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双摆动力学起重机运输控制的能量最优解:设计与实验
Ning Sun , Yiming Wu, He Chen, Yongchun Fang
南开大学机器人与自动信息系统研究所，天津，中国
南开大学天津市智能机器人重点实验室，天津，中国
文章信息
摘要：
欠驱动起重机在现代工业中占有重要的地位。具体来说，在实际应用的大多数情况下，起重机系统表现出明显的双摆特性，使得控制问题具有相当的挑战性。此外，现有的大多数采用标准方法/技术获得的双摆起重机规划/控制器在完成运输任务时都不能将能耗降至最低。因此，本文从实际出发，提出了一种双摆起重机运输控制的能量最优解。应用该方法，以最小的能耗实现快速小车定位和消除摆幅等运输目标，有效地抑制了剩余振动，满足了整个运输过程中的所有状态约束。据我们所知，这是具有各种状态和控制约束的欠驱动双摆起重机运输控制的第一个能量最优解。硬件实验结果验证了该方法的有效性，并与一些比较控制器进行了实验对比。
关键词:
欠驱动系统，双摆起重机，能源消耗，摇摆不定的消除。
介绍
机电一体化系统在现代工业领域得到了广泛的应用，对其动态分析和控制问题进行了理论和实践研究[13]。特别是欠驱动机电一体化系统具有灵活性高、能耗低、生产成本低、机械结构简单等诸多优点，越来越受到学术界的关注[4 14]。由于独立控制输入的数量小于系统的自由度，使得欠驱动系统的控制问题仍然具有挑战性，值得进一步的理论和实践研究。
欠驱动高架起重机目前广泛应用于工业领域。在过去的几十年中，文献[15 39]报道了许多针对高架起重机系统的控制策略。具体来说，Rami等人对[15]中的起重机控制策略进行了全面的综述，讨论了最新的研究工作。在[16]中，将部分反馈线性化方法与滑模技术相结合，提出了一种新型的起重机非线性控制器。在[17]中，设计了一种基于李雅普诺夫的自适应控制器来抑制具有边界输出约束的起重机的不良剩余摆动。参考[18]为高架起重机系统开发了一种鲁棒误差跟踪控制方法，该方法预先指定了小车的误差轨迹和负载摆动。参考文献[19]将基于微分平坦度的方法应用于欠驱动起重机系统的有限时间调节控制器。此外，还提出了一些基于滑模的控制器[20 22]。例如，针对高架起重机，提出了一种滑模反摆控制器，该控制器在保证所有状态信号有界[21]的同时，保证了系统的渐近稳定性。参考文献[23 25]为欠驱动起重机系统提出一些基于能量分析的控制器。此外，为了提高控制性能，还引入了一些智能算法，如学习控制方法[26]、模糊控制方法[27 29]、模型预测控制方法[30]和基于神经网络的控制器[31 32]。然后根据平移运动与载荷摆动之间存在的耦合行为设计轨迹规划方法[33 35]。例如，Sun等人在[33]中提出了一种基于相平面的轨迹规划方法，通过几何分析得到三段轨迹，实现了抑制摆幅和消除剩余摆幅的双重目标。此外，[36 39]中还将输入整形方法应用到起重机系统中，实现了剩余摆幅的抑制和状态跟踪。值得一提的是，大多数现有的方法都假设钩子和负载是一个质点。然后将高架起重机系统的结构简化为单摆模型，其控制目标通常是在运输载荷时实现准确的定位。负载(传统的重型货物)通过绳子和钩子连接到手推车上。因此，如果载荷在运输过程中来回摆动，将是非常危险的。在大多数情况下，起重机由熟练的技术人员操作。然而，在人工操作起重机时，往往不可避免地会出现错误，载荷经常出现不受控制的残余振荡，这很可能引发严重的事故。因此，高架起重机系统的高性能控制具有重要意义，值得进一步研究。
事实上，在大多数情况下，钩的质量很大，不能忽略。此外，吊钩的重心与载荷的重心不重合。这使得该系统具有显著的双摆特性。在这种情况下，基于传统单摆表示法设计的规划者/控制器是不合适的。到目前为止，双摆起重机的研究还处于起步阶段，存在许多尚未解决的问题[40 49]。以[40]为例，提出了一种参数不确定性和外部扰动的双摆起重机自适应跟踪控制器，该控制器保证了小车跟踪误差在一组先验边界条件下快速收敛到零。双摆起重机系统也采用了输入成形技术[41 - 45]抑制振动动力学。在[46]中，设计了一种常规滑模控制器和一种分层滑模控制器，实现了双摆起重机系统的运输和反摆控制目标，这两种系统都是不连续全状态反馈控制器。在[47,48]中提出并使用了几种智能控制器。最近，在[49]中，提出了一种幅饱和输出反馈反摆控制器来调节双摆起重机。然而，现有的双摆起重机规划控制器中，没有一个考虑到能耗这一现代工业的重要指标。
