英语原文共 7 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
科学的表
应用数学快讯 分数阶导数
分数杜哈默尔原理及其在某类分数偏微分方程中的应用
arjumand seemab，mujeeb Ur Rehman *
自然科学学院，国立大学的科学和技术，在巴基斯坦首都伊斯兰堡，
文章信息 摘要
文章历史：
收到日期：2016年6月20日
2016年8月6日收到修订版
接受日期：2016年8月6日
2016年8月16日在线发布
关键词：
分数微分方程
卡普托导数
米塔格 - 莱弗勒函数 -
杜哈明原理本研究的目的是为一类分数阶偏微分方程建立一个杜哈默尔原理的分数形式。同时建立了唯一解的存在性
copy;2016爱思唯尔有限公司。保留所有权利。
1.介绍
近年来，分数阶微分方程在流体力学、化学、数学生物学、金融等领域得到了广泛的研究和应用。分数微分方程的定性理论已经有了相当大的发展（例如，见[1-13]及其参考文献）。分数阶偏微分方程由于其在科学和工程的各个领域的实际应用而日益流行。
由于非线性分数阶偏微分方程的解析解很少，需要利用一些有效可靠的准则来证明非线性分数阶偏微分方程解的存在唯一性。文献中，我们所知的非线性分数阶偏微分方程解的存在性准则的研究很少[14,15]。 在这篇文章中，我们将引入一个分数杜哈默尔原理，并用它建立非线性分数阶扩散波方程的存在性结果。
(1.1)
t
对应的作者.
电子邮件: arjumandseemab52@gmail.com (A. Seemab), mujeeburrrehman345@yahoo.com （M. ur Rehman）。
http://dx.doi.org/10.1016/j.aml.2016.08.002
0893-9659 /copy;2016 Elsevier Ltd.保留所有权利。
式中，是1 lt;alpha;le;2的标准卡普托分数导数。我们在R 上的有界连续函数U（X，T）的任意的Banach空间中工作，假设非线性函数q满足稍后要指定的某些条件。
论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将给出续集中需要的基本定义和初步结果。在第3节中，我们发展了杜哈默尔原理的分式版本，并在第4节中建立了唯一解存在的条件。
2.分数导数与积分
为了方便起见，本节总结了分数微积分的一些概念、定义和基本结果，这对本文的进一步发展有帮助。
定义 2.1.令alpha;gt; 0，n =lceil;alpha;rceil;且u（x，t）isin;Cn（Rtimes;R ）。那么u（x，t）的caputo的分数导数关于t，定义为
，其中是黎曼-刘维尔分数积分，以
(2.1)
表示。
我们回顾了这项工作所需要的分数微分和积分算子的一些基本性质。有关详细信息，请参见[16]及其参考文献。
(P1)(P2)
（P3）阶的卡普托分数导数alpha;gt; 0表示g（t）：=,通过
.
(2.2)
.
给出。
引理 2.2.设m - 1 lt;alpha;le;m，u（x，0）isin;ACm（[0，T]），则
定义 2.3. 双参数MittagLeffler函数定义为
在数值证据的基础上的F.Mainardi[17]推测，对于每个alpha;isin;（0，1）均匀估计
1 1
1 Gamma; (1 minus; alpha;)x le; Ealpha;,1(minus;x) le; 1 Gamma; (1 minus; alpha;)minus;1x
对每个xgt; 0都成立.T.Simon [18]证明了Mainardi [17]的猜想。他的证明是基于概率论点的.R.Spigler [19]部分证明了关于x：=talpha;的Mainardi猜想T = 0.tgt; 0的米塔格 - 莱弗勒函数Ealpha;，1（-talpha;），alpha;isin;（0,1）解卡普托微分方程Dalpha;u= 0，U（0）= 1。因此，它在分数微分方程理论中起着至关重要的作用。艾兹。在第3节中我们将看到，tgt; 0和alpha;isin;[1,2]的Mittag-Leffler函数Ealpha;，1（-talpha;）和Ealpha;， alpha;（-talpha;）出现在分数偏微分方程的解中。从......数值证据，如图1所示，我们表述了以下猜想。
t
图1.对于alpha;= 1.00,1.25,1.50,1.75,2.00，Ealpha;,1（ - talpha;）和Ealpha;,alpha;（ - talpha;）的图。
设在tgt; 0，alpha; [1,2]和sigma;是4 lt;sigma;lt;5方程tansigma;-sigma;= 0的唯一解然后，在不平等的情况下：
isin; minus;
minus;1 le; Ealpha;,1(minus;talpha;
) le; 1,
Sinsigma; alpha;
sigma; le; Ealpha;,alpha; minus;t
(
1
Gamma; (alpha;)
) le; .
