柔性梁多体系统
简介
柔性梁在多体动力学中的影响,代表着机械系统建模中一个最为困难的方面。其中几个原因如下。首先，与刚体的情况相反，柔性体需要物理和几何两方面的假设（例如：橡皮筋的张紧行为，小范围的柔性移动等）。这些假设的正确性应当受到质疑并凭借经验来验证其准确性，对其结果进行仿真也是很有必要的。
其次，由于可变性机构理论上具有无限多个自由度，因此对其进行空间离散化就不可或缺（不包括那些可以分析并求解的情况），所以引入了另一个近似化的分析方法。遗憾的是，后者并不容易控制，特别是由于一个事实：空间离散化的类型和它的提炼，通常都取决于具体的问题对象，而不是看用怎样的方法进行分析（瑞利-李兹法、有限段法、有限元法等）（详见[57]）。
最后，由于进行了离散化，柔性多体系统的自由度数量大大增加，严重影响到数值分析的成本。尽管现在计算机的计算能力强大，并且并行计算得到了应用，我们仍然需要对柔性多体系统的模型大小，矩阵条件和数值处理进行优化（尤其是刚体系统的时间积分）。这些困难已经催生出了很多的解决办法（详见[86]，[83]，[29]，[47]，[91]，[85]，[13]，[68]），事实上这些办法用传统的多刚体运动学或者结构力学都显得过于苛刻：事实上，要把灵活性的影响考虑进来需要涉及到这两个学科的融合。
一种从结构力学领域涌现出来的方法可以对柔性多体系统进行分析。这代表着本书中提到的这一种方法已经从传统的多体系统分析方法中脱离出来。事实上，有限元方法（FEM）是任何一个在多体系统中出现的组件在一般意义上的表示：刚体和弹性系统，机械铰接，两个物体之间的相互作用或者和外部世界之间的作用。在这一种方法中，一个给定物体的全局运动（包括刚体位移和弹性变形）通常与惯性直接相关，使用的是绝对坐标。至于柔性体，一种适当的有限元离散化方法在运动学的动力学方程的计算中逐渐被引进和发展起来。两个机构之间的联合一般是通过运动学约束建模，用于在一个有限元元素的前后联系中表示节点自由度之间的关系（通常都是一些不重要的鉴定）。
在传统的多体系统方法中，把灵活性的影响考虑进了动力学模型。可以这样说，有限元法主要侧重于灵活的机构以及使用全局多体运动作为源的外部和动态加载。由于所有几何非线性一般都会在有限元方法中进行考虑，在运动方程中出现的空间积分必须在数值处理的每一个步骤中都得到评估，这在计算时间上是无法避免的，从而带来高昂花费。
在一个纯粹的多体系统环境中，人们通常假设一个柔性体的全局运动被分解为刚体的运动和叠加的微小变形。在[47]，[91]中表明，如果不加注意的话，这种限制条件可能会导致柔性体施加给外部或者惯性载荷的力是一个完全错误的结果。尽管这个所谓的几何刚度的问题可以通过保持在材料变形表达式中的二次项不变的方式得到解决。在那些通常依靠运动学的限制而得到的表达式中，关于挠性的表达式中涉及到的柔性运动的振幅（例如：旋转梁的顶尖角）必须保持较小。此外，空间离散化通常是基于一种假设的模态技术。在这方面，很显然对于一个给定了的多体应用系统，选择一套合适的形状函数是一个相当棘手的任务，还会给上述的运动学假设带来更多的问题。事实上，要建立这样一套合适的先验形状函数并没有系统的方法或规则，因为这种选择往往要具体问题具体分析。此外，在[57]中表明：有时候一些可以被采纳的形状函数，不管经过怎么的改进，也不足以满足系统的自然边界条件。
尽管这些假设的模式并没有在本章中用来对柔性梁变形进行描述。至于这些形状方程，我们建议使用单项式作为更多专用函数的替代。单项式有两个重要的优点，首先他们是从具体问题中独立出来的，由于他们的组合近似于泰勒级数，他们可以用来对任何合理的变形进行近似化处理。第二，他们微不足道的分解和合并更适用于符号计算，在章节9.3.5中会进行详细说明。
从实际的角度来看，这种方法提供了如下两个优点：
- 形状函数的不变集的使用，大大缓解了用户的任务，因为决定一套合适的形状函数方程不再需要进行事先的模态分析。
