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一种基于修正矩阵的多相运动粒子半隐式方法
摘要
拉格朗日运动粒子半隐式方法具有模拟自由表面和多相流的潜力。然而，在传统的MPS方法中，粒子的混沌分布会使该方法的精度和可靠性降低。本文在修正矩阵的基础上，通过消除与一阶偏导数相关的误差，提出了一种新的拉普拉斯模型。因此，可将修正矩阵应用于所有MPS离散化模型以提高计算精度。然后，将所建立的修正模型耦合到已有的多相MPS方法中。又对内表面和自由表面粒子分别制定了稳定策略。具体来说，将粒子移动应用于内部粒子的稳定；为了在表面法线和切线方向上做出必要的调整，将保守的压力梯度模型和改进的优化粒子移动方案应用于自由表面粒子的稳定。通过对多流体压力振荡流动和气泡上升流动的仿真，验证了修正矩阵的精度改进。椭圆液滴变形表明了现有的自由表面稳定策略的稳定性/精度的提高。最后，对复杂界面破碎和聚结的湍流多相流进行了数值模拟，验证了该方法的有效性。
- 简介
在过去的几十年中，粒子法的发展受到很大的关注，如运动粒子半隐式(MPS)方法和光滑粒子流体动力学(SPH)方法。由于粒子法的拉格朗日性质，它在自由表面流动和多相流动方面具有巨大的潜力。尽管SPH和MPS彼此相似，但它们在离散化公式和稳定措施上存在差异(后者将在后面详细讨论)。两者的比较研究是由Shaoand Gotoh进行的，他认为SPH在收敛性方面优于MPS。针对多目标控制系统精度较低的缺点，本文的目标是全面提高多目标控制系统的精度。
MPS模型是在假设粒子分布基本规律的前提下，采用有限差分法得到的。因此，MPS模型的误差随粒子分布的各向异性而增大。为提高MPS的准确性，Suzuki、Khayyer和Gotoh提出了MPS梯度模型的修正矩阵(类似于SPH)，然而，Gotohand Khayyer在之后的工作中提到，通常无法保证精度梯度模型的稳定性，因此建议使用动态稳定器。而所谓的高阶拉普拉斯模型，则是在Khayyer和Gotoh的研究中，直接采用梯度模型的散度来建立的。最近，Tamai和Koshizuka推导出了边界条件更精确的高阶最小二乘MPS公式，但是这些公式看起来很复杂并且需要较大的编码成本。此外，Tamai等人提出了一个拉普拉斯模型，用更少的相邻粒子作为自由表面粒子，但实现起来更复杂。同时，在提高SPH的精度方面，也展开了很多的研究(如再现核粒子法、移动最小二乘粒子流体动力学和核梯度校正)，然而，据作者所知，上述精确的公式并没有在MPS中得到广泛应用，这可能是由于粒子沿流线聚集而引起的相关不稳定性。因此，当我们想要使用高阶公式时，必须对不稳定性问题进行详细的研究。
事实上，当直接采用精确的公式时，拉格朗日粒子法可能会变得不稳定，原因如下: Matsunagaetal（见图9）或Ogeretal（见图1）的研究表明，当粒子沿流线精确运动时，粒子分布容易发生畸变。因此，某些特殊的速度调整或位置调整对于MPS/SPH方法是必不可少的。Duanet等在研究中讨论了梯度模型中粒子稳定项(PST)是MPS中最常用的稳定措施，具体如下:
，（1）
在原始MPS中，。PST可以令致密区域的粒子移动到局部稀疏的区域，这对于调节粒子的分布是十分重要的。PST的作用类似于SPH中的背景压力。其中，对于SPH中的传统压力梯度模型，背景压力Pb恒定时的压力梯度力为:
，（2）
其中，。如果将MPS中的对应为SPH中的，则式(1)与式(2)本质上是相同的。需要注意的是，SPH中的保守压力梯度模型也可以产生这样的速度调整(或误差)来保持稳定性。
MPS与SPH之间稳定措施的差异在于调整强度的不同定义(即方程(1)中的和方程(2)中的)，尤其是，方程(1)中的在MPS中是个变量，而方程(2)中的在SPH中是个常数，常数的优势在于，其调节速度是反对称的，因而具有良好的守恒性，然而，MPS中的PST并不是反对称的(即破坏动量守恒)，即使对于对称问题也会产生不对称的结果。另一方面，Hu和Adams指出，在多相模拟中，由于液相和气相需要不同的背景压力，一个恒定的会导致非常小的时间步长。相比之下,MPS可以自动利用不同的Delta;P值在不同流体的阶段，这样时间步长就不会受到密度比的限制。在Duan等人的研究中，他们认为，在不同的流体阶段，必须注重的选择，另外，Zhang等人最近开始在SPH中使用可变背景压力(本质上类似MPS)来保证稳定性。除了在MPS中广泛应用的PST和在SPH中广泛应用的背景压力外，还有一些其他的稳定措施，例如，基于斥力的人工粒子位移法对保证稳定性也是有效的。综上所述，大多数拉格朗日粒子法都或直接或间接地采用了一些粒子速度(如PST和背景压力)或位置(如人工粒子位移)的调整方法，以防止粒子沿流线对齐，从而保证稳定性。
