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拓扑序以及量子自旋霍尔效应
C.L. Kane and E.J. Mele
Department of Physics and Astronomy, University of Pennsylvania, Philadelphia, Pennsylvania 19104, USA
(Received 22 June 2005; published 28 September 2005)
摘要：
量子自旋霍尔（QSH）相是一个具有较大电子带隙的时间反演不变电子态，支持电荷和自旋在无隙边缘态的传输。我们证明了这一相区别于普通的绝缘体，与一个新的拓扑不变量有关。分类是为时间反转不变哈密顿量定义的，与量子霍尔效应的Chern数分类类似。我们建立了石墨烯双带模型中QSH相的序，并给出了适用于多波段和相互作用系统的形式
根据拓扑不变量对电子状态进行分类是理解许多具有体能隙的体相的有力工具。这种方法由Thouless、Kohmoto、Nightingale和den Nijs[1]（TKNN）首创，他们确定了非干涉整数量子霍尔效应的拓扑不变量。TKNN整数n给出了每个频带的量化霍尔导电率，由磁布里渊区上布洛赫波函数的积分给出，并对应于环面上U(1)主纤维束的第一陈类 [2,3]。基于多体基态对相位扭曲周期边界条件的敏感性可推广到相互作用系统的等效公式 [4,5]。这种拓扑分类将简单绝缘体与量子霍尔态区分开来，并解释了霍尔导电性对弱无序和弱相互作用的不敏感性。非零TKNN整数也与样本边界上存在的无间隙边缘状态密切相关[6]。
由于霍尔电导率违反了时间反转(T)对称性，所以TKNN整数必须在T不变系统中消失。但我们最近已经证明石墨烯单平面中的自旋轨道相互作用会导致了一个T不变的量子自旋霍尔(QSH)态，它有一个体积能隙并且在边界上有一对无间隙自旋滤波边态[7]。在我们模型的最简单版本中(平面镜像对称的pi;-电子紧束缚模型)自旋的垂直分量是守恒的。然后我们将Haldane[8]引入的模型的每个自旋简化为独立的单位，即使平均磁场为零该模型也会展现出一个整数量子霍尔效应。当守恒时石墨烯和简单绝缘体之间的区别就很容易理解了，每个自旋都有一个独立的TKNN整数 ，，T对称性要求但之差不为零，并定义了量子化自旋的霍尔导电率。
当存在非守恒项时这个特征会被破坏，这些项由于与其它能带的耦合、镜像对称的破缺、相互作用或无序会不可避免地出现。尽管这些扰动破坏了自旋霍尔电导的量子化，但我们认为它们不会破坏QSH状态的拓扑阶，因为Kramers定理阻止T不变的扰动在边缘打开一个能隙[7]。因此即使单个定义的TKNN数（总霍尔电导）为零QSH基态也可与简单绝缘体的基态区分开来，这说明对于T不变系统必须有一个额外的拓扑分类。
在这篇文章中我们描述了QSH相并引入了表征T不变系统的拓扑指标。这一分类与TKNN分类相似，并在布洛赫能带给出了一个简单的试验来区分绝缘体和QSH相。它也可以表示为对相扭曲边界条件的敏感度。我们将首先描述我们的石墨烯模型，并证明即使在不守恒的情况下QSH相也是稳定的，然后分析T不变性的约束条件导出指标。
考虑参考文献[7]中介绍的石墨烯的紧束缚模型哈密顿量，它将Haldane的模型[8]归纳为包含自旋和T不变的自旋轨道相互作用。
(1)
第一项是蜂窝状晶格上最近邻跳跃项，我们抑制了电子算符上的自旋指数。第二项是镜像对称自旋轨道相互作用，涉及自旋相关的第二近邻跳跃。这里，而和则是电子从j点横穿到i点两条带上的单位向量，是描述电子自旋的泡利矩阵。第三项是最近邻Rashba项，这一项明显违反了z→-z的镜面对称，由垂直电场或与基板的相互作用而产生。第四项是我们包括描述QSH相和简单绝缘体之间的转变交错子晶格势（），这一项违反了平面内双重旋转下的对称性。
将量子态写作可以使H对角化，这里s是自旋而是由原始向量构成的布拉格子的格矢量，是亚晶格指标且。对于每一个k布洛赫波函数都是布洛赫哈密顿矩阵ℋ(k)的一个四分量本征矢。ℋ(k)的16个分量可以用单位矩阵、5个Dirac矩阵及其10个交换子共同组成[9]。我们选择Dirac矩阵的如下表象：，其中为泡利矩阵代表亚格子和自旋指标。这个表象是根据T算符来的，T算符由给出。五个狄拉克矩阵在T变换下是偶算符，是个交换子都是奇算符。所以哈密顿量写为
(2)
