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指定路径下工业机器人的光滑最优轨迹规划
D. Constantinescu，* EA Croft工业自动化实验室机械工程系，英国哥伦比亚大学，温哥华，英国哥伦比亚省，加拿大V6T 1Z4电子邮件：daniela @ mech.ubc.ca
本文提出了一种确定机器人光滑时间最优轨迹约束的方法，并通过仿真和实验研究了这些轨迹的执行。通过对扭矩率的限制来实现期望的光滑度。路径参数相对于时间的三阶导数（伪跳动）是受控输入量。执行器扭矩的极限转化为与状态有关的伪加速度极限。执行器扭矩的限制转化成了伪加速度的状态相关极限。利用三次样条函数对状态空间轨迹进行参数化，将时间最优控制目标转化为一个优化问题。优化问题采用柔性公差法求解。实验结果表明，所设计的光滑轨迹提供了优越可行的时间最优运动。
1 引言
考虑到驱动器扭矩限制的情况下，在路径跟踪工业机器人应用中有着提高生产率的需求，在文献中这些已经通过确定路径约束时间最优运动（PCTOM）得到了充分解决。在构想中，关节驱动器扭矩是受控输入和开环控制，导致了继电控制和简易继电控制。
路径约束时间最优运动遵循规定路径，能计算出机器人尖端可达到的最大速度。然而，在物理机械手中实现路径约束时间最优运动存在缺陷。例如，由于关节刚度有限会引起关节振荡；由于未建模的驱动器动力学引起的标称扭矩极限的超调。机器人执行器上产生的额外应力可能导致其频繁失效，降低整个工作单元的生产率。
在轨迹规划层面，设计了许多不同的技术来解决不连续驱动器的扭矩问题。时间-关节力矩函数或时间的平方-关节力矩函数等修正的成本函数以牺牲运动时间为代价，可用于平滑控制和提高跟踪精度。
平滑控制的另一种方法是使用至少为 C2 连续的函数（即持续加速）对路径进行参数化。随着时间的推移，三次样条函数作为成本函数可用于路径参数化，导致具有持续关节加速度的轨迹。然而，关节变量的限制非常保守，因为它们在整个工作空间内保持不变。在这些问题的构想中，合并驱动器动力学将致动器电压转换为了有限受控输入。最优控制是一种全新的继电控制，驱动器的扭矩也不再受限。同时，单一控制的情况可以不在考虑范围内，因为这些可以通过适当的路径选择来避免，或通过凸化可允许的控制集来实现。
本文提出了一种确定执行器力矩和一阶导数（力矩率）限制的时间最优路径约束运动的方法。不考虑扭矩速率的限制，由此产生的轨迹将被称为平滑路径约束的时间最优运动（SPCTOM），与路径约束的时间最优运动（PCTOM）区分开来。
考虑到扭矩的无限变化可导致手臂的高度抖动和严重振动，从而可能导致驱动器本身失效，因此施加驱动器扭矩速率限制。而且，它们可作为补偿机器人模型中结构灵活性和不准确性的手段。这是工业应用中的一个理想特性，但是在工业应用中，机器人模型并不容易获得。因此，平滑路径约束的时间最优运动（SPCTOM）的好处是它们可以更好地描述了机器人系统的动态限制。因此，其能在商业机器人上直接实现，适用于非专业工业控制器。
这里没有解决机器人运动的几何限制，如障碍物和关节的限制。因为运动是路径约束，即这里只考虑轨迹规划问题。路径可以由应用程序自身决定，也可以按照参考文献中的时间最优路径确定。假设期望的路径是光滑的，利用样条曲线生成初始猜测，并通过无约束参数优化找到最优路径。成本函数由路径上的运动时间加上对应于障碍物和关节极限的惩罚项组成。
2 光滑路径约束时间最优运动
2.1 问题构成
平滑路径约束的时间最优运动（SPCTOM）问题可以表述为 (1)
受机器人动力学制约 (2)
边界条件
(3)
路径约束 (4)
驱动器扭矩限值 (5)
驱动器扭矩速率极限 (6)
其中 n 是操纵器的自由度数。此外，是关节位置的向量，是驱动器扭矩的向量，是扭矩率的矢量，是机械手的惯性矩阵，是代表离心力和科里奥利力系数的三阶张量，是重力项的向量，是由 s 参数化的 C1 连续曲线，例如弧长。为了简化动力学，我们忽略了粘性和静摩擦项。然而，如第 5 节实验所示，施加适当的扭矩速率限值可补偿这些和其他模型的不准确度。
在上述公式中，扭矩率代表有界控制。由于机器人动力学的拉格朗日形式只考虑了执行器力矩，因此三阶动力学也得被考虑在内。(2）在时间方面的差异导致 (7)
方程 7 被视为 B 系统的动力学，其中 T 代表 n 维边界控制
