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附录A 译文
基于非线性相位分析的Linnik显微白光光谱干涉法
测量薄膜厚度
摘要
基于白光光谱干涉和Linnik显微干涉的装置，本文分析了用于薄膜厚度测量的光谱干涉信号的非线性相位分量。利用Linnik显微白光光谱干涉仪可以得到光谱干涉信号，其中包括与有效厚度相关的非线性相位分量、双物镜引起的非线性相位误差以及薄膜本身的非线性相位。为了确定有效厚度的影响，本文提出了一种将有效厚度转换为常数的波长校正方法；然后便可以确定由有效厚度引起的非线性相位，并从总非线性相位中减去。本文还提出了一种双物镜非线性相位误差的提取方法。在去除有效厚度引起的非线性相位和双物镜引起的非线性相位误差后，通过拟合薄膜的非线性相位，可以实现对薄膜厚度的精确测量。实验结果表明，双物镜引起的非线性相位误差的波长校正方法和提取方法都提高了膜厚测量的精度。
关键词：仪器、测量和计量学；干涉显微镜；光谱仪；非线性；薄膜
- 引言
白光显微光谱干涉法结合了单色光学干涉法[1]和白光干涉[2,3]的优点。与这些技术相比，白光显微光谱干涉法解决了相位模糊的问题，并且允许由于光谱特性而消除几种机械扫描过程，最终提高了机械效率。白光显微光谱干涉法具有精度高、速度快等优点，可用于距离和位移的测量、表面形貌的测量[4]、薄膜厚度的测量[5-7]等等。
在测量薄膜厚度的领域中，除了白光显微光谱干涉法，我们也知道许多其他的光学测量方法，例如椭圆测量法和反射测量法。椭圆偏振法测量精度高，但仅适用于测量厚度小于1000纳米的超薄薄膜[8]。反射测量法也允许高测量精度，然而这在很大程度上取决于使用的标准样品[9]。
许多技术已被用于确定薄膜厚度，包括频域分析和质心、相移[10]，以及光谱分辨相移法[11,12]。这些方法可以被分为两类，取决于它们是使用干涉信号的相干信息还是相位信息。当采用基于相位信息而非相干信息的方法时，厚度测量可以达到纳米甚至亚纳米级的精度和分辨率，尽管这些技术的实现更为复杂，因为需要应用相位展开[13]。因此，我们使用基于相位信息的时间相移方法来实现高的精度和短的处理时间。
显微干涉仪通常有三种结构：Michelson型、Mirau型 Linnik型。最常用的是用于低放大的Michelson型显微干涉仪。当放大倍数达到50倍时，Mirau型显微干涉仪是典型的应用。Linnik型显微干涉仪的构造和Michelson型的构造基本相同，但是利用Linnik型显微干涉仪，甚至在高数值孔径情况下可以达到100倍的放大倍数。一些高倍率系统需要比Mirau型有更大的工作距离，这是Linnik型显微干涉仪的任务[13]。在Linnik型显微干涉仪中，参考臂中使用的测量光学元件基本上与测量臂中的目标测量光学元件相同，这大大提高了灵活性，扩大了应用范围，例如通过透明介质（如真空室）或对样品附加刺激电信号来实现测量。
现在已经证明，由于分束镜的调节不当、制造误差或两个物镜的失配，任何路径长度的差异都会给薄膜的非线性相位增加非线性相位误差[17]。在色散材料中，不同波长的光束有着不同的路径。分束镜理论上必须与反射光和透射光的光路相匹配，以避免色差。然而，由于光路调节不当和制造误差，典型的商用分束镜无法完全匹配反射光和透射光的光路，从而引入了色差。对于物镜而言，色散材料、设计参数和设计距离等参数更为复杂，每个商用物镜都是不同的。每个物镜之间的差异导致双物镜的失配，从而导致测量与参考光路的失配。因此，必须消除这些额外的非线性相位误差，以提高使用Linnik型显微白光光谱干涉仪进行非线性相位分析的薄膜厚度测量精度。
与我们之前的工作相比[18,19]，Linnik型引入了两个物镜，使得非线性相位分量更加复杂。为了使膜厚测量准确，需要对非线性相分量进行分离和定量。本文提出了一种波长校正方法和一种提取双物镜失配引起的非线性相位误差的新方法。利用这两种方法，将分束棱镜引起的非线性相位误差（称为有效厚度）和双物镜失配引起的非线性相位误差确定为常数，这将允许我们把影响薄膜测量的非线性相位误差从总非线性相位中去除。消除这些非线性相位误差的影响，可以提高薄膜测量结果的精度。
