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第3章
控制系统的调试
调试是为了获得期望性能而设置控制器增益的过程。在要求苛刻的应用中，这种调试可能比较困难。控制系统在响应速度与稳定性方面有其同有的缺陷，当受控机器或者过程要求控制器提供其所有性能的时候，调试将是一个挑战。
与其说调试很复杂，不如说调试不为人熟悉。日常生活中，鲜有任务和调试过程具有相似之处。基于人力的人工控制是如此的完善，以至于一般人很难理解与之相比较起来很简单的工业控制器。一个能给予启示的例子是当一个人错估了物体的质量就去举起该物体。大多数人可以想到，捡起一个以为装满了东西而实际上是空的容器时，随之而来的就是急跳动作。当然，人的意识很快会恢复，并平滑了该动作。这种意识上的恢复称为“自适应行为”，这在人当中是非常普遍的，但在工业控制器中，却是几乎看不到的。
调试的目标是确定系统响应最优的增益。高增益提高了响应速度，但却把系统推向了不稳定。这种不稳定的现象来自于整个反馈回路中延迟的累积。减少控制回路中的延迟是为高增益提供空间的一种可靠方法。这就是许多响应快的应用要求快速采样与高速传感器的原因。
本章将研究不稳定的起因，其中包括两个定量量度的讨论相位裕度与增益裕度。一个比例一积分控制系统将作为一个详细的示例来说明其主要原理。随后，提出基于频率分段调试步骤的研究，最后，以被控对象变化、多控制回路和饱和的讨论结束本章。饱和是最普遍的非线性特性。
3.1闭合控制回路
考虑一下为什么需要闭环控制。许多被控对象与生俱来是不可预测的，因为控制变量是所加信号的积分。参阅表2-2，并注意到在每种情况下，所用信号综合起来产生控制变量。控制这样一个没有反馈环节的变量将意味着信号可以通过设置它的导数来进行操作。一般来说，这娱不现实的，因为即使对象增益有很小偏差或者扰动都将积聚在积分当中。
在闭环系统中，控制器将首先通过它的微分(没有其他选择)向控制变量发出指令，然后测试结果，并调整输出误差。虽然只有微分可以直接操作，但控制回路允许变量的紧控徽(Tight Control)。不幸的是，控制同路本身也是不稳定源。下文的讨论表明，当信号经过控制戸路时，控制系统中固有的相位滞后可以累加到足够大到导致不稳定。
不稳定性的源
控制回路必须具有负反馈。在图3-1中，如果求和连接器符号“ ”与“-”颠倒了，将导致不稳定。许多人有过颠倒测速计、热敏电阻或者电压传感器的接头的经历，由于正反馈导跫控制系统产生的校正信号向错误方向运动，使得系统跑飞。如要求正向响应，系统响应就应该羞向的，但是若反馈信号反向，则结果是使求和连接点的行为犹如被控对象产生反向响应一控制器于是产生更大的正向指令信号，系统继续产生更大的正向响应，周而复始，系统就跑飞了。
错误的连线并非控制回路中产生符号改变的仅有方式，它也可以由整个控制回路的足够多的相位滞后积累而产生。与反馈接线错误所导致的不稳定不同，由相位滞后积累导致的不稳定通常发生在某一个频率点上。这就是为什么不稳定的控制系统通常会振荡，而不是反馈线接反了的时候产生的跑飞。认为在某一个频率点，特别是在某个高频点上的不稳定性会带来严重问题，这是违反直觉的。对这一问题的自然反应就是想知道。“为什么不避免在振荡频率点激励控制系统?'对于这个问题，那是由于所有系统都有噪声，噪声实际上包含所有的频率，如果一个系统在某一个频率不稳定，通常在几微秒内系统就能找到该频率。
为说明相位滞后是如何积累的，把图3-1所示示例改为图3-2。这个控制系统用一个240Hz的正弦波激励，每个方框产生一定的相位滞后。控制器为Pl控制器，它产生一个4°的小滞后；功率变换器通常也产生滞后，这里产生了25°的滞后被控对象引人了90ordm;的滞后、这是随后要讨论的积分器特征；最后，反馈元件的固有缺陷产生另外的61°滞后。所有的这些滞后之和是180ordm;，等价于符号反向，因此一个240Hz的信号在经过控制回路后，其符号改变了，这也就是正反馈。
对于大多数控制系统，至少存在一个这样的频率，它的相位滞后积累为180ordm;，但是单有这个条件不足以导致不稳定。要产生不稳定，控制回路的增益还必须等于1。同样地，与相位滞后类似，控制回路中的每个环节都有增益。整个控制回路的总增益是各环节的增益之积，若以对数单位分贝(dB)来度量，那么控制回路的总增益则是单个环节的增益之和。考虑240Hz处(此处相位漂移180ordm;)的增益，如果整个回路的增益很小，比如10%(-20dB)，那么符号反向也不会产生持续的振荡，因为信号在通过整个控制回路的时候，已被控制回路充分衰减掉了。不稳定需要两个条件符号反向与整个控制回路的总增益为l。这样，控制回路产生自持振荡、信号通过控制回路后，无衰减地反向了，然后加回到它本身，无限制地周而复始。图3-3说明了这种现象的条件。