- 得利于一系列琐碎的推导和单项式的合并，动力学方程的完全符号化得到了一个利用ROBOTRAN优秀的符号计算能力的高度简化的计算方式。正如我们后面将会看到的，由此产生的效果，在利用CPU进行数值模拟时的优秀的计算时间中展露无遗，尤其是与完全非线性化的有限元方法相比。
这一章按照下面所说的方式进行组织。首先会简要的说明一下有限段方法，尽管原理非常简单，但是这种办法却能够给出一个较为满意和有效的结果，特别是用于平面运动机构的时候。然后，基于铁木辛哥（Timoshenko）理论，一个更加详细的计算形式将会被逐渐推导出来。其中梁的挠性会通过3D建模的方式体现出来，包括剪切变形和断面的转动惯量。从虚功率的原理出发，可以获得变形方程，使用的方法在[86]，[29]中被提出，并且还会考虑到以前提到过的硬化影响。在相对坐标的3.3节中提到的牛顿-欧拉（Newton-Euler）递归形式在后面也会采用，主要用于考虑梁的挠性。整个模型是在ROBOTRAN中实现的，包括完全特征化的动力学方程，给出了关于广义坐标q，速度和加速度的切线矩阵。最后，在ROBOTRAN的帮助下，进行了多种柔性梁多体系统的实验和数值模拟。对于这些系统，梁变形的离散化被系统的推导出来，使用的方法如下：
- 使用有限段方法，将梁等效替代为多段刚性体序列之间通过等效弹簧[42]进行的相互连接；
- 一种使用假设的方法得到的“功率序列”的单项式，在上面[44]，[13]有提及；
- 一种使用初步模态分析得到的假设的形状函数[77]；
- 使用有限元代码得到的一个有限元模型[78]。
有限段法
一种所谓的细长体的有限段建模方式的详细说明可以在[42]中找到，特别是直线梁的例子。这是一种替换物理系统中的每一个柔性梁的方法，该方法将梁分解为N个刚性体或者有限段，他们之间通过弹性链接的方式连接在一起，如图9.1所示。
图 9.1 有限段法
然后使用结构力学的基本原理来建立两个相邻有限段之间的力，力矩和位移，以及两个相邻线段之间的旋转。为了确定等效刚度系数，各种结构在参考文献[42]中都有所提及（伸长，扭转，直线段或者圆锥段的弯曲等），用来推导在有限段链中的单个有限段的等效刚度的计算方式。在这途经的具体应用在一个特定问题中进行了演示（第III部分，章节12.9）。
从多体的角度来看，这种方法在纯刚体环境中处理柔性体的方面具有优势，并且使用了常规的多体代码。事实上，正如在图9.1中所展示的，那些有限体和他们之间的弹性连接都是多体系统拓扑学的一个部分。其他的那些元素也是通过同样的方法进行处理。不过，这也代表着这种方法的主要限制，实验显示，通常需要至少10个这样的有限段才能够满足要求。这就大大增加的运动链的长度以及自由度的长度，特别是在3D的柔性运动中。所以从效率的角度来说，这种方法对平面运动机构具有更好的应用，但是在除平面运动机构之外的其他情况则显得不够充分。在9.4的例子中，这一区别会定量的展现出来。
假设模态法
1 柔性梁的描述
任何一个柔性体的建模结果都可以从多种假设中得出，他们从易用性的方面被列举如下：
- 几何：只考虑棱柱形梁，并且在构造的结构中，穿过质心的轴被假定为一条直线。弹性轴被假定与质心轴重合。
- 材料：梁是由符合线性弹性的各项同性的材料均匀组成。
- 变形模型：3D模型，平面剖面的保持，剪切变形和截面回转惯性。
- 运动学：假定梁的角变形和曲率很小。至于角变形，当前的假设会在两个截面和框架之间导致一个3x3的旋转矩阵。由于这种假设可能只限于某一些机构应用中，因此将一个梁分解为若干个小的结构体有时候也会在当前的多体系统方法中得到应用，但是会导致更高的计算成本的代价。
- 拓扑结构：从这个角度来看，梁和刚体有相同的地位，但是要假定这些连接铰（在父、子两个体之间）均位于质心的轴上。这个体的参考框架是这样定义的：他的平面恰好和梁的截面（见9.2）是一致的，并通过铰i与上一级结构体h进行连接。
