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具有可变弹簧特性的系统
27.可变弹簧特性的例子。——在前几章中考虑了弹簧刚度随位移变化的问题。这里我们将讨论弹簧特性随时间变化的情况。
作为第一个例子，让我们考虑一根长度为21的AB弦，它垂直拉伸，在中间带着一个质量为m的粒子，如图96。
图 96
如果x是粒子从中间位置的一个小位移，则与该位移对应的弦中的拉力为(见第116页)。
式中，S为质点处于静平衡位置时弦中的拉力，A为弦的横截面积，E为弦的弹性模量。假设S与(a)式中第二项所表示的拉力变化相比非常大。在这种情况下，可以忽略第二项，则S#39; = S，粒子m的运动方程为：
在这种情况下，弹簧特性由定义，只要S保持恒定，方程(b)给出了频率的简谐运动，振幅取决于初始条件。如果粒子的初始位移和初速度都为零，则粒子保持在中间位置，即稳定的静力平衡位置。
这是它稳定的静态平衡的位置。假设现在某个装置产生了一个很小的稳定的周期性的拉力波动S
由于总是足够大，在这种情况下方程(b)仍然成立，我们得到了一个系统，其中弹簧特性是时间的周期函数。在不讨论微分方程(b)的情况下，可以看出，只要适当选择波动张力的频率，就可以建立质点的大振动。这种情况如图96,b和图96,c所示。其中第一条曲线表示质点在恒定拉力作用下自由振动时的位移，所以一个完整的循环需要时间。第二段曲线为弦的波动张力，假设其频率为圆频率。从图中可以看出，在第一个四分之一周期时，当质点m从极值位置移动到中点位置，力的合力产生正功时，的平均值大于。第二个四分之一周期处，当力与质点运动相反时，它们的平均值小于。因此，在每半个周期中，拉力所做的正功是多余的。这个功的结果是振动振幅的逐渐增大。这个结论很容易通过实验得到验证。此外，实验还表明，如果拉力保持以频率为的波动，颗粒的中间位置不再是稳定平衡的位置。一个小的偶然性的力量，产生一个初始的位移或初始的速度，可以开始振动，并且这个振动的逐步建立如上所述。在图96中，d表示了一种情况，在这种情况下，弦中的拉力突然发生变化，使得
在梅尔德的实验中我们了解到有这样一个振动的例子。在这个实验中，一根细弦通过将它的一端连接到振动的音叉上来保持横向振动，连接点的运动方向与弦的方向一致。弦振动的周期是音叉的两倍。采用与前一种情况相同的推理，可以看出，如图96,d所示，张力的改变会导致粒子产生较大的振动。
在图97中，表示了另一种相同的情况。在垂直轴上安装一个圆盘AB。轴的旋转是自由的，但它的弯曲受到限制，通过使用导向杆，到图形的平面轴的大部分长度都是非圆截面，如图所示，因此其在平面上的抗弯刚度取决于旋转角度。首先假定轴不旋转，并且以某种方式产生了轴在平面上的横向振动。圆盘将执行简谐运动，其频率取决于轴的抗弯刚度。对于图中所示的轴的位置，抗弯刚度最小，因此横向振动频率最小。将轴旋转90度，在最大弯曲刚度的平面内得到频率最高的振动。在我们进一步的讨论中，我们将假定这两种主要刚性之间的差别很小，比如说不超过百分之十。因此横向振动的最大和最小频率之间的差别也很小，不超过百分之五。
现在假设轴在横向振动时旋转。在这种情况下，我们得到了一个弹簧特性随时间变化的振动系统，在轴旋转半圈期间完成一个完整的循环。通过使用与前一种情况相同的推理， 图 97
可以证明，对于轴的角速度与其横向振动的圆周频率的平均值
之间的某种关系，将对振动系统做正功，所做的正功将导致横向振动的幅度逐渐增大，如图98中的两条曲线所示，上面的曲线表示轴的横向振动的位移 - 时间曲线，其平均频率为。下曲线表示轴的波动弯曲刚度，假设轴在其横向振荡的一个循环期间进行一次完整的旋转，使得。在图的底部显示了轴与中性轴旋转截面的对应位置。可以看出，在第一个四分之一周期处，当圆盘从极限位置向中间位置移动并且轴在圆盘上的做正功时，抗弯刚度大于其平均值。而在第二个四分之一周期期间，当轴的反作用力与盘的运动相反时，抗弯刚度小于其平均值。观察到在任何时刻反应与相应的抗弯刚度成比例，可以得出结论，在循环的第一个四分之一期间所做的正功在数值上大于第二个四分之一周期期间所做的的负功。 因此在轴的一次旋转期间有过剩的正功，这会导致轴的横向振动的幅度逐渐增加。