其中在表1中给出。对于哈密顿量有，G为倒格矢，所以定义在一个圆环上。的T不变性反映在变换下的（）的对称性（或反对称性）上。
方程(2)给出了四个能带其中两个被占据。当时存在一个大小为的能隙。对于的情形，能隙由决定，并且此时系统为绝缘体。而则描述了QSH相。尽管Rashba项违反Sz守恒，当时图1的相图中有一个有限区域在处与QSH相绝热连接。图1显示了通过求解锯齿形条带几何结构[7]中的晶格模型获得的能带，用于绝缘和QSH相中的代表点。这两个相都有一个体积能隙和边缘态，但在QSH相中边缘态成对穿过能隙。在两个相之间的过渡区域能隙闭合，允许边缘状态“切换伙伴”。
边缘态的行为说明了两种相之间存在明显的差异。在QSH相位中，对于体积间隙中的每一个能量在每一个边缘上都有一对时间反转的本征态。由于T对称性阻止了克莱默的双重态的混合这些边缘态对小扰动具有鲁棒性。因此即使空间对称性进一步降低（例如，通过去除（1）中的旋转对称性）无间隙状态仍然存在。此外因为单粒子弹性背向散射是被禁止的[7]弱无序不会导致边缘态的局域化。
表1. 公式(2)中的非零系数，其中，
在绝缘状态下边缘态不穿过间隙。对于某些边缘电位，图1（b）中的边缘状态可能会下降到能带边缘以下从而减小甚至消除边缘间隙。然而这仍然不同于QSH相因为在每一个能量上必然会有偶数个Kramers对。这中状态允许弹性背向散射，因此这些边缘状态通常会被弱无序局部化，因此通过边缘状态对模等于2的数目可以将QSH相位与简单绝缘体区分开来。在最近已经发表的自旋霍尔绝缘体模型[11]的二维版本[10]中该模型在高度空间对称条件下显示出无间隙边缘状态。然而这些模型有偶数个边缘状态对，下面我们将看到它们在拓扑上等价于简单的绝缘体。
QSH相一般不具有量子化自旋霍尔导电性的特征。考虑圆周为L的圆柱对边处的自旋积累率，可以用劳克林的论点计算得出[12]。将磁通沿径向穿过圆柱时可以感应到阿威克环向电场。当通量增加h/e时每个动量本征态都会移动一个单位：。在绝缘状态下[如图1（b）]这并不会带来任何影响因为价带是全满的,然而在QSH状态下费米能会产生一个粒子空穴激发。由于粒子和空穴的状态不具有相同的自旋，自旋会在边缘处累积。自旋累积速率定义了自旋霍尔电导，其中
(3)
这里的期望值是在下对左右移动的状态进行计算的。由于边缘状态不一定是本征态所以这种自旋霍尔电导不是量子化的。若在边缘态的间隙内那么在绝缘相中是零，绝缘体中的边缘态交叉于时系统的边缘处可能存在自旋积累（由边缘电子响应e的加速度引起），但如果边缘状态是局域化的则不会有自旋积累。因此非零自旋积累只存在于QSH相，证明了量子（而不是量子化）自旋霍尔效应这一术语的合理性。
在量子霍尔效应中电荷的极化可以区分零磁通和单磁通量子穿过圆柱的状态，这两种状态不能由任何局部电荷守恒的算符连接。在QSH效应中没有简单的守恒量可以用来区分这两种状态。当然这些状态是可以被区分的，因为边缘粒子孔激发的状态在处不能用局部T对称算符连接到基态。但如果添加了第二个磁通量后系统将存在T不变的交互作用，这便将这些状态与零磁通量状态连接起来了，这表明增加一个磁通量的状态是以 “T极化”来区分的。
图1. (a)为一维“zigzag”型带的能带图。QSH相而(b)中的绝缘相。两种情况中，。给定边界态在处交叉。插图显示了相图时作为和的函数
根据劳克林的论点，柱面上量子霍尔态的分类与布洛赫波函数的TKNN分类密切相关[4]。为了建立T不变系统的相应拓扑分类，我们考虑两个T约束下被占据的能带的布洛赫波函数。在布里渊环面上形成一个2级矢量束。T引入了一个圆环上的线形对识别出k点和-k点的对，所识别的点上的波函数与有关这说明矢量束是“真实的”。因为，的周期为4所以实际束是“扭曲的”，这些束在扭曲区域的数学框架内由 Real K理论分类[13]。研究发现这种束在环面上具有分类[14]，第一个整数给出包的等级（即占据带的数量），指标与实际Dirac运算符的mod 2指标相关[15]。下面我们将从布洛赫波函数中显式地构造指数并表明它区分了QSH相和简单绝缘体。
T对称性区分了布洛赫哈密顿量(k)空间的两个重要子空间和相应的占空带波函数，U(2)旋转的“偶数”子空间中等价于。从等式(2)可以清楚地看出在这个子空间中。T对称性要求H(k)在点并且图2(a)和2(b)中所示的3M点处属于偶数子空间。奇子空间具有波函数的性质即所跨越的空间与所跨越的空间是正交的,我们将通过研究属于奇数子空间的k集来建立分类。
