并网双馈感应电机的建模和小信号分析
摘要：本文描述了并网双馈感应电机的建模和小信号模型分析。建立不同条件下的模型并将相互比较（一个或两个质量传动系，是否有定子瞬变）。本文模型由基本的磁链，电压和转矩方程推导而来。运用了特征值和参与因子的分析方法将双馈感应电机的机电特性和相关状态变量联系起来。
关键词：双馈感应电机，非线性动态模型，小信号模型，特征值分析
- 引言
当今世界，对于获得更多风能的旺盛需求导致了对合适的风力发电机的动态模型的急迫要求。对于双馈感应发电机（DFIG）而言，这导致了大量关于其非线性动态模型论文的出现。
由于DFIG的控制设计是我们主要关心的地方。而一个小信号模型可以给出关于DFIG的特性，限制和控制选项的有效信息。故本文给出了并网DFIG的小信号模型分析，导出了系统的非线性动态模型，并展示了它的线性化和特征值分析
第二节给出了DFIG的相位电压方程。在三到四节中，给出了本文所使用的dq变换，并得到了用于稳定性研究的dq模型。在五到七节中，给出了电磁转矩的推导、传动系和变频器模型。在第八节中，建立了潮流方程，完善了系统的数学模型。在第九节中，针对不同的假设集制定了不同的模型。最后，在第十节部分，将模型与特征值分析结果进行比较。
- DFIG在abc坐标系下的方程
本文对正电流，正电压以及正向磁链的约定如图1所示，由于电机工作在发电机模式，正电流从中流出。
图1正电流，正电压，正向磁链的定义
电路中电流产生的自通链的方向与电流的方向相同。变化的磁通所引起的电压的极性将导致产生与变化相反的电流(楞次定律)。
将基尔霍夫电压定律引用于图1可得：
（1）
在[pu]中分别为定子a相电阻，电压，电流和磁链。[rad/sec] 是系统基频，等同同步频率。时间t的单位为[sec]。在公式1，磁链 为：
（2）
其中 是定子a相和转子a相的夹角。 是定子绕组的自感和漏感； 是两个定子绕组的互感；而 为定子和转子绕组互感的峰值。对于其他相的定子和转子，同样能写出相似的方程。
- Abc-dq转化
3.1 变换矩阵
为了更好的控制，三相坐标系要被转换为dq坐标系。在矩阵变换中，有：
(3)
其中 ,而是abc坐标系到dq坐标系的变换矩阵。本文采取功率幅值不变变换，并且d轴领先q轴。(IEEE同步电机推荐[9])。图2为定子abc轴坐标系下的dq坐标系。对应的变换矩阵如(4)所示。
图2定子abc轴坐标系下的dq坐标系
(4)
为正交矩阵，故其逆变换为它的转置。
3.2在dq坐标轴下的DFIG方程
将公式（4）应用于（1）和（2）可得到DFIG在dq坐标轴下的模型
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
在公式（5）到（8）中， 是dq坐标系的转速，而 中 是d轴与定子a相的夹角；而 是转子转速， 。对于同步旋转坐标系， 是同步转速，故在[pu]中 ， 其中s是转差。在公式（9）到（12）中， 且 。
- DFIG的dq坐标方程的稳定性研究
在稳定性研究中，电机通常由一个带有暂态阻抗的电压源来代替。将式(5)-(12)改写为DFIG如图3所示。为此，用(9)-(12)消去(5)-(8)中定子和转子的磁通，定义了以下新变量:
（13）
（14）
（15）
（16）
图3 稳定性研究下的DFIG模型
经过一些替换，DFIG模型在[pu]下变成：
（17）
（18）
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
电磁转矩
DFIG产生的瞬时总有功功率为定子和转子有功功率之和:
(25)
其中和 是 的实部。
而根据 ， ， 还有可得：
(26)
(27)