2.2 路径约束
方程7描述的动力系统的自由度为 3n。然而，路径约束7通过一个简单的参数s参数化了末端执行器尖端位置，将系统的顺序降低至 3。
为了获得降阶系统的扭矩率界限，联合抖动计算如下（8）
（9）
（10）
r 为末端执行器位置和方向，J是正向运动学图的雅可比矩阵，表示导数。
（11）
其中 （12）
（13）
（14）
（15）
矩阵dM/ds和dG/ds和三阶张量dC/ds取决于机器人。如第 2.3 节所示，扭矩率界限为机器人的允许状态提供了约束。然而，在参考文献中推导出的扭矩范围是需要3和11的。由于扭矩率界限变得非常大，扭矩界限成为极限约束。对于无限的扭矩率，问题又返回到了路径约束的时间最优运动（PCTOM）。
（16）
其中（17）
（18）
（19）
2.3 扭矩限值
如参考文献中3所述，对于路径参数 s的每个值，致动器扭矩范围（16）转化为了平面的多边形可行域。3 自由度机械手的这样一个区域示意图如图 1 所示。从分析角度，致动器扭矩界限转化为伪速度和伪加速度的限值：
（20）
（21）
下标 T 用于判别由于参数引起的伪速和伪加速度界。扭矩限制为 （16）（由于扭矩）。速率约束 （11），将用下标 J 表示。
如图平面的曲线被叫做速度极限曲线（VLC），它代表该平面中任何可行轨迹的上界。参考文献计算了由于执行器扭矩限制引起的伪速度和伪加速度约束。
2.4扭矩速率限值
由于扭矩速率极限，可以使用类似的方法确定伪速度、伪加速度和伪跳动边界。因此，对于路径参数的给定值s以及伪速度。扭矩率限值（11）形成平面的多边形的有效区域。（如图 2 所示的 3 自由度示意图所示。）从分析角度，平面的扭矩率界限转化为了伪加速度和伪跳动极限。
（22）
（23）
空间中拟速度的一个约束
（24）
（25）
计算后，伪加速和伪加速限值结果为
（26） i=1hellip;n
(27) i=1hellip;n
(28) i=1hellip;n
(29) i=1hellip;n
并且可以通过数值搜索计算出伪速度极限.
2.5 可信状态
在本文提出的 SPCTOM 问题的公式中，施加扭矩速率极限是一种调整轨迹平滑度的手段。因此，它们与致动器扭矩限值无关。这种独立性反映在状态空间中，如图 3 所示。在这张图中，执行器的扭矩和扭矩率约束为 SCORBOT ER VII 机器人的前三个关节。对于表 II 中的三个扭矩率极限示例，图 6、表 I 一起绘制在状态空间中。
驱动器扭矩和扭矩率限制的这种独立性反映在对伪速度的新约束中
（30）
关于伪加速度的一个新的约束条件
（31）
等式30定义了全局速度极限曲线，称为平滑运动速度极限曲线。在平面上，SMVLC是任何可行轨迹的上限。SMVLC可以通过使用二分法的线搜索在路径上的每个点。（计算搜索域是从0到）。
SMVLC对应于表 II 中的三个示例。如本图所示，通过组合致动器扭矩和扭矩速率限值确定 SMVLC。
根据扭矩速率极限的限制，它们可以几乎完全确定SMVLC，如第三个示例所示这对其影响不大，如第一个示例所示。
2.6系统动力学
还原系统的状态为。将 SPCTOM 规划问题重新表述为
（32）
受系统动力学制约
（33）
边界条件
（34）
这个再形成显示了 SPCTOM问题是一类具有非线性状态和控制不等式约束的一阶线性系统的时间最优控制 TOC 问题。此外，等式23、30、31强调状态约束和控制约束是独立活动的，由于控制仅受到扭矩率的限制，所以状态受到扭矩率和致动器扭矩的限制。
3 SPCTOM 问题的解决方案
类似于上述 SPCTOM 的 TOC 问题通过应用 Pontryiagin s 解决。最大原理 PMP 推导出最优性的必要条件，然后用多种发射方法求解得到的两点。边值问题 TPBVP 的解决或通过搜索切换点，或采用动态规划 11 或特定算法。在本方案中，在采用这些办法方面时出现了两个困难。首先，动态规划算法的复杂度随着相空间维数的增加而呈指数增长，使得该方法在二维以上不可行。根据定义，SPCTOM 问题有一个三维相空间。第二，基于 PMP 的另两种方法及其研究。开关点取决于最优控制的继电控制或简易继电控制。与状态相关控制约束系统有关的最优控制理论的结果证明了这个结论。然而，对于具有状态约束和控制约束的独立活动系统，关于必要的最优性条件，使用 OCT 没有得到证明。因此，对于 SPCTOM 问题，不能保证最优控制是继电控制 或 简易继电控制。
