非线性一阶偏微分方程
作者：Lawrence C. Evans
国籍：美国
出处：《Partial Differential Equations, Second Edition》（第3章第1、2、3节）
中文译文：
3.1完整积分、包络
3.2特征
3.3 Hamilton-Jacobi方程简介
3.4守恒定律介绍
3.5问题
3.6参考资料
在本章中，我们研究一般的非线性一阶偏微分形式
其中和是的开子集。
是给定的，是未知的，。
符号。让我们写
对于，，。因此，“”代替梯度变量，而“”代替梯度变量。我们同时假定是光滑的且令
我们关注的是在中探索偏微分方程的解，通常服从边界条件约束
在上，
其中规定是和的某个给定子集：。
非线性一阶偏微分方程出现在各种物理理论中，主要是在动力学(产生典范变换)、连续介质力学(描述质量、动量、能量守恒等)和光学(描述波前)中。尽管强非线性性质通常使我们无法推导出任何简单的解析公式，但值得注意的是，我们常常可以利用估计计算来收集关于解的相对详细的信息。在sect;sect;3.1和3.2中讨论的这种技术通常只是局部的。在sect;sect;3.3和3.4中，我们将对Hamilton-Jacobi方程和守恒律的重要情况，推导出适当定义的弱解的某些全局表示公式。
3.1完全积分，包络
3.1.1完全积分
我们开始分析非线性一阶偏微分方程
通过描述某类简单的解，然后学习如何通过它们构建更复杂的解。
首先假设是一个开集。假设每个参数，我们非线性一阶偏微分方程有解。
符号。我们记
定义。一个函数在中称为完全积分
- 对于每个是方程（1）的解
和
- 。
解释。条件（ii）确保“依赖于所有的个独立参数”。为了看到这一点，假设是开区间的，并且对于每个假设是(1)的一个解。同时假设存在一个映射，这样
即，我们假设函数是“真的只取决于个参数”。然而
.
因此
，
因为对于的每个选择，对应矩阵中至少有两行相等。像
一个类似的论证表明的每个子矩阵的行列式为零，因此该矩阵的秩严格小于。
例1.微分几何中的Clairaut方程是偏微分方程
其中已知。完全积分是
其中
例2.几何光学的eikonal*方程是偏微分方程
一个完整的积分是
其中
例3.力学中的Hamilton-Jacobi方程是偏微分方程的简化形式
其中这里依赖于和。如前所述，我们令并记。一个完整的积分是
其中。
3.1.2.来自包络的新解。
我们接下来演示如何建立更复杂的非线性一阶偏微分方程的解，这些解依赖于一个个变量的任意函数，而不仅仅是个参数。我们将把这些新解构造成完全积分的包络，或者更一般地说，其他参数解族的包络。
定义。设 是的一个函数，其中和是开集。考虑向量方程
- .
假设我们可以解（10）得参数作为的函数，
因此
然后,我们调用
函数的包络线。
通过形成包络，我们可以建立非线性一阶偏微分方程的新解:
定理1（新解的构造）。假设每个如上述解偏微分方程（1）。进一步假设由上述（12）和（13）中定义的包络存在且为一个函数。那么也可解（1）。
上面定义的包络有时称为（1）的奇异积分。
证明。我们有所以对于
，根据（12）.
因此对于每一个，
几何意义是每一个，对于，的图形都与的图形相切。因此对于，在处有。
例4.考虑偏微分方程
- .
一个完整的积分是
.
我们计算
假设。因此是（14）的奇异积分。
为了从一个完整的积分中产生更多的偏微分方程（1）的解，改变上述构造。选择任意开集和任意函数，所以的图像在之内。让我们记
其中
定义。一般积分（取决于）是函数中的包络线
假设是这个包络存在并且是。
换句话说，在计算包络时，我们现在只限制参数的形式为，对于函数的某些显式选择。因此，从一个依赖于个任意常数的完全积分，我们构建(无论上述构造何时起作用)一个依赖于个变量的任意函数的解。
例5.在上述例3中，令，然后
.