- 系统构造和测量原理
白光干涉仪通常使用覆盖白光区域的宽带光源，可以在相干长度内产生干涉条纹。其干涉图可以看作是相干单色干涉图的大量叠加。利用处理光谱干涉信号的算法，可以得到相应的相位信息。
图1显示了本工作中使用的Linnik型显微白光光谱干涉仪的原理图。光源是卤素灯，准直后照亮系统。分束棱镜将入射光分成两束，然后这两束光通过两个物镜进入参考和测量光路。测量光束被样品表面反射，然后在分束棱镜处与参考光束干涉。干涉信号的一部分通过光纤由光纤光谱仪收集，经A/D转换后送入计算机；另一部分使用电荷耦合器件（CCD）摄像机成像。
测量光和参考光之间存在相位差，直接决定白光光谱干涉信号。在对光谱仪的原始数据进行处理后，白光光谱干涉信号可以用式(1)表示[5]：
(1)
上式中代表背景光强度，是可见度函数，代表相位差。
图1. Linnik型显微白光光谱干涉仪原理图。
图2展现了一个薄膜的结构，图中0的介质表示空气，1介质表示薄膜，2介质表示基底，表示入射光矢量，表示反射光矢量，是入射角。
图2. 薄膜结构。
一个薄膜的相位差可以根据式(2)决定：
(2)
上式表示空气介质中的光程差(OPD)，这是薄膜上表面与零光程差位置之间的距离；代表波数（即：第一项与成线性比例，仅由薄膜层顶边界的光反射引起）；是膜层厚度；和是薄膜层多次反射引起的相位变化当考虑厚度时，我们可以得知是非线性的，有着关于的正弦形式；薄膜反射率的表达式可以由(3)式表示[7]：
(3)
其中和分别是薄膜上下表面的菲涅耳反射系数，是光从上表面到下表面时的相位变化。可以根据(3)式建立薄膜相模型。对于薄膜引起的相位项[20]，
(4)
其中表示薄膜的线性相位，表示薄膜的非线性相位。很明显地可以看出，在减去线性相位后，可以从反射相位中得到薄膜的非线性相位。图3给出了厚度为1500纳米的薄膜反射相位的模拟信号。给出了总反射相位、线性分量和非线性分量，其中非线性分量通过减去线性分量从总反射相位中得到。
为了获得薄膜厚度，我们使用Levenberg–Marquardt最小二乘算法拟合薄膜非线性相位曲线，并通过优化参数确定薄膜厚度。有如下定义：
(5)
其中和分别表示实验相位和理论相位。
图3. 1500纳米薄膜反射相位的模拟信号。
- 非线性相位测量
在用Linnik型显微白光光谱干涉仪测量薄膜时，通过拟合光谱干涉信号的非线性相位，得到薄膜的厚度。因此，提取薄膜的非线性相位对于薄膜厚度测量具有重要意义。非线性相位有如下分量：
(6)
上式中表示系统的总的非线性相位，代表由有效厚度引起的非线性相位误差，表示由双物镜的失配引起的非线性相位误差，代表薄膜自身的非线性相位。
系统的非线性相位不是纯的，无论是有效厚度引起的非线性相位误差，还是双物镜失配引起的非线性相位误差，都会影响拟合结果。因此，我们使用Michelson型和Linnik型显微干涉仪来测量非薄膜样品（与参考镜相同的银镜），以量化和消除非线性相位误差。
- 由有效厚度引起的非线性相位误差
分光棱镜的制造和装配将会不可避免地会带来误差，包括制造误差和失调误差。图4(a)显示了制造过程中可能出现的三种错误类型：表面误差、几何误差和材料误差。图4(b)显示了装配过程中可能出现的两种错误：横向平移误差和旋转误差[16]。
图5显示了有效厚度的示意图。如虚线框所示，这些误差的影响相当于一块由分光棱镜材料组成的平板，与分光棱镜是否为理想分光棱镜无关，定义其为有效厚度[21]。通过有效厚度的光会产生与空气中不同的光程差，从而产生复杂的相位差。该系统有效厚度的光程差可以表示为：
(7)
上式中表示材料的折射率。有效厚度的光程差相对于空气中的光程差进行测量，会产生非线性光路，从而产生非线性相位误差：
(8)
图4. 分束棱镜的误差：(a)制造误差和(b)失调误差。
图5. 有效厚度的示意图。
然而，由于系统中其他光学元件的影响，有效厚度随绝对距离变化，如图6所示，不利于相分析。
图6. 有效厚度随绝对距离的变化。
需要注意的是。中心的变化是由于绝对距离接近零时的计算误差造成的，由此产生的问题超出了本文的研究范围。