为了解决这些困难，本文对平面SPCTOM 弹道规划问题进行了分析和求解。动机是在这个 B 平面上两个轨迹端点是固定的，而在时域上最后的点是自由的。因此，TOC 问题本身需要在这个相平面上进行非线性参数优化。运动时间计算如下
（35）
s0 sf分别是路径参数的初始值和最终值
因此，相平面上的 SPCTOM 是光滑的曲线，在不违反致动器扭矩和扭矩率极限的情况下，使曲线上的 t（s） 最小化。
鉴于上述情况，最佳的运动是由一个基本轨迹的优化决定的。选择一组具有预选节点位置的三次样条曲线作为优化的基本轨迹。选择三次多项式来逼近SPCTOM，因为它们是导致平滑曲线处处连续可微的最低次多项式。已选择沿着路径的结点位置与PCTOM 的切换点位置相同，见图 5。由于 PCTOM 代表 SPCTOM 的限值，这些切换点在限值中与 SPCTOM 相同，并提供 SPCTOM 切换点沿着参数化路径的合理估计。可以考虑选择额外的结点；但是，PCTOM 轨迹切换点的数量可能很多，增加额外的结点将显著增加优化变量的数量。因此，只有当相应 PCTOM 轨迹有一个单一切换点时，才会插入额外的结点。在这种情况下，计算时间的增加可以忽略不计，而轨迹参数化只有两个样条函数可能是不充分的。
仿真结果也印证了该策略，仿真结果表明，对于有 5 个切换点的轨迹，加倍节数可以使 SPCTOM 运动时间提高约 36%, 对于只有一个切换点的轨迹，加倍节数可以使 SPCTOM 运动时间提高 10%-17%。运动时间减少幅度较大的是具有较大急动的轨迹。
优化的变量是沿路径预选节点处的端点伪速度和路径终点处相平面内轨迹的斜率。这些变量控制运动时间：整个轨迹上的结点越高（在相平面上），运动时间越短。另一方面，末端斜率控制执行器扭矩离开或接近其静态平衡值时的速度。因此，斜率越大，运动越快。因此，将优化变量向量 x 定义为参数集，对应于其中具有索引 m 的值。
（36）
对应于图 5 中的限制点对应虚线，而其他值对应样条线。对这些变量进行归一化，因为末端斜率的变化范围比伪速度的变化范围大得多。基于 参数 x*的 相平面三次多项式的最优轨迹，轨迹必须在致动器扭矩和扭矩率限值范围内，并需在最短时间完成。
（37）
（38）
（39）
（40）
i=1, ... , n
根据该定义，当任何致动器扭矩和扭矩率超过其限值时，相应的约束变为负值。此外，通过直接执行执行器扭矩和扭矩率约束，而不是状态和控制约束，大大简化了计算。
根据公式需使用柔性公差方法 FTM 解决优化问题。选择这种方法有两个原因。首先，约束和代价函数的导数，即运动时间是不可用的。其次，FTM 保持搜索接近接纳的边界，就可以找到边界上的最小值。在附录中讨论了 FTM 的详细信息，在参考文献中给出了解决 SPCTOM 问题的进一步详细信息。
4. 模拟
英国哥伦比亚大学的理科实验室在MATLAB中实现了确定最优 SPCTOM 的方法，并在考虑工业中 SCORBOT ER VII 机器人的位置后进行了模拟。机器人是一个肘部机械手，因此，对于在这里进行的模拟，其 DH 参数和估计的质量和惯量如表1所示。
本文中所有三个例子的致动器扭矩限值相同，而扭矩率限值不同，如表 II 所示。
4.1计划性能
为了确定轨迹平滑度对运动时间的影响，选择机器人工作空间中的一条直线作为预定路径。在参数形式中，路径表示为
x(s)=0.4
y(s)=0.3s-0.1 (41)
z(s)=0.2s 0.3
s=0hellip;1
图 7、8 和 9 分别以实线表示扭矩率不同限值的最佳轨迹。虚线代表仅考虑扭矩限制的时间最优轨迹(PCTOM)。虚线是考虑扭矩和扭矩速率极限确定的光滑的运动速度极限曲线。即速度极限曲线(SMVLC)。相应的致动器扭矩和扭矩率也绘制在这些图中。
在第一个例子中，PCTOM 为 0.59s，SPCTOM 为 0.7s。在这里，扭矩率的限制非常高，不可行。所以轨迹由致动器扭矩的限制决定。在理想情况下，两个轨迹应产生
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资料编号：[1960]
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