我们通过设置计算包络。因为，所以
求解Hamilton-Jacobi方程。
解析。很容易相信，一旦我们能找到依赖于一个任意函数的（1）的解，我们就找到了（1）的所有解。但这不必如此。假设我们的偏微分方程具有
。
如果是的一个完全积分，并且我们成功地找到了与任意函数对应的一般积分，我们仍然会错过的所有解。
3.2.特性
3.2.1.特征ODE的推导。
我们回到基本的非线性一阶偏微分方程
- ，在中，
现在服从边界条件
- 在上，
其中和已知。此后我们假设是光滑函数。
下一步我们发展了特征线法，通过将偏微分方程转化为适当的常微分方程组来求解（1）、（2），这是一个方法，假设解（1）、（2）并固定任意点。我们想计算的方法是找到一些位于内的曲线，将与点连接起来我们可以计算。因为（2）在上表示，我们知道在一端的值。我们希望能够计算曲线上的，尤其是。
求特征ODE。我们如何在中选择一条路径？假设曲线用函数来描述，参数位于某个子区间。假设是(1)的一个解，我们也定义
此外,设置
也就是说，其中
所以表示沿曲线的值并且表示梯度的值。我们必须选择这样一个函数，我们可以计算和。
为此，首先对（5）进行求导：
- .
这个表达式不是很好，因为它涉及到的二阶导数。另一方面，我们也可以求导关于的偏微分方程（1）；
我们可以利用这个恒等式来消去（6）中的二阶导数项，只要我们先设
假设（8）成立，我们在处求出（7），因此由（3），（4）得到恒等式:
将式（8）代入式（6）：
最后我们求导（3）:
第二个等式由（5）和（8）决定。
特征方程。我们将方程（8）-（10）改写为矢量表示形式，从而总结如下:
此外，
这些恒等式适用于。
一阶偏微分方程的重要方程组（11）构成了非线性一阶偏微分方程（1）的特征方程。函数，，被称为特征。我们有时将称为投影特性：它是完整特性在物理区域上的投影”。
我们已经证明：
定理1(特征ODE的结构)。设求解中的非线性一阶偏微分方程（1）。假设求解ODE（11）（c），其中。然后对于那些的，求解ODE（11）（a） 并且求解ODE（11）（b）。
为了使这个定理有用，我们还需要为ODE（11）体系找到合适的初始条件。我们在下面的sect;3.2.3中实现了这一点。
解析。特征常微分方程非常显著，因为只要是一般非线性偏微分方程（1）的光滑解，它们就形成了和的精确方程组。推导过程中的关键步骤是设，因此如上所述，涉及二阶导数的项会消失。因此我们得到了闭包，特别是不必为的二阶导数和高阶导数引入常微分方程。
3.2.2.示例。
在继续研究特征方程（11）之前，我们先考虑一些特殊情况，其中这些方程的结构特别简单。我们还说明了如何在适当的边界条件下，有时实际求解特征常微分方程，从而直接地计算某些一阶偏微分方程的解。
a. F线性。首先考虑我们的偏微分方程（1）是线性的和齐次性的情况，从而具有形式
那么，依此推导
在这种情况下，方程式（11）（c）变成
只涉及函数的一种常微分方程。此外，等式（11）（b）变为
然后方程（12）简化（15），得到
这个常微分方程在是线性的，一旦我们通过解（14）知道函数，
综上，
包括线性一阶偏微分方程（13）的特征方程。（我们将在后面看到，不需要的方程。）
例1.我们通过直接解决问题来证明方程（17）的效用
其中是和的象限。（18）中偏微分方程的形式为（12），其中和。因此公式（17）为
因此我们有
式中。固定一个点，我们选择，使，即。因此
b. F拟线性。偏微分方程（1）是拟线性的，应该有这样的形式
- 。
在这种情况下，，其中
因此，方程（11）（c）记为
和（11）（b）变为
因此
为拟线性一阶偏微分方程（20）的特征方程。（同样，我们不需要的方程）
例2.一般来说，特征常微分方程（21）很难求解，因此我们在本例中给出了半线性偏微分方程边值问题的简单情况：
现在是和的半空间。这里且。然后（21）变为
因此
其中，前提是分母不为零。
设点。我们取和，使；即。然后
.
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