在之前的大多数研究中，没有考虑速度或位置的调整对动量的传输影响，在最近的研究中，粒子筛分法（PS）和运输速度公式考虑到了这一影响，理论上，这两种方法本质上是相似的，因为速度调整的目的是产生位置位移。然而，由于相邻粒子的不完整性，这两种方法都需要在自由表面确定合适的调整量。这具有很大的挑战性，相应的解决方案还在研究中：在第一版的PS中，为了简单起见，研究过程中没有考虑自由表面的影响，后来Lind等人认为有必要保留PS中的表面切向分量，并且由一个调谐参数?来减少表面正常组件；同时Khayyer等人最近提出了一种计算表面切向分量的优化PS(OPS)方案，并且忽略了表面法向位移；此外，Zhang等人提出利用可变的背景压力和更短的有效半径来实现自由表面速度的正常调节。综上所述，是否有必要保持自由表面的正常调整在研究中仍是一个悬而未决的问题。事实上，传统压力梯度模型可以通过PST产生合理的表面法线调整，因为在接近自由曲面时，调整强度会自动减小(见第2.4节)。通过结合切向(OPS)和法向(保守梯度模型)调整，可以改进自由曲面的调整策略。
在我们之前的研究中，MPS被扩展到多相MPS (MMPS)方法和MMPS连续加速(MMP-CA)方法，这两种方法分别适用于低密度比和高密度比的流动问题。Duanetal的作品中仍采用了原始的MPS离散化模型，但校正矩阵仅应用于梯度模型，从而提高精度(例如Khayyer和Gotoh的研究)。为了在不增加编码代价的情况下提高精度，本文提出了一种新的基于校正矩阵的拉普拉斯模型。在这种模型下，将校正矩阵应用于所有MPS模型，包括梯度模型、散度模型和拉普拉斯模型，全面提高精度。同时，自由表面上由于相邻粒子的不完整性产生的稳定性问题也将得到缓解。在Duanetal的研究中，将已开发的带有校正矩阵的MPS模型耦合到多相公式中。然后，对多流体压力振荡流动、气泡上升问题、椭圆液滴变形、界面复杂破碎/聚结的连续溢油流动等单相流动和多相流动进行了仿真，验证了该方法的可行性。本文结构如下：第二章给出了具有精确公式、稳定措施和边界条件的数值方法。第三章讨论了具体的数值计算实例。最后，第四章进行总结。
- 数值方法
不可压缩多相流的控制方程如下：
和
g
式中，表示速度，P表示压强，g表示重力加速度，表示界面张力，和分别表示密度和动态粘度。
-
- 以校正矩阵来修正MPS模型
MPS方法中的原始梯度、散度与拉格朗日模型为：
，
，
和
其中i表示参考粒子，j表示其相邻粒子，r是位置（列）向量，表示双曲的权重函数，表示常数粒子数密度，d表示维数(详见Koshizuka和Oka的研究)。是粒子距离（）的方差，其中将看作服从权重函数可能性分布的随机变量。的定义基于最初的粒子分布：
.
从扩散理论推导出的拉普拉斯模型可以在Dual和Chen的著作中找到。这些公式是基于规则粒子分布的假设推导出来的。混乱的粒子分布可能会发生离散误差。修正矩阵能有效地解决颗粒分布的各向异性问题，从而提高精度。Suzuki、Khayyer和Gotoh为MPS推导出的修正矩阵可以写成：
，
其中：，，，.
该矩阵有助于精确计算一阶导数。
利用校正矩阵，一阶梯度模型：
.
与原梯度模型(式(5))相比，可以认为修正矩阵仅对方向向量(即A)进行了修正，即式(11)采用了修正后的方向向量。值得注意的是，上述修改与SPH中的核梯度校正非常相似。
散度也由一阶偏导数组成，由式(11)计算。通过一些数学处理，修正后的散度模型可以写成：
.
修正只适用于方向向量，与式(11)完全一致。
修正只适用于方向向量，与式(11)完全一致。然而，上述修正方法不能直接应用于由二阶导数组成的拉普拉斯模型(式(7))。事实上，基于误差分析，修正矩阵可以帮助消除式(7)中一阶导数引起的剩余误差。粒子i和j之间的二阶泰勒展开式是：
，
是一个标量变量，是x的一阶偏导数，是y的一阶偏导数。将（7）式中的代入到（13）式中，就可以分解原拉格朗日模型的误差，即：
为了合理地表示拉普拉斯，应有如下关系：
，
和：
，，.
