Design of a Maximally Regular Acceleration Sensor Based on Generalized Gough-Stewart Platforms
Zhizhong Tong, Hongzhou Jiang, Hui Zhang and Jingfeng He
Abstract An analytical formulation and a new routine are presented to design a maximally regular acceleration sensor based on a generalized Gough-Stewart plat-form. The Jacobian matrix considering the measuring point is constructed symbol- ically and also acceleration mapping matrix done. Optimal indices and coupling evaluation are proposed to qualify performances of the sensor. Subsequently, the singular values of the acceleration Jacobian matrix are solved analytically to evaluate acceleration transmission. The conditions for the maximally regular acceleration are expressed in close-form. Based on the analytical formulation, an optimal design routine is put forward to determine a family of orthogonal and maximally regular acceleration sensor. With the aid of numerical examples, the acceleration-coupling is investigated and the results illustrate that the proposed design method is effective.
Keywords Acceleration sensor Gough-Stewart platform Isotropy Circular hyperboloids Coupling analysis
1 Introduction
Gough-Stewart parallel manipulators have been employed in a wide variety of areas such as manipulation, matching, control, tracking, haptic force feed-back, etc. When considering the implementation of parallel mechanisms in the field of sen-
Z. Tong (amp;)
Department of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China
e-mail: tongzhizhong@hit.edu.cn
H. Jiang
e-mail: Jianghz@hit.edu.cn
H. Zhang
e-mail: huizhang@hit.edu.cn
J. He
e-mail: hjfeng@hit.edu.cn
Springer Nature Singapore Pte Ltd. 2017 1343 X. Zhang et al. (eds.), Mechanism and Machine Science,
Lecture Notes in Electrical Engineering 408,
DOI 10.1007/978-981-10-2875-5_106
sors, the Gough-Stewart structure has become an alternative solution for certain applications including force/torque sensors and acceleration sensors. An accelera- tion sensor with orthogonal or isotropic performance has better sensitivity and higher accuracy without doubt, however, it has been researched scarcely any.
A lot of theoretical and experimental investigations on the 6-dof force/torque sensors with Gough-Stewart platforms were carried out in-depth by many researchers [1–5]. In general, few works focused on the 6-dof acceleration sensors with parallel structures. Xu et al. derived a symbolic expression to evaluate the acceleration isotropy of a Stewart platform-based acceleration sensor [6]. An E-type linear accelerometer with three dimensions was developed to measure the applied force from the upper limb [7]. However, the decoupling process was difficult and non-standard due to its unique and complex structure. To obtain a decoupled configuration with compact elements, Gao et al. presented a multidimensional acceleration sensor through the novel architecture of 3RRPRR fully decupling parallel mechanism [8]. For its special mechanism, only linear acceleration can be sensitive. Theoretically, orthogonality is interesting for geometry of mechanism; so many design approaches have been presented. Jafari and McInroy explored various properties of the inverse Jacobian matrix to design orthogonal GSPMs among all the possible geometries [9, 10]. A class of orthogonal Gough-Stewart parallel manipulators was generated by Jafari and Yi et al. [11–13].
As can be seen from the literature survey, the movable platform is served as the inertial mass of the sensor. The measuring point is generally over the geometric center of the platform. What is more, an analytical formulation considering the measuring point has not been proposed to guide theoretical analysis so that an orthogonal structure is hardly to be found for a given requirement. It is a significant work, which would lead to a novel design routine and easily hunt for a family of orthogonal and maximally regular acceleration sensor. These interesting problems attract us to make an attempt. This work concerns about the comprehensive exploration from conceptual design to prototype. In this paper, we will evaluate the acceleration transmission capability for being realistic using a hypercube instead of a hyperboloid, i.e., maximally regular acceleration.
2 Problem Descriptions
2.1 Jacobian Matrix
A generalized Gough-Stewart platform (GGSP), as a variant kind of Gough-Stewart platforms, has been considered a well-established option and been well-studied [11–14], as shown in Fig. 1.
Mathematically, it can be expressed using double circular hyperboloids by [14, 15]
Fig.1 Schematic diagram of a GGSP
where and are the throat radius of the hyperboloids respectively, and and are distances from the center of the hyperboloids to the frame origin. and ccan be called the shape parameters of the hyperboloids respectively and as the sweep angle.