如果如图97所示的轴水平放置，则必须考虑重力的作用。假设由于振动引起的偏转小于由盘的重力产生的轴的静态偏转，则圆盘从轴的未弯曲轴线的位移总是向下。并且可以在一个循环期间中，从图99a中的ot轴测量的上部曲线的纵坐标表示出来。
图 98 图 99
作用在圆盘上的力有两种，(1)恒定的重力和(2)轴在圆盘上的反作用力。在我们的例子中，轴的方向总是向上的。一个周期期间重力做功为零，因此只考虑轴的反作用力的功。在第一个二分之一周期内，反作用力与运动的方向相反，产生负功。在第二个二分之一周期内，反作用力是朝着运动的方向进行的，并产生正功。如果我们像前面的情况一样，假设轴的一次旋转的时间等于横向振动的时间并且采用与图98b中相同的曲线，那么对于波动的抗弯刚度，可以看到 每个周期的总功为零。如果我们令轴的角速度小于横向振动的频率两倍，则将得到不同的结论，此时弯曲刚度的变化可以由图99中的下部曲线表示。可以看出，在循环的前半部分，当反作用力方向与运动方向相反时，抗弯刚度小于其平均值，并且在循环的后半部分，当反作用力与运动方向相同时， 抗弯刚度大于其平均值。 因此，将在循环期间做正功，这将导致振动幅度的增加。我们看到，由于重力和可变抗弯刚度的组合，当每分钟轴的转数仅为轴的每分钟横向自由振动数的一半时，可以产生大的横向振动。这种类型的振动可以在具有可变抗弯刚度的转子中发生，
图 100
例如，在涡轮发电机的双极转子（图100）中。 这种转子在其自身重量作用下的偏转在旋转期间变化，并且在一定速度下，由于这种可变的灵活性，可能发生剧烈振动。当转子的抗弯刚度的不均匀性是由于轴中的键槽切割引起时，也可能发生相同类型的振动。通过切割两个与第一个相距120度的附加键槽，将获得在所有方向具有恒定惯性矩的横截面，并且以这种方式将消除振动的原因。
作为另一个例子，让我们考虑一个可变长度的单摆（图101）。通过用力拉动绳OA，可以产生摆的长度的变化。为了获得微分运动方程，将应用角动量原理。运动质量的动量可分解为两个分量，一个在弦OA方向，另一个垂直于OA方向。在计算点的角动量时，必须只考虑第二分量等于。角动量对时间t的导数应该等于作用于点0的力矩。因此方程：
在小振幅的振动的情况下，可以代替方程式（57）中的。我们获得：
当为常数时，方程左边的第二项消失了，我们得到了一个简谐运动，其中代替了弹簧常数除以质量，得到的式子即为151页中的式。式(58)中出现第二项时，长度的变化对振动的影响可能与前面例子中讨论的波动弹簧刚度的影响相同。将阻尼振动的方程(58)与方程(26)(见第33页)进行比较，我们发现包含导数的项代替了方程(26)中表示阻尼的项。通过长度随时间的适当变化，可以产生与“负阻尼”相同的效果。在这种情况下，系统中的能量逐渐累积
图 102
而不是能量耗散，并且摆的振荡幅度随时间增加。很容易看出，这种能量积累是由摆的长度变化过程中拉力S所做的功所产生的。 可以想象各种改变长度的方法，这将导致振动系统的能量积累。以图102为例，其中摆的角速度和摆长变化的速度表示为时间的函数。摆长的变化周期取摆的振动周期的一半，线相对于线放置，最大负阻尼效果与最大速度一致。这意味着在角速度较大时必须减小长度，而在速度相对较小时增加长度。记住拉力H与重量W的径向分量一起作用于离心力，很容易看出，在图102所示的情况下，在长度减小期间由力做的功大于长度增加时返回的值。这种功的过剩导致摆振动能量的增加。
在图103所示的情况下，摆振动能量的增加计算变得特别简单。在这种情况下，假设摆的长度在摆处于中间位置时突然减少的量，在摆处于极限位置时突然增加到相同的量。质量的轨迹在图中由实线示出。 在摆锤的一次摆动期间，质量块完成两个完整的周期。当摆长变短时所做的功是：
*在此计算中，摆长缩短期间离心力的变化被忽略了。