由图2-5导出的G/(1 GH)规则对这个问题给出了进一步的了解。首先，注意到GH是控制回路增益的数学表达式。正向通路G含控制律、功率变换器和被控对象，反馈通路H只含反馈环节。注意，控制网路增益0dB＜-180ordm;等价于GH＝-1，如果GH＝-1，控制回路传递函数G/(1 GH)的分母则为0，这将产生一个无穷大的数。
3.2 模型的详细回顾
下面就给出图3－1至图3-3中系统的每个单元的伯德图，为接下来讨论的开环法及其派生方法做好准备。图3-4给出了图3-1中使用PI控制律的系统。
3.2.1积分器
图3-4中右上方的被控对象以一个积分器的形式给出，即G/s，其中G设置为500。这可能是2mH电感器(T(s)=l/Ls)的增益，也可能是转矩常数(Kr))为1N·m/A、惯量（J）为0.002kg·m的电动机的增益。在这两种情况下，被控对象增益为500/s。在第2章已提及，任一个s函数的相位与增益可以通过设置s＝jtimes;2pi;f来计算。因此有式中j=radic;-1。 j的增益为1(OdB)，相位为90°，由于有-j项，故G/s的相位恒为-90-ordm;。G/s的增益下降的量正比于频率增大的量，这可以从式(3-1)看出来。式(3-I)的伯德图如图3-5所示。主意，每10倍频率增益下降加dB(1/10)，表明了增益与频率之间的反比例关系。
可以通过考虑作用力及其积分、速度之间是怎么关联的来对积分器做进一步的了解。图3 6给出了时间域的这种关系。当作用力(功率)处于其峰值时，响应中导致的加速度最大。当作用力处于其反向峰值时，反向加速度最大。作用力过零时，速度是一个短暂性地恒定。这时，以观察到大信号(速度)滞后小信号(作用力)1/4周期，也就是90ordm;。
3.2.2功率变换器
功率变换器可建成一个低通滤波器模型。当然，功率变换器比一个滤波器复杂得多。例如，在电子功率变换器中，常用复杂的调制来把指令信号转变为高效、低谐波的功率。但是，功率变换中的复杂关系通常发生在高频，而在控制网路运行的低频段的影响要简单得多。假定功率变换器的带宽为800Hz，就我们的目的而言，功率变换器模型可以是二个双极点低通滤波器。这样个滤波器的伯德图如图3-7所示。
注意，尽管带宽为800Hz，但低通滤波器的相位从80 Hz就开始下降了。这是典型的低通滤波器，同时也表明，用其进行降噪存在一个问题，那就是在实现噪声衰减之前，相位已经下降很多。低通滤波器是用来降噪的，但对于控制系统来说，其代价是相位的滞后。相位滞后降低了系统的稳定性。
3.2.3 PI控制律
控制律为比例一积分(PI)控制的控制器是工业中最为流行的一种。比例增益提供稳定性与高频响应，积分项确书平均误差趋向于0。Pl控制的优点是只有两个增益需要调试，没有稳态误差，响应速度快；主要的缺点是对于阶跃指令信号，PI控制器通常会产生很大的超调。
PI控制器的输出是两个信号之和，一个正比于误差，另一个正比于证券的积分。积分消除了稳态误差，但是也注入了相对滞后。如前面所讨论的那样，积分项的相位滞后为90ordm;，比例增益的相位滞后是0ordm;。PI控制器的相位滞后总是在这两个边界之间。
PI控制器有一个转折频率，它定义为K1(积分增益)，以rad/s为单位。参阅图3-4，控制器的输出是(K/s I)K.，。当指令信号频率远低于转折频率时，积分项起主导作用。这个问题比较明显，因为当s很小(也就是低频)时，K/s远大于1。当指令信号频率远高于转折频率时，
K,/s减小，并远小于1。审视图3-8所示的伯德图，指令信号远低于转折频率时，伯德图看上去像积分：相位是-90ordm;，增益随着频率的增大而减小；指令信号远高于转折频率时，伯德图看上去像一个比例环节：相位为0ordm;，随着频率的增长，增益曲线变平，与此同时，相位攀升。这种特性是典型的PI控制律。
本Pl控制器中的转折频率等于K1,.注意到生成图3-8时K1设置为100。领会到K1是以rad/s为量度单位的，即可知道转折频率应为K1，或者说约为15Hz，这和图3-8是一致的。虽然这个模型给出的是以rad/s为单位的K1，但是要知道，供货商用整数和产品专业单位给出K1是很常见的，而对于用户来说，这通常是令人费解的。有时候，询问产品供货商，他们就会把这些产品专业单位转换为一般单位、因此虽然没必要知道标准单位的K1，但如果知道，还是可能会有用的。