式(15)和式(16)分别对应一阶偏导数和二阶偏导数引起的误差(为方便起见，简写为一阶和二阶导数误差)，对于规则粒子分布，式(15)和式(16)完全成立；对于不规则的粒子分布，这两个式子保持相似，进而导致混乱的误差。下面我们分析这些误差的大小。因为（式8）的值为，的值为1，为，式15中系数的值为1/，所以相应的误差随的减小而增大，这也就是说，正如Ng等人的研究表明，收敛阶为1，在很多相似的研究基础上，我们得出式（16）中的系数为1，与无关，所以一阶导数的误差比二阶导数的误差更占主导地位。
由于和（或者）通过式（11）得出来了，那么一阶导数误差也可以计算出来，为了简便，将式（15）中各系数组成的定义在每个粒子上的（行）向量写为：
现在，和的内积就是一阶导数误差，也就是式(14)右边的前两部分。在式(14)两边同时减去，可以得到一个新的修正后的拉普拉斯模型，即：
，
接下来是二阶导数误差，将式（11）代入到式（18）中，得到一个新的拉普拉斯模型：
.
通过进一步的数学处理，新模型最终为：
，
其中是无量纲标量，，和分别为一个行向量，一个矩阵和一个列向量。比较式（7）和式（20），会发现修正矩阵仅仅是用来修正2/并消除主要的一阶导数的误差，但在式（20）中仍存在二阶导数的误差，Tamai等人在研究中推到出，这个误差可以通过构造一个新的修正/力矩矩阵来消除。但是在这种情况下，建模和编程的复杂性将会增加。另外，如果在最小二乘法中采用二阶泰勒级数展开作为拟合函数，也可以得到更精确的拉普拉斯模型，但计算量较大。在本研究中，我们仅使用一个具有梯度/散度模型的一致的修正矩阵来消除主要误差，以实现在不增加太多计算成本的前提下尽量保持简洁。
为了比较上述模型的精度和收敛性，我们用标量函数：
和矢量函数：
来进行检验。采用准混沌粒子分布，最大相对随机性为0.15，为了与修正后的拉普拉斯模型（式（20））进行对比，还需研究一下广泛使用的模型，第一个是Brookshaw型模型：
，
图1：不同离散化模型的平均误差。A:梯度模型;B:拉普拉斯算子模型(彩色图可以在wileyonlinelibrary.com上查看)
这个模型被广泛应用与SPH方法中，其中每个粒子的体积（）被定义为1/。第二种模型是Khayyer-Gotoh型模型：
.
考虑到混沌粒子分布的影响，每个测试实例计算500次，图1中对比了平均误差。原始梯度模型具有零阶收敛性，而修正后的梯度模型具有一阶收敛性，由于散度是不同梯度分量的组合，所以散度的收敛情况与梯度一样。同时，原始的Brookshaw型和Khayyer-Gotoh型拉普拉斯模型的收敛性都在-1左右，这也表明式（14）中的一阶导数误差占主导地位。应用了进行修正后的拉普拉斯模型的精度明显高于传统模型，尤其是在空间分辨率（）较小的时候。由于二阶导数误差的存在，修正后的模型仍具有零阶收敛性，但总的来说，修正矩阵显著地提高了修正模型的精度。
拉普拉斯模型也可以用于求解泊松方程。在隐式计算中，局部的误差会影响整个求解域，引起计算结果的波动甚至造成整个系统的误差，因此，本文研究了一种包含了混合狄利克雷-诺依曼边界的隐式边值问题。试验用例来自Young等人的论文，理论解和几何构型见Young等人的著作，这里不再赘述。采用规则和不规则（随机性为0.2）的粒子排列，采用100times;100和200times;200两种分辨率。考虑到未修正的拉普拉斯模型与图1的结果相似，所以修正后的模型（式（20））仅与原始MPS拉普拉斯模型（式7）进行对比。使用不同模型的误差分布如图2所示。对于规则的粒子分布，式（15）实现得很好，因此可以表明式（15）是正确的。
图2：在边值试验用例(分辨率:100times;100)中，规则粒子分布(上)和混乱粒子分布(下)情况下使用修正拉普拉斯模型(左)和原(右)拉普拉斯模型过程中产生的误差分布的比较。A，表示修正后的规则粒子分布；B，表示原模型的规则粒子分布；C，表示修正后的混乱粒子分布；D，表示愿模型的混乱粒子分布。
图3：边界值试验用例中(A)水平中心线和(B)垂直中心线的误差简况的比较[彩色图片可在wileyonlinelibrary.com上查看]
运用拉普拉斯模型产生相同的结果（见图2 A,B），在混乱粒子分布的情况下，修正后的模型明显比原模型产生的结果
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资料编号：[1128]
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