为弥补现有研究的不足，实现能量最优目标，提出了一种考虑状态约束的双摆起重机系统水平运动控制的离线能量最优轨迹规划器。在[35]中，Wu等人提出了一种降低单摆起重机系统能耗的能量优化方案。本文首先提出了一种能量最优解，使双摆起重机将小车移动到期望位置，消除了双摆摆角的摆动，同时使能耗最小化，使所有状态变量保持在给定的安全范围内。值得一提的是，在实际应用之前，所提出的规划器通过实现优化算法离线生成能量最优轨迹。具体地说，我们首先利用拉格朗日方法给出了系统动力学。在此基础上，建立了基于动力学的能耗函数。然后，经过能量消耗函数的对流化(通过一些转换和计算)和整个系统的离散化(包括系统动力学、初始/最终条件、能量消耗函数和预先设定的状态约束)，将控制问题化为二次规划(QP)问题。然后将凸优化技术应用于求解所提出的QP问题。最后，在双摆起重机试验台上进行了硬件实验，验证了所提方案的性能。
与现有的规划师/管制人员比较，建议方法的优点可概括如下:
该方案首先解决了双摆起重机的能量最优控制问题。
考虑系统状态约束，确保在整个过程中，所有系统状态变量都保持在给定的范围内。同时，理论上电车到达目的地时不存在剩余摆动。
在双摆式起重机试验台上进行了硬件实验，比现有的大多数双摆式起重机的仿真结果更具说服力。
本文的其余部分安排如下。第2节给出了双摆起重机系统的系统动力学。第三节阐述了能量最优轨迹规划问题。这个问题由初始/最终条件、能量消耗和预先设定的状态约束来表述。第四节通过对系统动力学离散化，将能量最优轨迹规划问题转化为基于凸性的QP问题。在第5节中，数值模拟和硬件实验结果都说明了该方法的控制性能。第6节总结了本文的主要结果。
系统动力学
双摆起重机原理图如图1所示。欠驱动的双摆起重机系统可以用以下动力学描述[49]
(3)式中系统状态变量和参数的定义详见表1
对于实际应用，以下近似通常适用于起重机[34,35,41,44,45]：
然后，我们可以将(1)-(3)重写如下:
（6）式反映了小车加速度与双摆摆角摆动的耦合关系，即，它们充分揭示了电车运动如何影响摇摆运动。因此，它们是后续轨迹(运动)规划分析的基础。然后，经过一些安排，(5)和(6)可以重写成
平移加速度欧元x（t） 可以看作是新的输入u （t），然后(7)和(8)可以重写为以下状态空间形式：
其中x（t）表示具有以下定义的系统状态向量：
B是定义如下的矩阵：
在矩阵参数AIJB，i = 4，6，j =3，4，5，6中，为简单起见，定义如下：
本文假定初始时间和最后时间分别为t= 0和t=TF(TF是一个预设值)。因此，初始条件和最终条件可分别描述如下：
其中，xf表示手推车的最终平移位移。
问题公式化
由于实际应用中往往存在物理约束，起重机系统的速度和加速度应受到一定的限制。此外，出于安全考虑，角度摆动的幅度也应限制在允许的范围内。本文对速度、加速度、角度的上界约束如下:
其中，Vmax；Amax表示平移速度和加速度的允许约束，theta;1max；theta;2max；theta;1vmax和theta;2vmax表示角度波动和相关的预设限制。为了安全的速度。
目标是实现双摆起重机的能量最优控制，考虑双摆起重机系统总能耗J表示为:
然而，(17)中的问题由于是非凸问题，很难直接求解。接下来，我们将首先将(17)转化为一个易于求解的凸优化问题，然后提出一个基于QP的状态约束下的双摆起重机系统能量最优解。
基础凸面能量的最优规划
本节将(17)中所述待求解问题重新表述为QP问题，在动力学离散化后，提出一种基于凸性的能量最优轨迹规划器。
首先，设s为采样时间，我们可以得到相应的离散时间系统动力学as
其中和是定义为
治疗x（0）和u（k）初始状态和系统输入,(18)可获得的解决方案如下:
通过让kf作为最后的采样瞬间，给出了系统的状态和输入序列。
然后，从(20)开始，状态序列可以写为
其中和是具有下列定义的矩阵：