特殊子空间可以通过考虑重叠矩阵来区分。从的性质可以清楚地看到该矩阵是反对称的，可以用单个复数表示为。实际上等于Pfaffian
(4)
对于一个反对称矩阵简单地选择了，下面我们将看到当有两个以上的占据带时Pfaffian是自然泛化的，不是规范不变量。在U(2)变换下，，因此P在U(1)变换，的SU(2)旋转下是不变的。根据U(2)旋转在偶数子空间中等价于，我们有，在奇数子空间中。
如果没有空间对称性约束其形式则通过调整两个参数来找到的零点，通常出现在布里渊区中的点上。一阶零出现在具有相反“涡度”的点的时间反转对上，其中的相位沿的相反方向前进。对于 QSH相与简单绝缘体的区别在于存在一对一阶零，我们模型的旋转对称性将限制在布里渊区的角落如图2(a)所示，如果对称性松弛可以出现在除了的四个对称点之外的任何地方。零模对的数目是拓扑不变量这可以通过两对在时可以聚在一起互相湮灭来观察，然而一对零模只能在在的或M处相遇可以湮灭，而处不能湮灭。如果T对称性被破坏则零模不再被阻止湮灭并且QSH相的拓扑区别也将丢失。
图2. QSH中的零出现在的点，(a)中且(b)中。(c) 在QSH相（实线）和绝缘相（虚线）中对于的单元使用图1的参数。(d)点（）线（），的单元的零。在(a)(b)和(d)中实心点是T对称点，不能是P的零，C是方程5中的积分路径。
因此指标可以通过计算P的复零对的数目来确定，通过计算围绕半个布里渊区的环路的相位来实现（因此和永远不会同时包括在内）。
(5)
其中C是图2(a)、2(b)中显示的路径。
当（类似于石墨烯中的情形）H具有旋转对称性时，它与T结合时约束(k)的形式并允许被选择为实数。然后的零沿着直线出现而不是出现在点上，我们发现如图2(b)所示将M点封闭在QSH相中，绝缘相中没有零。只要我们包括收敛因子，在这种情况下等式(4)也决定了指数（由1/2给出即符号沿着路径C的变化数），注意虽然的符号取决于的符号但 mod 2不是。因此我们得出结论QSH相和绝缘体是由指数区分的。
参考文献[10,11]中研究的自旋霍尔绝缘体模型是简单的绝缘体，当用式(2)表示时它们的哈密顿量为，因此在偶数子空间中且对于所有的k都有。参考文献[16]介绍了一个模型该模型确实显示出QSH效应。
在建立了布洛赫波函数的拓扑分类之后，我们现在提出一个问题，与参考文献[4]相比，是否可以根据基态波函数对相位扭曲周期边界条件的敏感性来制定分类？这样一个公式将解决关于弱无序和电子相互作用的多体基态的拓扑稳定性，它还为多带哈密顿量提供了(4)和(5)的适当推广。考虑一个的样本且具有边界条件，更具体的我们考虑一个矩形几何体其中和。对于没有相互作用的电子，我们可以将整个样品视为一个大的单元其中并将其嵌入更大的晶体中，相当于k，被占据的单粒子本征态相当于。在由定义的环面上形成一个秩束，分类可以通过研究
(6)
图2(c)比较了在QSH和绝缘相的情况，对于16个的样品，在绝缘阶段没有零，在QSH相中图2(d)中零的结构与图2(a)和2(b)相似。时一阶零在点上，而对于它们在一个换上，零不能在四个T对称点上，这种结构在任何大小单元的QSH阶段都存在。指数可以通过沿着图2(d)中的路径C进行类似于(5)的积分来计算。
多体公式要求指标用多粒子基态表示而有趣的是，对于没有相互作用的电子有，可以得到多体泛化
(7)
我们猜测在这个定义下图2(c)和2(d)中的拓扑结构将保持弱电子相互作用。
综上所述，我们引入了T不变系统的拓扑分类，类似于量子霍尔态的TKNN分类。这表明石墨烯的QSH相具有对弱无序和相互作用不敏感的拓扑稳定性。
我们感谢托尼·潘特夫的许多有益的讨论。这项工作得到了美国国家科学基金会（NSF）在MRSEC第DMR-00-79909号拨款项下的支持，DOE在第DE-FG02-ER-0145118号拨款项下的支持。
参考文献
[1] D.J. Thouless, M. Kohmoto, M.P. Nightingale, and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49
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资料编号：[1516]
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