从（4）中选取一个。让，，然后。于是对于在范围内有
，对于所有的. （6）
假定这个不是正确的。然后必然存在一个整数能够有
，对于和都成立.
V(x) 的边界可以进一步写成：
，对于范围都成立.
这意味着，
，对于范围都成立.
另外，
，
对于范围都成立.
表明了，
，对于范围都成立.
从（2）中，我们有
. （9）
这表明了，
， （10）
由于（5）.
通过定义和方程 （7） （8） 和 （10），我们现在有
从而，
进而有
于是我们有
尤其是，我们有
用（11）的收益率代替（12）的，
这与假设矛盾
因此，（6） 表明了，
因此，（2）的零解是US，然后解不会跑到球区域的外面，对于所有的都成立，当，其中来自（4）。
步骤 2 下面我们断定零解是UAS，然后给出一个估计的渐近稳定区域。令，然后我们可以选择适合的一个，于是有
令
和
很容易就能看出，我们可以假定将十分十分接近与1从而使得，然后他们能够非常地接近彼此，使得。
现在我们选取一个任意小的数使得能够成立，并且令
从而对于任意解，其中，，借助步骤一中相同的参数，我们可以得到
每当对于范围都成立。这表明了，
对于范围都成立。
在假设之下，我们可以注意到对于范围，它遵循了（2），并有
另一方面，像步骤1中，我们可以有
对于所有都成立.
因此，
所以，（14）原来是
其中是定理1中的第（ii）需要的.
因此，通过定理1可以知道（2）的零解是UAS.此外，渐近稳定性区域至少包含球区域，其中是在（13）中给出。证明现已完成。
定理2中的可能不是一个正定矩阵，但是，其中（）是某个常数，是一个稳定矩阵.于是我们仍然可以得到一个与定理2相同的理论.
对于任意给定的正定对称矩阵C，则一定存在另一个正定对称矩阵H，使得
. （15）
像定理2中，我们可以定义
，
然后可以得带定理2的拓展.
定理3 假定A是稳定矩阵，如果其满足下面两个条件
（i），其中；
（ii），其中
.
然后我们可以有下面三条结论：
- （2）的零解是UAS对于任意的；
- 任意解不会跑出球区域，对于所有的，每当，有
，
其中来自（ii），
；
（c）渐近稳定区域包含至少一个球域，其半径是
（17）
其中和在后面将被指定.
这个定理的证明与定理2的证明几乎一模一样，因此省略证明.
外文文献出处：Computers Math. Applic. Vol. 35, No. 11, pp. 1-16, 1998
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