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带有柔性转子的主动电磁轴承系统的识别
摘要：有源电磁轴承（AMB）广泛应用于高速旋转机械，尤其是在特殊环境中。在设计和调整AMB系统时，系统的数学模型起着重要作用。系统识别是有效的获取AMB系统模型方法。本文着重于分析具有柔性转子的AMB系统的方法。基于理论系统模型和测得的频率响应模型，提出的方法估计未知参数并建立AMB的传递函数矩阵模型系统。根据理论模型，本文将系统识别过程分解分成几个步骤，然后按这些步骤依次简化模型。在此过程中，分别标识子模型并最终将它们组合在一起。 在三个AMB系统上的实验验证了该方法的有效性。
1.引言
与传统轴承相比，有源磁轴承（AMB）[1,2]具有一些吸引人的优势，例如没有摩擦，不需要润滑，并且能够长期高速运行。因此，AMB被广泛应用于高速旋转机械，尤其是在特殊环境中。典型的AMB系统包括以下部分：转子，轴承，传感器，功率放大器和控制器。但是，对于每个应用案例，AMB系统都需要专门设计，安装和调整。此过程非常昂贵且耗时。AMB系统数学模型的设计在整个系统的设计和调整中起着重要的作用。从建模的角度来看，柔性转子是AMB系统中最复杂的部分。此处“柔性”一词强调转子的弯曲应被纳入考虑范围。转子模型可以通过数值计算[3]。但是，实际的转子通常是如此复杂，以至于柔性转子和AMB系统的计算模型不够精确。
识别是获取系统模型的有效方法。从控制系统分析的角度来看，配有挠性转子的AMB系统具有一系列特殊功能。首先，众所周知，AMB系统是开环不稳定的。这阻碍了大多数发展成熟的识别方法的应用。其次，挠性转子的内部阻尼非常低，这一事实导致一系列数值计算中的问题。最后，该系统的模型形式是已知的，同时应该估计参数，即，该问题可以视为参数识别问题。已有人研究了AMB系统的模型识别方法。某些研究侧重于确定电磁轴承系统中线性电磁力方程中电流和位置的系数。其余的研究中，研究人员使用频率响应函数间接确定了电流和位置刚度[4]，其中AMB被用作激励器，以考虑整个AMB系统的动态特性。直接修正最小均方（LMS）算法的电流和位置刚度识别方法在[5]中进行了研究。但是，该方法需要测量电磁力。电磁轴承系统的状态空间模型已被一些文献中证实。作为频域子空间识别的扩展方法[6]，子空间系统识别方法以及工具变量方法在[7,8]中，使用频域来识别4*4多输入多输出AMB系统。在[9]中，一个实验性零均值白色创新过程AMB系统的线性模型通过基于预测因子的方法获得具有的子空间识别算法。除上述两个识别对象外，一些文献也对传递函数模型识别进行了研究。例如，电磁轴承系统的传递函数通过使用Matlab的识别工具箱[10]将模型与收集到的数据相匹配得到。在[11]中，模型识别是通过减少在测得的频率响应函数和转子模型的响应之间的差异来完成的。这两篇论文都基于复杂曲线拟合技术[12]。参考文献[13,14]应用了模型更新策略，即有限元。首先建立转子模型，并选择一些有限元参数。这些参数可能会对建模影响很大，并且很难在计算中确定它们。然后根据实验结果识别这些选定的参数。
本文提出了一种带有柔性转子的AMB系统的辨识方法。这种方法在一些大型AMB系统上得到了验证。本文在以下方面与上述文献有所不同：（1）考虑了静态悬浮柔性转子的理论模型。根据理论模型，本文将识别过程分解为几个步骤，并按照这些步骤依次简化了模型。使用该模型的主要优点是识别结果具有特定的物理解释，并且可以直接用于改进理论和/或数值建模方法。相反，在[7-11]中使用的通用的识别方法没有涉及特定的识别模型。另一方面，[13–15]利用转子的有限元模型并根据实验结果更新了模型数据。此过程依赖于初始有限元模型以及该模型中有关不确定性的知识。本文所提出的方法是基于实测数据直接识别系统模型，没有有关转子的信息包含在此过程中。因此，该提案不需要建立和了解有限元模型，适用于复杂转子的情况。 （2）提出的方法主要专注于转子排量和控制指令之间的关系，不需要力传感器。由于在大多数工业应用中都没有力传感器，因此该建议特别适用于这些应用程序，而[2,5]中依赖于力传感器的方法均不适用。（3）大型AMB系统中涉及大功率放大器。这些设备的输出延迟非常普遍但也很重要却被先前的研究所忽略。本文考虑了时延，并在三个大型AMB系统上对提出的方法进行了验证。
本文着重于频域识别。在鉴定实验中，悬挂转子电磁轴承激励转子运动，并通过传感器观察转子位移。然后轴承-转子系统的频率响应模型（FRM）被计算出来。更具体地说，FRM包括一系列频率点{omega;k}lk=1和相应的响应H(jomega;k)，后者以复杂矩阵的形式表示响应的幅度和相位。另一方面，在AMB的控制器设计和评估过程中经常使用传递函数矩阵模型（TFMM）。例如，对于需要TFMM的稳定性余量；对于高级控制算法设计，也必须使用显式TFMM H(s)。 因此，识别的目的是根据测量的结果估计AMB系统的FRM{omega;k, H(jomega;)}lk=1。
在本文中，F（A,B）表示负反馈系统的闭环传递函数矩阵，其中前向路径的特征在于传递函数矩阵A，反馈路径的特征在于B，即
， (1)
