数控机床空间曲线插补
Sotiris L. Omirou 奥米鲁·索提里斯
希腊帕特拉斯26500大学机械工程与航空系
摘要
尽管数控编程设备有了巨大的发展，平行于坐标平面的直线和圆形切割仍在广泛运用，成为现代数控机床的标准运动。然而，仅仅这些标准动作是不能满足工业对复杂形状零件日益增长的需求。本文提出了一种高效、准确的开发一类精密仪器的插补算法，可以驱动数控机床刀具沿三维（3D）轨迹运动。首先预设一对初始模型，然后该方法利用初始模型的隐式或参数化定义，在丹尼尔森曲线的步骤选择规则基础上，对其相交曲线进行插值。通用计算机用来对于路径的生成和机器的实时控制，而丹尼尔森标准的存在保证了位置误差至多为一步。用户首先选择合适的形状组合交集给出了所需的三维轨迹形式，然后用两个形状的所需信息启动算法。
1 介绍
莱切斯特大学PADL-1实体建模组的一项研究显示约40% 机械加工零件的数量可以用以下组合表示：只有两个初始形状，即矩形块和带圆柱轴和块边的与坐标轴对齐的圆形圆柱[1]。一组扩展的任意定向的基本体，包括球体、圆锥体和圆环面足以建模90%的此类零件。
这一发现意味着当前的标准数控机床超过10%的加工零件不能够仅仅使用平行于坐标平面的线性切割和圆形切割。没有涵盖的标准数控运动的零件比列当然是随着错综复杂的工业需求不断增长。自从计算机问世以来，复杂形状的需求通过不断地升级数控系统的形状生成能力和开发复杂的能够将复杂的几何图形缩减为一系列长线切割CAD/CAM处理器而得到满足。因此，如果用标准的CNC运动无法直接编译特定的形状，它首先会在CAD/CAM系统的帮助下被线性化，然后编码自动生成一个可执行的NC程序。但是，这些线性化有严重的缺点。直线段序列的近似路径被系统的线性插值器不停地追踪。不可避免地，它们的加工会导致机器上的重复加速-减速循环从而提高了加工误差和加工时间大幅增加。
参数编程，计算循环子程序，宏功能和复杂周期[2]是一个CNC的优势之一，减少了用户对CAD/CAM的依赖。尽管编程设备有了巨大的发展，但是三轴数控机床的基本运动 仅通过二维或三维继续执行（3d）线性和二维圆形插补器[3–7]。其他类型通过近似期望路径实现的运动[8,9]时，伴随着前款所提到的缺陷。
本文介绍了一种软件插补工具，即在三轴数控机床上能够沿3D曲线产生精确的实时运动。该工具是基于PC的数控系统框架下开发的。本研究的第一个样本由帕帕约安努和奥米鲁提供[10]。在前面提到的文章中，提出一种在任意平面上生成圆弧的特定插值算法并讨论了它在数控环境下的实施情况。本文涵盖了一个更广义的一类能沿三维空间中的曲线产生运动的插值算法。这些曲线中的每一条最初定义为两个曲面的相交，然后根据丹尼尔森的[11]步骤选择规则进行插值。此外，本文还举例说明了隐式和参数化两种曲面表示方法。
2 沿着两个表面的交叉曲线运动生成
在数控加工的背景下，运动生成沿着规定的路径有三个方面：步骤的类型，机器允许的类型，步骤选择规则和最后精确的计算机实现这些规则。
如果一次在一个进给方向上执行步骤，则算法被称为正交，如果允许步骤同时在一个以上的进料方向则算法被称为非正交。为了获得最大精度在整个路径上，每个步骤设置为1 基本长度单位。对于给定的数控机床，蓝色 表示机器可以解决的最小距离。在三轴机器，步骤可以表示为矢量。
smacr; = [dx, dy, dz],
dx, dy, dz isin; [minus;1, 0, 1], |dx| |dy| |dz| ge; 1 (1)
最后一个不等式排除了一个全0组合，即不构成步骤。如果算法是正交的，则最后一个条件变为
|dx| |dy| |dz| = 1 (2)
每个点的可能步数是正交的算法6（2times;3)和非正交算法的26(27 minus; 1)。
非正交算法在加工方面表现更好，因为它们生成更平滑的理想的路径近似值和较少的步骤总数。因此，函数上的正交性限制是不合理的。但它经常被用来简化步骤选择问题[3–7]。在这种方法中，这种限制是不必要的。
