基于边缘的光滑有限元法（ES-FEM）二维流固耦合问题的动力学分析
摘 要
本文介绍了基于压力位移公式的二维流固耦合问题的动力响应分析的使用三角形单元的基于边缘的光滑有限元方法（ES-FEM-T3）的扩展方法。在提出的方法中，基于与三角形元素的边缘相关联的平滑域，通过梯度平滑技术平滑实心域中的位移和流体域中的压力。由于ES-FEM-T3中使用的梯度平滑技术的软化效果，ES-FEMT3的耦合系统的数值解相较于其它FEM方法获得了显著的提高。
关键词：基于边缘平滑的有限元法（ES-FEM）；平滑有限元法（S-FEM）；流固耦合问题；梯度平滑技术；动态分析
1.简介
由于土木工程中的各种实际应用，受动态载荷影响的二维（2D）流固耦合（FSI）系统的动态响应分析引起了科学界的极大兴趣。可以列出这些FSI问题的典型例子，例如在地震荷载期间大坝和水库之间的相互作用或在动态载荷下流体与容器之间的相互作用等。通常，由于FSI问题具有复杂的多学科性质，很难找到封闭形式的分析解决方案。然而，已经提出了各种数值方法来帮助确定近似解。
解决FSI问题的有效数值方法之一是分区方法，其将流体和固体视为两个分离的计算域，并对每个域应用不同的数值分析。然后引入界面条件作为两个场之间的交互通道。基于这种方式，已经采用了许多数值算法，例如有限元法（FEM），边界元法（BEM）和无网格法。(Wilson and Khalvati, 1983; Chen and Taylor,1990; Brunner et al., 2009; Everstine and Henderson, 2009; Heet al.,2010; Bathe et al., 1995; Wang and Bathe, 1997; Rabczuket al.,2010; Wall and Rabczuk, 2008)。 在流体域的分析中，已经开发了几种流行的有限元配方，例如位移法(Wilson and Khalvati, 1983; Chen and Taylor, 1990)，压力法(Brunner et al., 2009; Everstine and Henderson, 2009; He et al.,2010)或者混合法(Wang et al., 1997)。
对于使用FEM分析二维力学问题，高阶元素的使用有助于直接提高解决方案的性能，但它也使得复杂几何问题的计算成本显着提高。因此，三节点三角形单元（FEMT3）由于其在自动网格重新生成中的简单性和有效性而经常在许多工程应用中被优选。然而，FEM-T3单元导致过高的刚度矩阵导致解决方案的精度差以及与不可压缩材料或弯曲支配相关的问题中的锁定现象。为了克服FEM-T3的这个问题，Liu和Nguyen-Thoi（2010）开发了一系列“软化”模型，即平滑有限元法（S-FEMs），其中无网格法的应变平滑技术（Chen et al., 2001）被纳入标准兼容的FEM。该方法的关键点是通过基于平滑域计算的平滑应变来替换标准相容应变，平滑域可以从FEM的元素网格容易地创建。目前有三种不同的基于相应的平滑域的平滑有限元方法。它们包括基于单元的平滑有限元方法（CS-FEM）基于单元平滑域（Liu et al., 2007a; 2007b; 2009c;2010a; Dai et al., 2007; Nguyen-Thoi et al., 2007）,基于结点的平滑有限元方法（NS-FEM）基于结点平滑域（Liu et al., 2009a; Nguyen-Thoi et al., 2009a;2010a）,和基于边缘的平滑有限元方法（ES-FEM）基于边缘平滑域(Liu et al., 2009a)。在S-FEM模型中，通过可包含相邻元素信息的平滑域来评估弱形式和局部计算。该技术仅通过线性插值可以产生接近精确的刚度，因此从S-FEM模型获得的解决方案显示出期望的精度和良好的收敛性，而没有更多的计算成本。每个S-FEM模型都展现出不同的理想特性，可以帮助S-FEM模型在各种力学问题（如板材和壳体）中的应用多样化(Phung-Van et al., 2013a; Nguyen-Thoi et al., 2012; 2013a; 2013b; 2013c; Thai et al., 2012; Luong-Van et al., 2013), 压电 (Phung-Van et al., 2013b), 断裂力学(Liu et al., 2010b), 和流固相互作用(Nguyen-Thoi et al., 2014),等。
在提到的S-FEM模型中，ES-FEM-T3 (Liu et al., 2009a)采用了三角形单元在二维固体力学问题的分析中表现出优异的性能，例如超收敛，高精度，无伪非零能量模式 ，动态分析的稳定性和高计算效率。然后使用四面体单元将ES-FEM扩展到三维（3D）问题，以给出基于面的光滑有限元方法（FS-FEM-T4）（Nguyen-Thoi et al.,2009c）和各种应用例如粘弹塑性分析（Nguyen-Thoi et al.,2009b），n面多边形元素（Nguyen-Thoi et al.,2010b），2D压电（Nguyen-Xuan et al., 2009a）和板（Nguyen-Xuan et al., 2009b; 2012）。
根据这一趋势，本文进一步将ES-FEM-T3的应用扩展到基于压力 - 位移公式的2D FSI问题的动态响应分析。在所提出的方法中，基于与三角形元素的边缘相关联的平滑域，通过梯度平滑技术平滑实心域中的位移和流体域中的压力。 将执行两个数值示例来说明所提出的耦合方法的效率。