将（5）-（8）式带入可得：
(28)
前两项对应机器损耗，后四项对应磁通变化的功率。最后四项是气隙功率，即从机械形式转换为电气形式的功率。磁转矩Te由气隙功率除以DFIG转子的机械转速得到。使用(9)-(12)，给出[pu]:
(29)
对 进行加减，得到 在DFIG模型(5)-(12)下的表达式：
(30)
将式(13)-(14)代入式(30)，得到另一个与DFIG模型(17)-(24)使用的Te等效表达式:
(31)
六．传动系模型
6.1 两个质量传动系
如果将涡轮、变速箱、发电机、轴等传动部件建模为等效公轴两端的两个质量 和 ( )，从力学理论可知:
(32)
(33)
(34)
式中 和 为涡轮和发电机惯性， 和 [pu]为涡轮和DFIG转子转速， [pu]为轴转矩:
(35)
式(35)中， 为轴扭转角，K [pu/rad]为轴刚度。而D [pu.s/rad]为阻尼系数。
将(35)代入(32)-(33)，参考 ，得到2传动系质量模型:
(36)
(37)
(38)
其中 在式（31）中给出。
6.2单质量传动系
如果将涡轮、变速箱、轴和发电机集中在一起形成一个等效的热质量 [s]， 摆幅方程对传动系建模[pu]如下:
(39)
其中 在式（31）中给出
七．转换器模型
本文所述DFIG转子与电网连接的变流器由两个PWM电压源逆变器(VSI)组成，由dc-link隔开，如图4所示。电网侧变流器改变其调制指标 以保持直流电压Vdc恒定，运行在单位功率因数下，即只有定子提供所需的无功功率来维持终端电压(定子电压);转子侧变流器注入合适的转子电压，使DFIG转速等于其参考值(确定后，DFIG在机器极限范围内提取最大风量)。变流器被认为是一种无损器件，由于其频率范围远高于电力系统稳定性研究中的频率范围，因此没有对其开关动态进行建模。
图4DFIG转子与网侧之间的背靠背转换器
其中m1与m2为调制指数
在大多数文献中，dc-link电容的动态特性不被提出， 被假设为常数。这里作为验证，dc-电容的微分方程被添加到DFIG模型中。
为此，我们首先建立了PWM-VSI的ac-和dc-变量之间的关系，如图5所示。在实际单位中，我们有[6]:
(40)
其中 [V]为交流线路对中性最大电压，m为调幅比， [V]为直流电压。交流侧和直流侧功率平衡给出如下[VA]:
(41)
其中Irms [A]为交流最大电流， [A]为直流平均电流。将(40)代入(41)得到:
(42)
图5 PWM-VSI以及调幅指数m
在前面的章节中，DFIG方程是用[pu]推导出来的，因此我们对转换器方程采用[pu]表示法，定义为:
(43)
(44)
其中Vdc、Idc在[pu]中， 和 为DFIG的单相基电压、基电流。因此，图4 [pu]中的方程为:
(45)
(46)
(47)
(48)
dc-link电容的微分方程为:
(49)
依照式（45）-（48），（49）可写成：
(50)
由于 以及 ，而 为变压器匝数比（图4），故有：
(51)
如果忽略直流环节电容的动力学(Vdc常数和dVd/dt =0)，则(51)可归结为转子与电网侧有功功率平衡。电流幅值 推导如下。
八与电网的连接
为了完成DFIG并网模型，还需要增加两个代数方程，即DFIG与电网的有功和无功功率交换方程。
8.1dq到DQ的转换
由于电网侧电压与电流均用DQ框架描述而DFIG的变量则在dq坐标系下描述。因此，在写并网DFIG的功率方程式，坐标系的转换需要合理使用。
图7展示了电机dq坐标轴与无限长总线（松弛总线）DQ坐标系的关系，其中 是Q轴与q轴的夹角。由此可见两者坐标系的转化为：
(52)
(53)