丹尼尔森[11]提出了一种有效的步骤选择规则。根据这些规则，步骤选择基于两个必须同时满足的条件，尤其是第一个条件，指定的方向条件，要求每个步骤与指定的插值方向一致，并确定对于曲线的切线向量t或其相反的t，第二个条件称为邻近条件，需要一个接近曲线的步骤。它只相当于总是选择指向曲线另一侧的一个台阶，相对于当前位置。这样位置误差是自动绑定的。
图1 沿两个平面相交曲线生成的运动
步骤中最重要和最多变的方面是选择方向和邻近条件的数学公式和求解。因此简化我们的讨论，假设t内插法，方向条件可由
smacr; · macr;t gt; 0 (3)
接近条件的公式要求使用接近函数的。让两个相交的曲面 s1，s2（图1）由
f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0 (4)
等式（4）左侧的每个函数都是各表面的接近指示器，因为它在表面上为0，一边是正的，另一边是负的，并且随着与表面的距离增加而绝对增加。满足关于交叉口的接近标准步骤必须将f和g的值都推向0。所以，它必须在f中产生一个变分f，f为负数。 如果f为负，则g为正且为正 对于G.如果我们选择沿着st切线向量，用于追踪交叉曲线的步进选择问题如下：
maximize smacr; · macr;t
subject to f · f lt; 0, g · g lt; 0 (5)
对于t内插，s内插最小化。
步骤选择问题的一个更明确的公式 通过引入切线向量的表达式得到t=[tx，ty，tz]和微分f，g ，和fg的偏导数。关于曲线的回顾 在曲面上，切线向量与曲面相切。 因此，垂直于表面梯度向量（自身 垂直于表面），我们得到：
对于插值，问题就变成了
最大化：tx dx ty dy tz dz
因为每一步都必须将f和g都推向0，所以每一步如果不相等符号的值当前位置的函数（f或g）为负且函数值为正。这是一个整数规划问题，其中未知变量dx，dy，dz 集合中的值[minus;1、0、1]。一旦确定了步骤，位置变量，函数f，g，它们的偏导数更新了切向量和整数程序重新解决。从给定点K0开始，躺在 两个曲面的相交曲线，步骤选择过程 在每个生成点k1，k2，hellip;直到一个给定的到达终点kn，也位于交叉曲线上（图1）。
3 参数定义曲面的扩展
对于阶跃选择问题的参数公式，首先假设对于当前点p0（x0，y0， z0）位于表面s1，s2的交叉曲线上，生成路径的对应点是p（x，y，z）和 距离p，p0不超过预先设定的步长（图2）。 假设p1（x1，y1，z1），p2（x2，y2，z2）其中p的n1，n2法线与曲面相交。
图2 沿两个参数化定义曲面相交曲线的运动生成
步骤选择需要计算切线向量t 在这种情况下，可以用叉积表示
t = Nmacr; 1 times; Nmacr; 2 (10)
分别位于表面s1、s2上的点p1、p2的参数表示由位置矢量给出。
其中（u1，v1）和（u2，v2）是独立参数两个表面的坐标。法向量n 1和 nrsquo;2分别写为
式（12）可以明确地写为
交叉积的坐标可以通过计算
因此，所需路径t的切线及其坐标 Tx，Ty，Tz可以写成
关于接近性标准的制定，可以根据距离平方函数
每个预期步骤对上述距离的影响 分别用微分表示
其中p1x、p1y、p1z和p2x、p2y、p2z分别是p1、p2的偏导数。
因此，接近条件可以表示为 一组不等式
因为p1，p2是恒为正的。
经过以上解释，步骤选择问题用于插补作为两个参数化定义的表面，可表示为跟随：
和隐式公式一样，这个问题又解决了。作为一个整数规划问题，其中变量dx，dy，dz，取这些设置的值[-1，0，1]。一旦确定并执行步骤，坐标在p1中，p2被更新以保持正常状态。更新过程分别适用于每个P1， p2通过求解从条件中导出的系统
例如，对于p1，编写并行性条件为
值得注意的是，从上述情况来看只有通过设置两个坐标，提取方程式如果交叉积等于0，则暗示第三个。 例如，设置前两个坐标等于0，我们获得系统
将牛顿方法应用于系统，未知迭代计算该系统的变量u1，v1 使用它们的最后一个值作为起点。一个相似的 在P2的情况下，系统针对u2，v2求解。
- 实施问题