2.用于分析2D FSI的控制方程系统
通常，FSI问题可由三个主要部分说明，通常，FSI问题可以通过如图1所示的三个主要组件来说明，其包括固体域，流体域，以及由限定的流体和固体域之间的界面边界。在流体域上，存在两个边界条件，包括经受规定压力的外流体压力边界，以及经受规定的常压梯度的常压边界。在实体域上，存在两个边界条件，包括经受规定位移的Neumann边界和经受规定力矢量的Dirichlet边界。
图 1.FSI问题的2D模型
对于目前的FSI系统，固体通过受到小变形的连续体的运动的微分方程来建模，而流体通过具有小的平移的波动方程建模并且被假定为无旋转和无粘性。 此外，界面耦合条件用于确保固体区域和流体区域之间的相容的位移和压力平衡。 一般而言，本FSI系统的控制方程和边界条件可由(Carlsson, 1992):
在固体域： （1） 在流体域： （2）
在界面边界上 （3）
其中，对于流体域是动态压力; 是每单位体积增加的流体质量; 是声音的速度；和；对于固体域，是应力矢量；是位移矢量；是体力矢量；是材料密度； 是从流体边界向外指向的边界法向量；是2D对称微分算子，是从由以下定义的实体边界向外指向的边界法线矩阵：
（4）
此外，在实体中，运动学关系（位移矢量和应变之间）和胡克定律（应力和应变之间）分别由下式给出：
和 （5）
其中， (3 times;3)是材料常数的对称正定（SPD）矩阵。
3.流体-固体相互作用问题的ES-FEM
3.1流体域有限元简介(Carlsson, 1992)
设为与压力场p相关的测试函数，对应于等式（2）中第一项的弱形式。可以通过通常的测试函数方法获得：
（6）
通过在第二项上使用格林 - 高斯定理，在方程式（6）中使用弱形式。转变为：
（7）
现在，通过将流体域离散化为三节点三角形单元和节点的网格，我们可以以下列形式近似压力场和测试权重函数：
（8）
其中，是包含节点压力值的向量; 是包含节点选择的测试值的向量; 是包含节点有限元形状函数的向量。
用等式（8）中的近似值和代入弱形式（7）中，然后将流体域的有限元公式写成：
（9）
或者矩阵形式：
（10）
其中，
；
； （11）
3.2关于实体域有限元的简要介绍(Carlsson, 1992)
设为与固体位移场相关的测试函数，通过通常的测试函数方法获得对应于方程式（1）中第一项的弱形式：
（12）
通过使用格林 - 高斯定理和替代方程（5）的第二项，方程式（12）中的弱形式转变为：
（13）
现在，通过将实体域离散化为三节点三角形元素和节点的网格，我们可以以下列形式近似位移场和测试权重函数：
（14）
其中，是包含节点位移值的向量; 是包含节点选择的测试值的向量; 和是包含节点有限元形状函数的向量。
用等式代替和变成弱形式（13），然后将固体域的有限元公式写成：
（15）
或者矩阵形式：
（16）
其中，
（17）
3.3耦合流体-固体系统的有限元法(Carlsson,1992)
为了保持固体和流体之间界面的相容性和连续性条件，流体颗粒和固体在边界法线方向上的运动应该是相同的。 为了表达这些条件，我们现在引入向量，该向量是指向实体区域的法向量，并以下列形式表示两个场的位移的连性：
或者 在 （18）
和以下形式的压力的连续性：
（19）
其中，是流体颗粒的位移。
基于方程（19）我们现在可以用流体压力矢量表示方程（17）中的力矢量：
（20）
在流体域内，交互行为通过等式（10）中的力项fs表示。通过使用流体域中的压力和加速度之间的关系：
（21）
和等式（18）中的边界条件，我们可以通过以下形式表达条件：
（22）
然后，作用于方程式（10）中的流体的力项，可以用结构加速度来描述：
（23）
让我们引入空间耦合矩阵：
（24）
我们现在可以以简化形式重写方程式（20）中的耦合力和方程式（23）中的：
和 （25）
耦合流固耦合问题可以用不对称矩阵表达式表示为：
（26）
3.4使用三角形单元的基于边缘的光滑有限元法（ES-FEM-T3）
基本上，ES-FEM-T3使用三角形元素继承了FEM-T3的所有基本属性，包括三角形网格离散化，线性节点形状函数和整个问题域上的连续近似场（位移或压力）。然而，与通过元素计算局部刚度矩阵的标准FEM-T3不同，ES-FEM-T3应用梯度平滑技术(Chen et al., 2001) 基于平滑单元通过将边缘的两个端点连接到连续的质心来创建的如图2所示平滑单元来计算边缘上的局部刚度矩阵
3.4.1耦合流体-固体系统中流体域的ES-FEM-T3
基于在标准FEM-T3中生成的三角形离散化，通过将边缘k的两个端点与共享边缘k的连续三角形的质心连接来创建ES-FEM-T3中的平滑单元。在这种方式中，流体域可以进一步划分为个平滑单元，使得 ，其中有限元网格的总数在哪里。 现在通过使用梯度平滑技术（Chen et al。，2001），方程式（9）中的压力梯度可用于定义平滑单元上的平滑压力梯度，如下所示：
（27）
其中，是给定的平滑函数，它至少满足统一性。 通常，在ES-FEM中使用以下适合该属性的Heaviside常数平滑函数
（28）
其中，是平滑单元的面积。
接下来，通过应用散度理论，我们在域上获得恒定的平滑压力梯度，如下所示：
（29）
其中，是包含公共边k的元素的节点总数（对于边界边，对于内边j界，如图2所示），并且在平滑单元上表示为平滑的压力梯度矩阵，
（30）
及其项目的计算方法是：lt;
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资料编号：[2204]
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