图7. 电机dq坐标轴与无限长总线（松弛总线）DQ坐标系的关系
8.2电网侧功率流动
本文采用戴维宁等效对电网进行建模，即无限总线跟一个线路电抗，如图8所示。较大的电网由较小的X值(较高的短路比)建模，反之亦然。由图8可知，[pu]网格绘制的功率为:
(54)
(55)
其中 是DFIG定子电压与无限长总线电压之间的角度。
在更详细的电力系统研究中，电力系统将是由若干总线组成的网络。在这种情况下，(54)和(55)的右侧将由DFIG总线上的潮流 (PFE)给出。
8.3．DFIG侧的功率流动
图8为并网DFIG的潮流图:
(56)
(57)
式(54)-(55)中给出了 和 ;式(26)-(27)给出了 和 ;瞬态通过去电容的功率，通过(51)乘 得到; 是 的虚部; Qr为变压器消耗的无功功率，即:
(58)
(59)
(60)
电流幅值I3推导如下。
图8 DFIG侧的功率流动
8.4电流幅值I3
交流电 由电网与DFIG连接点的基尔霍夫电流定律决定，由图8可得：
（61）
其中：
(62)
(63)
第(54)-(55)段给出了Ptot和Qlot。在(63)中使用了变换(52)-(53)。
9并网DFIG的DAE
9.1数学背景
电力系统的数学模型可以写成一组微分代数方程(DAE):
(64)
(65)
其中x、z、u为状态变量、代数变量和控制输入的列向量;f和g分别是微分方程和代数方程的列向量。
在瞬态研究中，(64)-(65)同时求解。该解给出了时域内的x、z、u，可以计算系统输出:
(66)
其中y为输出的列向量，h为输出代数方程的列向量。
在小信号研究中，(64)-(65)围绕一个工作点线性化，附录中定义的a矩阵的特征值分析允许对系统小信号稳定性进行评估。
在这两个研究中(瞬态和小信号)，第一步都是对系统进行初始化。这分两步完成。首先，将DFIG总线视为PQ或PV总线，在网格端计算负荷流。然后，对得到的解进行初始化，求解(64)-(65)，时间导数项为0，控制输出为其参考值。
9.2研究系统DAE
研究系统如图8所示。参考Q轴与松弛母线电压 对齐。因此，如果将机器q轴与定子电压 对齐，可以简化前几节推导的方程。由于：
(67)
(68)
(69)
式中 为q轴与Q轴夹角， 为DFIG母线与松弛母线电压夹角。
表1总结了不同网格连接DFIG模型在不同假设集合下的DAE。
表1
DFIG在同步旋转dq坐标系与定子电压对齐下的DAE
对于时域的动态仿真，需要将系统和控制输入模型添加到表I的DAE中。其中，系统输入为机械转矩Tm(取决于风速和涡轮特性)，控制输入为转子电压Var和Var(取决于DFIG控制模型)。根据不同的应用程序(如瞬态故障分析)，时间响应比较将表明选择哪个DFIG模型(即哪些假设是可以接受的)。
9.3研究系统初始化
如果提供电压控制，则DFIG总线为PV总线，即在电网中指定了Ptot和Vs，负荷流解给出Qlot和y，图8研究系统的负荷流方程为(54)-(55)。
由于DFIG速度是可控的，所以slip s是可控的输出。因此在稳态时，它等于它的参考值:
(70)
设定值s*取决于指定的功率输出 如下:若 为标准DFIG功率，则速度等于标准速度;当 小于标准DFIG功率时，速度等于一个最优值，这个最优值取决于涡轮Cp的性能特性，从而提取出最大的风电功率;例如:
(71)
另外由于网侧转换器控制着直流电压，故 也是一个受控输出，因此：
(72)
其中V*为常数，由:
(73)
在(73)中， 为转子电压 对应的转子侧变流器调制指数。参考案例中的设计选择。例:为了获得足够的变
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