式中I是单位矩阵。对于传递函数模型，我们使用的“channel（k1，k2）”指的是频道从输入k2到输出k1，即传递函数矩阵的第（k1; k2）个分量。在本文中，矩阵运算经常使用。有些符号是不言自明的，例如“ sin”和“ang;”是指复数的单元素正弦角和单元素角。符号⊘用于表示以元素为单位的除法，例如，A⊘B的第（k1; k2）个元素是A和B的第（k1; k2）个元素的商，即Ak1; k2 = Bk1; k2。在本文中，带有上标“ M”的术语用于指代获得或计算的数量根据测量带“ I”的项表示通过识别算法估计的参数；在理论上使用没有上标的导数项。我们用符号≊表示两个测量量是理论上等效。但是，由于测量误差，它们在实践中可能会有所不同。考虑到计算复杂性和其他技术原因，有时我们不得不近似一些关系。符号E用于表示理论上近似等效的关系。J ○ J表示Frobenius范数矩阵。
2. 主动磁轴承模型–柔性转子系统
2.1 组建模型
考虑具有如图1所示坐标系的转子。本文重点介绍具有完整功能的AMB系统悬浮转子。本文假设转子的轴向和径向动态特性可以解耦。
图1 转子坐标系
图2 AMB系统排布
此外，本文考虑静态识别，即在识别实验期间，转子不旋转。因此，陀螺效应[3]不参与实验，并且不涉及两个正交径向平面即两个方向的动力学特征。xz平面和yz平面也可以解耦。 在本文中，我们仅考虑转子在一个径向上的动力学模型平面（例如xz平面）。典型的轴承-转子系统在径向平面上的布置如图2所示。
如图2所示，两个径向轴承安装在轴向位置xi;1和xi;2，两个传感器安装在位置eta;1和eta;2。
在柔性转子的动力学分析中，通常将转子视为自由-自由弹性梁[2,16,14]。 在本文中静态悬挂的转子也被视为自由梁。 假设转子的长度为l，表示其自然频率（NFs）为{upsilon;k}，相应的正常模式为{Phi;k (chi;)}。假设将集中力Fxi;施加到通过将拉普拉斯（Laplace）变换应用到转子运动方程的模和表示中，可将转子置于位置xi;弹性梁[17]，转子在位置chi;的频域横向响应为
。 (2)
如果考虑转子的内部阻尼，则模型为
, (3)
其中{zeta;k}是阻尼比。
在本文的以下部分，我们将使用符号表示从集中力Fxi;到位移X(s; chi;)。 例如，表示从轴承2的力到传感器1的位移。此外，应用以下传递函数矩阵：
（4a） （4b）
这些传递函数矩阵具有相同的形式。例如，
（5）
在此表达式中，第一项指的是刚性模式,即;；Ck是2times;2维矩阵。实际上，等式（5）通过项0到N的部分和来近似。
转子模型的形式（5）可分为两部分：刚性部分和柔性部分。为了满足低频，，即，转子表现为刚性转子。因此，项指
刚性部分。在本文中，转子的柔性部分定义为。应用的主要优势是这种形式的柔性部件在识别柔性部件时可以消除刚性部件的影响。
本文利用电磁轴承的线性化模型[1,2]，即电磁力被视为线性关于控制电流和转子位移：
, （6）
其中ki和kx分别是力-电流因数和力-位移因数；i是轴承控制电流，x是转子的横向位移。
本文忽略了功率放大器和传感器的动态特性，因此将它们建模为增益单位。 当控制器的指令确定后，等式（6）可以重写如下：
, (7)
其中kiu表示功率放大器的增益，而uI是从控制器到功率放大器的指令。
在本文中，考虑了转子在径向平面（例如，图1中的xz平面）中的运动，因此模型为轴承，功率放大器和传感器以矩阵形式编写：
，，， （8）
其中kiu,1和kiu,2分别是功率放大器的通道1和2的增益，ks,1和ks,2是传感器的增益，同理依次。
2.2 系统模型
由于AMB系统是开环不稳定的，因此只能执行闭环实验。但是，该模型控制器是已知的，因此通过块变换来计算开环模型并不困难。本文考虑由功率放大器，磁轴承，柔性转子和传感器组成的开环系统。该系统在径向平面上的模型如图3所示。
在本文的以下部分，我们使用术语“开环轴承-转子系统（OLBRS）”来指代该系统。在图3中，电磁力，控制器的指令和传感器的输出是二维矢量，并且所有单位都是（2times;2）维矩阵。图3中的符号不言自明，我们在表1中对其进行了总结。
OLBRS的传递函数矩阵为
。 （9）
图3 磁轴承-柔性转子系统的径向模型方案。
|
表1 图3中的符号 符号 |
含义 |
类型 |
|
UI |
控制器指令 |
矢量信号 |
|
KU |
从控制器的输出到轴承的电磁力的增益 |
常数对角矩阵 |
|
F |
施加到转子的电磁力 |
矢量信号 |
|
RE, ε,Rε, ε |
转子型号 |
传递函数矩阵 |
|
XE,Xε |
传感器增益恒定对角矩阵 |
矢量信号 |
|
KX |
传感器位置和轴承位置的转子位移 |
常数对角矩阵 |
|
KS |
传感器增益 |
常数对角矩阵 |
|
e-tau;S |
系统延迟 |
标量 |
|
US |
传感器输出值 |
矢量信号 |
图3中的反馈是正反馈，是指所谓的“ AMB的负刚度”。 因此，OLBRS是不稳定，即它具有不稳定的极点。 对于通用设计的AMB系统，不稳定极点的频率远取自自由转子第一个弯曲模式的NF.用upsilon;1表示该NF。
2.3 量度和鉴定目的
通过正弦扫频实验和块变换，得到一系列频率点Omega;={omega;1 ，hellip;，omega;l }（升序排列）和相应的响应HM(jomega;k
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