Accordingly, the Jacobian matrix is defined by
where the vectors of and are the unitary Plucker coordinates of straight lines 1 and 6 respectively. represents the rotation angle along z-axis.
;;和
2.2 Acceleration Mapping Matrix
For the special case of a GGSP based accelerometer, the movable platform is preponderant compared with the inertia mass of the struts and serves as the inertia mass of the sensor. Each strut serves as an elastic measuring instrument and sustains tensile strain or compressive strain along its axis. Neglecting the Coriolis/centripetal term and the gravity of the struts, the dynamics equation can be given in the following simplified form
where represents the vector composed of the reacting force on the six struts caused by the
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基于广义Gough-Stewart平台的最大正则加速度传感器设计
Zhizhong Tong，Hongzhou Jiang，Hui Hui和Jingfeng He
摘要 本文提出了一种基于广义Gough-Stewart平台而设计的最大规律加速度传感器的分析公式以及它的新程序。这里考虑测量点的雅可比矩阵是人为象征性地构造出来的，并且它还完成了加速度映射的矩阵功能。文中提出了最优指标和耦合评估，根据它们用以验证加速度传感器的性能。随后，我们分析地求解加速度的雅可比矩阵的奇异值，用来评估加速度的传输效率。最大规则加速度的条件以近似值的形式表示。基于分析公式，我们提出了一种优化设计程序来确定一族正交和最大规律的加速度传感器。借助数值运算的例子，然后研究了加速度的耦合，结果表明之前所提出的设计方法是合理有效的。
关键词 加速度传感器 Gough-Stewart平台 各向同性 圆形双曲面 耦合分析
1 介绍
Gough-Stewart并联机械手现在已经被广泛应用于各种领域，比如操纵，匹配，控制，跟踪，触觉力反馈等。目前，考虑在传感器领域实现并联机构时使用它。
Z. Tong（＆）H。Jiang H. Zhang J. He
哈尔滨工业大学机电工程系，
哈尔滨150001，中国
电子邮件：tongzhizhong@hit.edu.cn
H.Jiang
电子邮件：Jiang@hit.edu.cn
H.Zhang
电子邮件:huizhang@hit.edu.cn
J.He
电子邮件:hjfeng@hit.edu.cn
新加坡施普林格天然气私人有限公司2017
X. Zhang等。（编辑），机械与机械科学，电气工程讲义408，
DOI 101007/98981-10-2575-5Y106
如今，Gough-Stewart结构现已成为某些应用方面的不二替代解决方案，其中包括力/扭矩传感器以及加速度传感器。具有正交或各向同性能的加速度传感器毫无疑问具有更好的灵敏度和更高的精度，但是，截止到现在，它几乎没有被研究过。
许多研究人员对Gough-Stewart平台的6自由度力/力矩传感器进行了大量的理论和实验研究[1-5].一般来说，很少有工作集中在具有平行结构的6自由度加速度传感器上。徐等人得出一个符号表达式，用来评估基于Stewart平台的加速度传感器的加速度各向同性[6]，开发了一种基于三维E型的线性加速度计来测量上肢的作用力[7]，然而，由于其有着独特和复杂的结构，去耦过程往往是困难和非标准的。为了能够获得具有紧凑元素的解耦配置，Gao等人通过3RRPRR这个全新的并联机构的新结构，提出了一个多维加速度传感器[8]，由于其也是特殊机制，只有具备线性加速才能显示灵敏。从理论上来讲，正交性对机构几何有着重要意义，目前已经提出了很多很多的设计方法。Jafari和McInroy研究了逆雅可比矩阵的各种性质，已经在所有可能的几何中设计正交GSPM [9，10]，Jafari和Yi等人设计生成了一类正交Gough-Stewart并联机器人。[11-13].