从(21)中还可以看出，一旦我们知道了某一输入序列，就会得到相应的状态序列。接下来，连同(10)和(21)，以下的角和速度数列后果：
对于输入序列u，加速序列x欧元可以转换为以下形式： 其中IKF是一个恒等矩阵，是给定的矩阵。
然后，为了将式(17)中的问题转化为凸优化问题，我们可以将式(16)中的非凸能量代价函数改写为凸形式，下一节将给出凸形式。
首先，通过在(16)中插入(4)并分部积分，我们得到 由于TF是一个固定的终止时间，是常数。此外，可以通过插入(5)和(6)在(30)和派生
类似地，我们可以推导出
.通过使用(13)和(14),一个有C1=0;C2=0。然后(31)
(32)式中我们可以将最小化(16)的问题转换为最小化(32)等价,这是theta;1（t）和theta;2（t）。进一步，通过离散化，我们可以将能量消耗(32)转化为u的形式:
使用(27)及(28)的地方。矩阵和(33)中的e2r分别为:
由(33)可知，能量消耗满足凸性条件。同时，我们利用(20)对(13)(14)中所示的初始条件和最终条件进行离散化，得到关于u的
其中为:
此外，根据(24)-(29)，(15)的状态约束对u可以写成以下离散时间形式:
式中和有以下定义:
其中表示所有元素都等于1的kf1列向量。
完成对系统动力学、能耗函数、初始/最终条件和状态约束的离散化后，我们最终可以将(17)式中的问题重新表述为:
注意(42)中的问题是一个凸目标函数J的QP问题(33)。此外，(38)中描述了所有关于输入序列u的仿射约束。然后，我们允许使用许多方便的数值求解器，例如CVX(用于训练凸规划的MATLAB软件)，来寻找这个QP问题的最优输入序列。然后，由(20)，根据所提出的输入序列得到位置和速度的轨迹。因此，应用所提出的能量最优轨迹规划器，生成位移和速度的能量最优轨迹，进而在起重机系统上实现所期望的控制目标。
图2所示。该方案在大型工业起重机系统的仿真结果(绿点虚线:约束边界在(45))。(有关图图例中颜色的说明，请参阅本文的web版本。)
备注1。线性化技术是弹道规划中被广泛接受的一种方法，通常用于解决高耦合问题和简化数学分析。虽然对系统模型进行了线性化处理，但双摆行为仍然存在，说明线性化后的模型仍然可以在小角度假设下描述双摆起重机的真实行为。仿真和实验结果也表明，角度不会超出约束范围，这在很大程度上验证了线性化的可行性。
备注2。系统动力学和状态变量的离散化是合理的。无论是工业起重机还是实验室起重机，传感器测量信号都是离散序列，核心控制系统(DSP或PC)也以离散的方式实现所设计的控制算法。从这个意义上说，以控制周期为离散采样时间规划离散序列轨迹，更便于实际应用。
备注3。将所提出的能量优化问题转化为QP问题，利用大量的数值优化求解器可以轻松求解。由于控制算法是在基于计算机的控制系统中实现的，提供了离散的控制命令，因此仅用离散的数值解序列就可以解决所提出的QP问题。
备注4。提出的开环轨迹规划器适用于无严重扰动的情况。结合模型不确定性补偿的具体考虑，将反馈跟踪控制器与开环方法相结合，可以提高开环方法的鲁棒性。本文结合所提出的能量最优规划器，采用了一种常用的比例导数(PD)控制器，较好地实现了控制目标。在未来的工作中，我们会设计更先进的控制器来增强整个系统的鲁棒性。
图4所示。提出的规划器的实验结果与相应的仿真结果(蓝色实线:实验结果;红虚线:仿真结果;绿点虚线:约束的边界(49)。(有关图图例中颜色的说明，请参阅本文的web版本。)
仿真与硬件实验
为了说明所提出的能量最优轨迹规划器的有效性，本文给出了一些数值模拟和硬件实验结果。优化问题利用MATLAB中的CVX优化软件包求解。此外，在实验中，现有的两个有效控制器(常规滑模控制器(Csmc)[46]和线性quu)。介绍了一种基于二次型调节器(LQR)的控制器作为比较方法。更直观的是，在随后的讨论中，角度单位被描述为DEG[18]。
图5所示。CSMC控制器的实验结果(绿色虚线:约束边界在(49))。(有关图图例中颜色
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资料编号：[1251]
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