为了进一步发展，我们陈述了以下辅助引理。
引理2.4。如果n-1 lt;alpha;le;n且eta;（t）：= tnminus;1Ealpha;,n（ - atalpha;）则。
t
- 杜哈梅尔的原则
经典的Duhamel原理将相应齐次方程的非齐次偏微分方程的Cauchy问题简化为Cauchy问题。在[在[20,21]，作者已经建立了Duhamel原理的分数模拟。这里我们介绍一个简单的分数Duhamel原理，帮助我们减少问题(1.1) 等效积分方程。
定理3.1（Duhamel原理）。如果n - 1 lt;alpha;le;n，则phi;isin;L1[a，b]和f（t）= Inminus;alpha;phi;（t）。然后解决
t
问题
u(0) = 0, ursquo; (0) = 0, . . . , (3.1)
t
是
其中nu;（t;tau;）是
(3.2)
(3.3)
t
的一个解。
证明。通过引理2.4，nu;（t;tau;）= tnminus;1Ealpha;,n（ - atalpha;）phi;（tau;）满足(3.3).另外，通过(2.2) 我们有nu;(k)（t;tau;）=
现在，很容易看出nu;（0;tau;）= 0，nu;′（0;tau;）= 0，......，nu;(nminus;1)（0;tau;）=phi;（tau;）。
minus;
最后，它仍然是证明你定义的(3.2) 满足(3.1)式。(3.2) 可写成
从而
）
在D两侧应用Dalpha;(3.4) 并使用（P2）我们得到
t
另外，来自(3.4)，对于k = 1,2 ,.，我们有u(k)（0）= 0。..，n - 1。
备注3.2 （i）在声明中定理3.1，我们不需要明确地知道函数phi;。知道存在这样的功能就足够了。（ii）如果alpha;= n，则分数Duhamel原理简化为常规微分方程的经典Duhamel原理。
引理3.3。函数G1，G2 由G1（x，t）定义:和
满足以下特性：
，其中1le;alpha;le;2且tgt; 0。
证明。（i）由于 1le;alpha;le;2因此
t
=
且
因此
t
(ii)狄拉克三角函数的傅立叶变换是
因此，
这也是狄拉克函数的积分表示，常用于量子力学。因此，我们有
考虑线性非均匀扩散波方程的初值问题
通过算子的线性性质Lu：= Dalpha;u（x，t） - cuxx（x，t）求解u（x，t）(3.5) 是总和问题的解nu;（x，t）和w（x，t）
t
Dalpha;v（x，t） - cvxx（x，t）= 0，v(x, 0) = f (x),vt(x, 0) = 0,x isin; R, t gt; 0, (3.6)
t
Dalpha;w（x，t） - cwxx（x，t）= h（x，t），w(x, 0) = 0,wt(x, 0) = 0,x isin; R, t gt; 0, （3.7）
t
分别。
通过引理2.4函数
(3.8)
满足(3.6) 并且并且将表明，对于和
，
t
是解决方案(3.7).从(3.8) 和(3.9) 它遵循的解决方案(3.5) 是
定理3.4（Duhamel的扩散波方程原理）设fisin;C（Rtimes;R ），1 lt;alpha;le;2，
和。然后问题(3.7)的解 是
t
(3.11)
其中是一个解
lt;
全文共5959字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[881]
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