我们从文献的调查中可以看出来，可移动平台通常是用作传感器的惯性质量测量。测量点通常位于平台的几何中心最上方。更重要的问题是，没有提出考虑测量点的分析公式来指导理论分析，因此我们对于给定的要求，几乎找不到它的正交结构。这对于问题的研究来说是一项非常重要的工作，它将导致能否产生一种新颖的设计程序，并且能否能够轻松地寻找到一系列正交和最大规律的加速度传感器。这些有趣的问题吸引我们值得去尝试。这项工作涉及到从概念设计到原型的全面探索。在本文中，我们将使用超立方体，而不是双曲面来评估加速度传输能力是否趋于真实，即最大规则加速度。
2 问题描述
2.1 雅可比矩阵
广义的Gough-Stewart平台（GGSP）已经作为Gough-Stewart平台的一种变体，现在已经被认为是一种成熟的选择，并且它是经过长期充分研究得出的结论[11-14]，具有一定的权威性，如下面图 1：
在数学的这方面，广义的Gough-Stewart平台（GGSP）可以使用双圆形、双曲线来表示[14，15]。
图1 GGSP示意图
其中 和 分别表示是双曲面的喉部半径，而和是从双曲面的中心到帧原点的距离。和可以分别称为双曲面它的形状参数，可以称为它的扫掠角。
因此，雅可比矩阵可由下式定义为
其中和的向量分别表示是直线1和6的单一Pluuml;cker坐标。表示沿着z轴方向的旋转角度。
;;和
2.2 加速度映射矩阵
对于基于GGSP的加速度传感器的特殊情况，可移动平台与支柱的惯性质量相比，支柱的惯性质量更具有优势，并且它被用作传感器的惯性质量。每个支柱用作弹性测量仪器并沿其轴线承受拉伸应变或压缩应变。忽略科里奥利/向心术语和支柱的重力因素，动力学方程可以用以下的简化形式给出
其中表示由六个支柱上的惯性质量引起的反作用力组成的矢量。可移动平台 表示可移动平台的惯性矩阵。
重写（6），给出了可移动平台它的广义加速度
为了阐明物理概念，我们引入了以下定义。
定义 1 ，定义为加速度映射矩阵，它表示从活动关节空间到空间的加速度传递能力。其中的质量，它将支柱产生的广义力与可移动平台的广义加速度联系起来。
设G表示为加速度映射矩阵，然后我们可以得到
为了方便于分析，我们可以沿平台的主轴来选择坐标。因此，是解耦和对角线的，即。, 和是三个转动惯量的分量。
2.3 加速度最优指数
事实上来说，使用各向同性来描述加速传输能力是不合适的。在本文中，我们就是使用的超立方体，而不是超椭圆体来评估加速度传递能力是否真实，即最大规则加速度。Merlet提出了最大规则平行机械手的术语，用来定义各向同性机器人[16].假设1作为界限，则力满足。但是如果我们使用2范数，那么就意味着它们不是独立的。例如，如果其中一个是1，然后其他都应该会变为0.无限范数应该是一个更现实的规范。那么根据这种规范，力就被限制在关节空间中的六维超立方体中。因此，关节空间中的超立方体被映射到工作空间中的加速度超立方体，其包括加速度超椭圆体。因此，这种操纵器远离各向同性，并且它永远不能获得。我们更喜欢最大规则的术语，而不是单向各向同性的术语，这里要用以避免各向同性概念的混淆。因此，我们专注于最大规律的加速度传感器。
的奇异值是用作指数的，其可以由下式给出
其中
为了能够方便获得具有最大规则加速度的最佳设计，我们在这里引入了最佳性能因素。一个因素是最大奇异值与最小奇异值的比率。平移加速度和旋转加速度在尺寸上不是同质的，因此这里要分别讨论最佳性能因子，并由其表达
其中 是平移加速度的奇异值，而 是旋转加速度的奇异值。
在。（10），如果，则基于GGSP的传感器最大程度地具有平移加速度。当 时，旋转加速度是所说的最大规则的。如果 ，且，则基于GGSP的传感器完全符合最大规则。
2.4 加速耦合评估
加速度映射矩阵并不是整个工作空间的对角矩阵，因此加速度的耦合特性不容我们忽视。它会大大削弱加速度的传递性能，并降低加速度的测量精度。因此，我们在本文中讲到，加速度耦合因子是量化其影响的重要措施。局部范数耦合因子（LNCF）被定义为覆盖加速度矩阵。
其中是0到1范围内的加权系数