图2总结了与梁有关的各种运动学的物理量。梁由他的自然长度L和很截面积A来进行描述。让s作为梁的质心轴的横坐标，即从点开始（位于梁的根部），在其未变形之前的形状中一直到泛型截面S的平面的距离。一个框架固定在截面S的平面上，面向让垂直的平面，当和主轴的主截面平行。一些特定的截面需要被确定：
- SE，在S=0（）处的根部截面和梁参考框架；
- Si，在处，包含父连接的节点（框架）；
- Sj，在处，包含点和铰（框架）。
图 2 在多体系统中的柔性梁
根据以往的运动学假定，线性化的旋转矩阵被用来描述给定的截面框架关于的方向：
（9.1）
定义，欧拉角绕着1,2和3先后旋转，我们可以写出旋转矩阵关于表达式1.42的线性逼近如下：
（9.2）
特别的，对于截面 和，
（9.3）
（9.4）
在梁没有变形之前，应用关于位置的一个点P，他属于质心轴，并由横坐标s指定：
当梁变形之后，这个点的当前位置矢量为：
（9.5）
在质心轴上的位移由下面这个公式给出：
（9.6）
同样的，参考位置的任意点X的截面S关于点（见图9.2）在变形状态中用下式给出：
（9.7）
在变形后的情况下，这个位置矢量变成了：
（9.8）
可以被写成下面这种形式：
（9.9）
使用9.6和9.2式，位移矢量写作
（9.10）
柔性梁的函数离散化可以通过形状函数
和
分别逼近质心轴上的位移和三个角度表征的截面的旋转挠度。合并成矩阵形式，写成
（9.11）
其中
（9.12）
和
（9.13）
表示坐标的平移变形。
对于角位移，离散化为
（9.14）
其中
（9.15）
和
（9.16）
指示旋转变形坐标。
选择这些形状函数的数目，一般是由用户依赖于应用程序决定的，如果用户选择的是单项式（或者），ROBOTRAN（见章节9.3.5）会使用如下形式的函数
归一化变量为，代表相应的位移，这根梁通过材料和截面进行描述：
- A，截面的表面；
- 杨氏模量，剪切模量和mu;，梁的单位长度的质量；
- ，和分别用于描述主体的第二个时刻的S绕着单位向量和和截面绕质心的极性惯性。
2 运动学
正如5.8.1中所述，在ROBOTRAN中，对多体系统结构的参考配置有一个默认的规定，所有的结构体的框架与惯性坐标系一致，每一个节点的坐标轴和惯性坐标系中的轴一一对齐。
此外，我们假定所有的柔性梁都是在这样一种默认配置中进行构造的。除了和柔性梁有关的计算，我们假定每一个关节的关节向量和以及关节旋转矩阵是在之前就已经预先计算好了的。根据3.1.3，对于铰j我们有：
和当j是棱柱时， （9.17）
和当j是转动副。 （9.18）
当上一级结构体是刚性时 （9.19）
和当上一级结构体是柔性时 （9.20）
在对完整的多体运动学进行计算之前，在给定了变形广义坐标的值和之后，我们需要预先计算和每一个柔性梁i相关联的工程数量。首先，和相关的截面框架的相对角速度矢量可以用线性逼近的方式表示为（见方程1.61）
和
（9.21）
这个矢量的相对时间导数由下式给出
和
图 9.3 柔性梁
在9.5,9.6和9.11的基础上，我们可以表示在框架中的质心轴上任意点P的相对位置矢量以及他的相对时间衍生函数
（9.22）
在当前配置情况下，由关节位置矢量可以直接推算出
和
（9.23）
他关于的相对时间导出式很容易从9.22推导出来：
在这个阶段，所有的部分都按照向前递归的方式被用来计算树状结构的运动学。沿着运动学链，从惯性体0到终端结构。递归计算是我们在章节3.3.2中得到的一种方法（详见[72][83][22]），他作为一个与那些上一级结构体有关的函数，存在于和给定的体有关的一些计算过程中。然后，辅助变量被用于存储相应的递归结果
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