3.2.4反馈滤波器
同功率变换器一样，反馈环节也是建立成一个低通滤波器模型。反馈装置中的低通效果是很常见的。反馈机构可能包括固有滤波特性，如温度传感器的热容。外置滤波器通常用来消除模拟传感器的噪声。有时候，信号处理本身成为一个闭环系统，例如，在运动控制中，旋转变压器一数字变换器包含一个把旋转变压器信号转换为位置与速度信号的内部控制系统。这些处理由于增加了相位滞后而使得控制回路品质降低，但依然可以建立成滤波器模型。这种最能代表反馈装置的滤波器在选用时需要仔细的分析，通常还需同装置生产商进行协商。对于这种模型，反馈环节是用一个带宽为300Hz的双极点滤波器来表示的。该滤波器的伯德图如图3-9所示。再次注意，虽然该滤波器从带宽的1/10处开始出现相位滞后，但直到更高的频段才有明显的衰减。
3.3开环设计法
到此为止，各框的传道函数巳经审视完毕，于是可以开始推导开环设计法，或者说频率响应设计法。其第一步是写出开环传递函数，等价于图2-5中的GH。这是控制回路中每个级联框的增益与相位的求和过程。对于这个实例，闭环(G/(1 GH))的增益与相位、开环(GH)的增益与相位在图3--10a和图3-10b中并排给出。闭环伯德图(图3-10a)展示了闭环系统的典型特征：低频时的0dB增益和0ordm;相位随着频率的增长，两者均下降。将闭环伯德图与图3-10b的开环伯德图相比较，可以发现，低频时开环系统的增益非常大，这是由两个积分器(被控对象和机控制器)引起的特征。随着频率的增高，由于积分器与滤波器的存在，增益下降。注意，开环增益在低频时很高，然后很快下降蚕在某个频率。增益可能通过OdB,该频率称为增益穿越频率，本例的增益穿越频率在50Hz。
由于两个积分器各贡献了90ordm;的滞后，因此，在低频时开环相位是-180ordm;。注意，相位曲线随着频率的增加而上升，这种上升来自PI控制器，它有一个相位滞后。该滞后随着频率的增加从-90ordm;攀升到0ordm;(见图3-8)。然而，来自两个滤波器的相位滞后从50Hz开始占据主导地位，于是相位曲线向下转折。在某个频率，相位曲线穿过-180ordm;，这个频率称为相位穿越频率。
注意，即使开环(图3-0b)相位在低频时是180ordm;，系统也是非常稳定的，这是由于增益远大于0DB。在相位为180°时，只要开环增益远大于0dB或者远小于OdB，系统就是稳定的。
3.4稳定裕度
理解了当控制同路增益为0dB＜-180°时系统不稳定后，稳定裕度就可以由两种方式来确定。第一种是相位裕度(Phase Margin,PM)。PM由处于增益穿越频率(在该频率处，增益为0DB)时的相位来定义，特别地，PM是实际相位与-180°之差。如果PM为0ordm;，那么系统增益为0dB，相位为-180ordm;，于是系统不稳定。图3-lla给出了一个测试PM的开环图：增益穿越频率约为50Hz；PM为55°。
第二种稳定性量度是增益裕度(Gain Margin,Gm)。GM定义为相位穿越频率处(该频率处系统相位为-180ordm;)的增益，GM是实际增益与0dB之差。若GM为OdB,即系跷増益为0dB。相位为-180°，那么系统也是不稳定的。图3-11b和图3-1la是相同的，除了图3-llb给出了约为240Hz的相位穿越频率处测得的15dB增益裕度。
3.4.1量化PM与GM
推荐使用PM和GM作为系统稳定性量度的因素有许多。首先，这是控制系统稳定性最直观的量度，一些有竞争力的方法受到主观测量的影响，比如提取图形的形状；其次，开环设计法是数字的，因此适合于计算机；最后，这种方法不需要用户对控制系统做任何的简化性假设。
虽然PM和CM的测量是客观的，但是确定这两个量度的期望值需要判断。其原因之一是裕度大小随应用要求的变化而变化。例如，有些必须跟随指令信号的应用场合，如阶跃指令信号，除了极稳定的系统，都会产生超调。相对于响应变化柔和的指令命令来说，这样的应用需要更高的稳定裕度。其次，及其他应用相比，有些应用可以承受更大的超调量。最后，对于同样的响应，有些控制方法需要比其他方法更大的PM或者CM。例如，对于一个阶跃响应来说，要获得20%的超调量，PI控制器需要55ordm;的PM,而对于PID控制器来说，其PM为40°时，就可能消除所有超调。
经验说明，GM应为10～25dB之间，这依赖于具体应用及控
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