Merlet提出了一种等刚度曲线的概念，用来分析刚度映射[16]。类似地，我们可以引入具有恒定LNCF值的轨迹，它是由iso-LNCF曲线表示，用以研究它的加速度性能。在这里，它可以直接识别加速度矩阵符合要求的工作配置。
3 最大规律加速度传感器的分析设计
通常，良好的加速度传感器设计往往是用于以类似的各向同性模式测量所有敏感的加速度分量。从实践的角度来看，最优规的加速度传感器是有最可能是优选的。在本节中，我们将得出完全分析的结论研究。
3.1正交条件
姜等人提出的GGSP的正交分析。[14]可以引入设计。因此，由双圆形双曲线的参数表示的正交条件是
根据之前的研究[14，15]，根据测量中心来确定正交条件。重要的是，加
速度传感器可以设计成满足给定测量点的要求。
3.2 分析配方
当基于GGSP的传感器处于正交时，矩阵GGt 的特征值就可以直接导出来，索引方面可以总结如下：
由于平移和旋转之间的尺寸存在不均匀性，几乎不能实现完全最大规则的传感器。我们可以引入工程长度，来克服这个问题[17]。在本文中，我们用 表示它。
设， 总结（12-19）作为
重写（20）作为和的函数，得到
一旦我们确定选择任意，那么则就可以相应地去确定它的，和。基于近距离的这种数学描述方法，我们可以合成基于GGSP的一系列完全最大规则的加速度传感器。
备注 如果预期标准Gough-Stewart并联机械手属于完全最大规则，则就必须满足 。在实践中，由于存在严格的物理限制，很难去实现它。然而，基于GGSP的加速度传感器相对而言还是可行的。
4 数值验证
借助数值得实例，我们可以验证所提出的算法合理性。考虑到机械得可行性，我们有必要确保组件之间的交叉。表1给出平台惯性矩阵的参数。
表1平台惯性矩阵的参数
|
变量 |
描述 |
值 |
单元 |
|
m |
大众的平台 |
4 |
公斤 |
|
|
平台围绕x轴的惯性矩 |
0.08 |
千克/平方米 |
|
|
平台围绕y轴的惯性矩 |
0.08 |
千克/平方米 |
|
|
平台绕z轴的惯性矩 |
0.104 |
千克/平方米 |
显然，选择框架已经与可移动平台的主轴的方向几乎一致。
因此，我们在一般中性点上生成了一个最优架构形状，双双曲面的表面方程形式为
根据Eq。（28）通过设置和得到结构。验证的体系结构如图2所示。
（a）架构 （b）支撑双重双曲面
图2 数值情况的重新配置机制示意图
图3 中性配置下的iso-LNCF曲线
图4不同横截面的iso-LNCF曲线（）
最大规律的加速度传感器虽然能够以最佳性能运行，但它仅仅是在中性配置下能够正常运行。因此，想要运行的条件能够简化，就必须解决耦合这个问题，然后能够以进行高精度得测量。
在图3中，我们在示意图的指引下，可以看出来在中性配置下，用于最大规则加速度传感器的iso-LNCF曲线。里面有趣的是，我们所获得的传感器是明显具有更好的各向同性性能的，并且它具有低加速度耦合这一优点。正如想要的结果，最后的正交点与测量中心也是重合的。结合机械几何结构原理和柔性接头和弹性支柱的设计，我们通过这一技术可以高精度地制造最大规则的加速度传感器。
如果由LNCF评估的所需耦合测量值仅为0.1％，则在下文中，我们需要使用iso-LNCF曲线来进行估计，最后用以量化全局工作空间上的加速度耦合。数字4图示了在中性姿势，附近的小工作空间的不同平面水平横截面中的iso-LNCF曲线。显然，轨迹区域在小工作空间的所有横截面处保持大致不变。此外，iso-LNCF曲线覆盖的轨迹也可以用于约束高精度的工作区域。这就意味着传感器它能够表现出更好的性能，包括它的均匀性，以及它在工作时候的稳定性。此外，对于特定的iso-LNCF来说，我们可以确定它的体积，其是否适合于具有所需精度和工作空间的某些任务。更明显的是，我们这里所提出的方法是有效并且非常重要的。
5 结论
在本文中，我们为家庭最大规律的加速度传感器提出了一个完全分析的公式。该例程与以前的研究在质量上的结论有所不同。
加速度映射矩阵首先是由双圆形、双曲面的描述构成。我们提出的新指数它是使用的超立方体
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