数控机床的操作由用G代码编程语言编写的程序叫零件程序。零件程序包含有序的一系列陈述详细说明要执行的切割机动作和辅助操作（例如，旋转开/关，主轴速度和进给速度），由数控机床以加工指定零件。陈述由单词组成，字符和数字是构成一个词的元素。例如，声明
N10 G01 X200 Y300 Z100 F200 M03 S800
由以下单词组成“N10”,“G01”,“X200”,“Y300”,
“Z100”,“F200”,“M03”,“S800”,意味着序列号为N10的状态，需要移动 工具从当前位置到位置（200,300,100） 线性（G01），进给速度为200毫米/分钟 主轴顺时针旋转（M03），转速为800转。
除G和M之外的每个代码都具有独特的功能。 G和M具有许多功能，具体取决于后两位数字。这些功能已被标准化，通常称为“M代码”一般来说，一个名为准备功能代码的G代码为一种运动或一种运作方式 ，一个名为辅助功能代码的M代码，打开/关闭各种操作（例如，冷却剂流，主轴等）。必须注意的是，并非所有可能的代码都是被分配好的，这意味着控制系统制造商 可以将那些剩余的用于他们想要的任何目的。新的CNC编程功能就是其中之一。毕达哥拉斯 - hodograph曲线[12]和实时表面插值[13]是这样的代表性例子，新的编程能力在这些作品中，作者除了介绍新的CNC插补器之外，还提出了用于执行相应插值的G编码。以同样的方式，提出了空间曲线插值器 在本文中可以嵌入CNC控制器中在特定的G编码下。
所提出的空间曲线插值器的结构在图3的两个流程图中描绘表示原始表面的各种模式（隐式和参数）。两个未分配的G代码，一个对于每种表示类型，可以参与编纂零件程序中的空间曲线运动。各自的状态必须包含其中包含的几何信息 流程图的输入数据框以及所需的切割条件。基于这些信息，CNC 计算机执行空间曲线插值，发布每个程序迭代所选择的步进命令到机床轴的驱动电机。重复此过程，直到达到编程的终点。
图3.空间曲线插补程序的流程图。 交叉表面是（a）隐式定义的和（b）参数化定义的。
- 测试结果
该算法在测试版本中实现，隐式和参数。择两个代表性的测试，每个版本一个，以证明该方法的有效性。
示例1.考虑与a的表面相交的平面以球体原点为中心，如图4所示。目标是整圆或任何线段的插值能力， 圆的定义为的交点曲线两个表面。球体表面（半径为r） 由等式隐式定义
通过原点的平面方程是
这可能来自空间中的三个点。这些点是那些圆弧的起点和终点Ps（xs，ys，zs）和 Pe（xe，ye，ze）和那些圆弧的球心c（xc，yc，zc）。 假设这些点是不共线的，平面方程可以写成
图4.定义为和球体平面相交的3D圆
图5.沿着示例1的测试圆的切割器路径，在3D呈现（a）中以0.1的步长生成并且步长为1。 XY平面（b），XZ平面（c）和YZ平面（d）上的投影
通过扩展各个决定因素从中提取系数A，B，C。
在定义上诉的两个表面之后，它们的交叉曲线（3D圆弧）的相互连接可以是由基于流程开发的程序实现，图3a中所示的图表。
图5a展示出了内插的3D路径，步长= 0.1，对于作为交点获得的整圆半径r = 30的球体，形成倾斜平面与水平面成30°角并包含 Y轴。
除了球心（x = 0，y = 0，z = 0），a 起点坐标（x = 25.98，y = 0，z = 15）和带坐标的中间点（x = 0，y = 30，z = 0）用于定义特定平面。确定中间点的坐标是不是中间点的坐标，在全圆或半圆的情况下，最后一点是必要的，因为在这两种情况下，三点（开始，结束， 中心）变得共线，否则无法定义平面。
每个步长的位置误差的估计在图5b中示出。这些数字预测了在三个坐标平面XY，XZ和YZ上生成的路径。 步长为1用于清楚地看到路径。XY和YZ平面上的投影是椭圆形， XZ平面上的投影是一个直线段，每次遍历整个圆圈时经过两次。 有可能在所有三个数字中都可以看到，即生成的路径，从图中得出，在理想状态下路径不止一步。
图6.定义为球体和椭圆体的交点的3D曲线。
示例2.选择以下示例来说明算法的参数公式和处理。考虑由球体（r = 50）和椭圆体（a =。）的交互表面形成的
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