本文提出了一种波长校正方法[18]，以减小由系统其他光学元件引起的系统误差，进而减小有效厚度变化对测量的影响。波长校正可通过以下简单操作进行：
（1）通过移动与电容式传感器集成的压电管（PZT）扫描仪获取不同位置的白光光谱干涉信号，然后计算出相应的相位差；
（2）计算各个不同光程差的；
（3）计算不同的相位差的差值（也就是在不同光程差下的和）；
（4）通过应用优化算法获得不同光程差下和的最佳匹配。
通过应用这种方法，波长校正后的方程为，这里指的是原波长，是校正波长。值得一提的是，我们研究了使用线性和非线性校正方程来校正波长。与高阶非线性校正公式相比，线性校正公式简单，处理速度快，校正后拟合结果更准确。
图7. 波长校正后的有效厚度。
图8. 由有效厚度引起的非线性相位误差。
图7显示了波长校正后的有效厚度。从图中可以看出，有效厚度稳定，波动较小，允许将系统的有效厚度转换为15.25mu;m的恒定值，从而稳定和量化有效厚度的影响。图8显示了由有效厚度引起的非线性相位误差。
- 由双物镜失配引起的非线性相位误差
虽然这里使用的系统配备了两个相同类型和生产批次的显微物镜，他们的不匹配仍然不可避免。此外，商用物镜的设计参数未知，无法建立数学模型，也无法量化不匹配的影响。因此，使用Linnik型来测量非薄膜样品（与参考镜相同的镀银镜），然后提取非线性相位误差，消除其对膜厚测量精度的影响。
用Linnik型显微白光光谱干涉仪进行测量，全相位中的非线性相位有两个来源，即双物镜的有效厚度和失配：
(9)
与之前所述类似，由有效厚度引起的非线性相位误差可以通过波长校正来量化。同时，双物镜失配引起的非线性相位误差可以通过以下线性拟合从全相位中去除：
（1）利用相位提取算法提取解包裹相位，然后获得绝对距离；
（2）用循环迭代法求解干涉顺序，得到绝对距离位置的全相位差；
（3）利用matlab软件中的polyfit函数，通过线性拟合求解总非线性相位；
（4）用线性拟合方法求解有效厚度引起的非线性相位误差；
（5）双物镜失配引起的非线性相位误差等于总非线性相位减去有效厚度引起的非线性相位误差。
应用该程序，2倍双物镜的非线性相位误差如图9所示。
图9. 2倍双物镜的失配引起的非线性相位误差。
图10. 相位提取：(a)所选波段的光谱干涉信号；(b)解包裹相位图。
- 实验结果与分析
为了验证上述波长校正和非线性相位误差提取方法，我们采用2倍双物镜，数值孔径为0.55来测量由VLSI公司（VLSI Standards, Inc.）制造的标准硅基底SiO2薄膜（校准厚度：1052.2plusmn;0.9nm）。
在实验中，选择的光谱干涉信号中的对比度范围如图10(a)所示。然后使用Hariharan 5步相移算法[22]提取相位，得到如图10(b)所示的提取的解包裹相位。通过线性拟合提取非线性相位，并利用式(5)进行优化。图11(a)给出了薄膜的模拟（红色虚线）和测量（蓝色实线）非线性相位之间的比较。从图中可以明显看出，两条曲线之间存在较大误差，相关系数仅为0.8136。在测量非线性相位的基础上，计算得到的薄膜厚度为1028.4nm。
图11(b)显示了采用上述波长校正方法去除由有效厚度15.25mu;m引起的非线性相位误差后非线性相位之间的比较，给出的校正系数为0.8087。算法给出了薄膜厚度为1023.5nm。
图11. 非线性相位的模拟和测量的比较。(a)测量的非线性相位；(b)去除有效厚度引起的非线性相位误差后测量的非线性相位；(c)消除双物镜失配引起的非线性相位误差后测量的非线性相位；(d)消除两个非线性相位误差后测量的非线性相位。
图11(c)给出了消除双物镜与被测非线性相位不匹配引起的非线性相位误差后非线性相位之间的比较，相关系数为0.9961。计算得到的膜厚为1055.1nm，表明精度得到了显著提高。
图11(d)显示了消除由有效厚度引起的非线性相位误差和由双物镜失配引起的非线性相位误差后的非线性相位对比，相关系数为
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