这里表示摆在中间位置时质量的速度。在摆的极端位置返回期间的做功是
一个钟摆完整摆动时的能量增益为：
或者通过将
我们可以得到
由于这种能量的增加，钟摆的振幅也逐渐增加。
在我们的讨论中，考虑了摆长的变化。但是，如果用变加速度代替变长度，也可以得到类似的结果。这可以通过在摆锤下放置一个电磁铁来实现。如果在钟摆的每一次振动中产生两个周期的磁力，那么在每次振动过程中，多余的能量就会进入振动系统，这样就会产生较大的振动。
从讨论中可以看出，在垂直磁力波动作用下，静止的垂直悬挂摆可能会变得不稳定，如果采用适当的磁力作用时间，就会产生上文所述的振动。*如果沿垂直轴的振动运动与悬挂摆的悬挂点相连，也会产生类似的效果。这种垂直运动的惯性力相当于上面提到的波动磁力。
如果不是弹簧特性变了，而是弹簧质量变了，或者产生扭转振动的物体转动惯量变了，那么在一定条件下也可能出现同样的不稳定现象和振动的逐渐积累。举个例子，一个垂直轴的末端有一个飞轮(图104)。这个系统的自由扭转振动将用这个方程表示：
*佩奥·瑞利勋爵，《声音理论》，第二版，T卷，第82页，1894年
其中为飞轮转动惯量为弹簧常数。现在让我们假设转动惯量不保持恒定，并且由于沿轮辐滑动的两个对称位置的质量的谐波运动而随时间周期性地变化(图104,b)。在这种情况下，转动惯量可以用公式表示：
其中是振荡质量的圆形频率，是我们假设与单位相比较小的因子，因此惯性矩的大小只有轻微的波动。将表达式代入式，可将该方程写成如下形式：
或者，考虑到到是一个为微小量，我们得到：
可以看出，由于惯性矩的大小的波动，我们获得了类似于我们之前对于具有可变弹簧刚度的系统的情况的方程。由此可以得出结论，通过适当选择振动质量的频率，可以建立图104所示系统的大扭转振动。产生这些振动所需的能量由质量的径向运动的力提供。当质量块朝轴的轴线移动时，产生抵抗其离心力的正功。 对于反向运动，产生负功。 如果当扭转振动的角速度和随之产生的离心力很大时将质量拉向轴线，并且当离心力很小时运动被反转，则剩余的正功用来建立扭转振动。这种情况如图105所示，上曲线为振动轮角速度，下曲线为质量的径向位移。质量的振动频率是轴扭转的振动频率的两倍。
如果轴的轮子连接到如图106所示的往复质量上，可能会发生与上述情况类似的情况。如果轴的上端是固定的，飞轮产生很小的扭转振动，使系统的结构只发生很小的变化，那么系统的所有质量都可以用具有恒定转动惯量的等效圆盘代替(见第77页)。但如果轴是旋转的，系统的结构是周期性变化的，则等效圆盘必须假定转动惯量是周期性变化的。在前面算例的基础上，可以得出在一
图 105 图 106
角速度下，轴系中可以产生较大的扭转振动。这些振动对具有往复质量的发动机具有相当重要的实际意义。*
*这个问题在下面的论文中讨论。《空气动力与弗万特》，柏林，1930;F.克鲁格，ingenieurl - archiv，第2节，第119页，1931;辛克(T. K. Schunk, Ingenieur-Archiv, V. 2, p. 591, 1932);1935年第59页，第6节;r . Grammel Zeitschr。f . angew。数学。动力机械。1935年第47页第15节;《应用数学与力学》，第2卷，第3页，1934年(俄文)。
28.讨论了变弹簧特性振动运动方程。没有阻尼振动。如果忽略阻尼，变弹簧特性下的运动微分方程可以表示为：
其中项是定义弹簧刚度波动的时间周期函数。在机械振动问题中，通常刚度波动较小，这一项可以认为与相比较小的。当这一项消失时，方程与自由谐波振动一致。在前一篇文章讨论的一些例子中，弹簧刚度的波动遵循正弦规律，运动方程为:*
*这是Mathieu在研究椭圆膜振动时讨论的微分方程，见E. Mathieu, Cours de physical Mathematique, p. 122, Paris, 1873。
例如，在图
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