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伺服系统机械共振的在线检测与抑制
Jian Kang, Songlin Chen, and Xiaoguang Di
理论上，机械共振往往会使伺服系统的性能恶化甚至导致其不稳定。对于这种在伺服系统中普遍存在的现象，本文提出了一种在线检测与抑制机械共振的策略。位移离散傅立叶变换（SDFT）用于检测机械共振的存在及其实时信息，它可以用于确定陷波滤波器的参数 。为了消除陷波器动态投入系统时控制输入的跳变，提出了一种基于逐步改变参数和反复离散化滤波器的新方法。当机械谐振随负载变化、元件老化和机械耦合松动而变化时，实时SDFT能够自动检测新的振动信息，并调整陷波滤波器的参数，从而抑制振动。在转台伺服系统上的实验结果充分证明了该策略的可行性和有效性。
- 引言
伺服系统应用广泛，在各个领域发挥着重要作用。无论是采用齿轮传动还是直接传动，由于负载和惯性大，耦合刚度弱等原因，系统中不可避免地存在机械共振现象。大量实验表明，机械共振可能导致控制系统在固有频率下的不稳定，这直接限制了系统的带宽。一般来说，速度闭环带宽只能是共振频率的1/3到1/6。机械振动也使得采用高增益控制器的伺服系统不可能实现，从而导致控制精度下降[1]。针对伺服系统中普遍存在的现象，为抑制机械振动进行了大量的研究。在[2]中提出了加入惯性补偿环节抑制振动的简单方法。但这种方法会带来较大的滞后阶段，不利于系统的稳定。在[3]、[4]中采用了负载加速度反馈来减小机械振动。将电机的加速度信息反馈到速度环，从理论上提高了电机的转动惯量，达到抑制共振的目的。一般来说，加速度可以由勒贝格观测器估计，它必须依赖于精确的数学模型。加速度反馈增益越大，也往往导致不稳定。值得注意的是以上方法都是离线的。众所周知，实际伺服系统的共振频率在长期工作后会因部件老化、机械磨损、负载变化等原因而发生变化。离线方法不能自动调整控制器的结构和参数以适应共振的变化，往往会失去作用。在这种情况下，用户通常可以手动操作重新调整控制参数，使系统能再次正常工作，但非常耗时。因此，在线抑制共振是解决这一问题的理想方法。然而，据我们所知，有关在线共振抑制方法的研究成果很少。考虑到这些问题，本文提出了一种有效的在线检测和抑制机械共振的策略。采用位移离散傅立叶变换（SDFT）方法实时检测机械共振的频率、振幅、宽度等信息。利用陷波滤波器在线抑制振，根据所获得的共振信息，设计了一种自动调整陷波滤波器系数的算法。为了消除控制器结构或参数突变引起的控制输入跳变，对系统造成危害，提出了逐步改变系数，反复离散滤波器的平滑切换方法。本文的组织结构如下：第二节推导了机械共振的两个质量模型，并给出了机械振动对系统性能的影响。第三节提出了在线识别和抑制机械振动的具体方法。第四节详细介绍了实验结果及其分析。第五节是结论和今后的工作。
- 机械共振的双质量模型
在分析和设计传动系统时，常采用假设忽略齿轮刚体弹性变形来简化问题。然后将伺服系统视为一个由电机、纯惯性负载和两个等效传动轴连接组成的三质量系统。考虑到驱动转动惯量远小于负载，且主要分布在轴的长度上，因此三质量系统可以继续简化为双质量系统[5]–[7]。机械模型如图1所示。
图1简化的双质量系统模型
在此基础上，建立了电机驱动侧的动力学方程、弹性轴平衡方程和负载侧的动力学方程。根据这三个方程，可以得到双质量系统的传递函数模型。
图2双质量系统传递函数模型
式中，和分别表示电机扭矩和负载扭矩，和分别表示电机和机械负载的惯性矩。，分别为电机角速度和负载角速度。，分别为弹簧常数和阻尼系数。
双质量系统的传递函数可推导如下。
在不考虑阻尼和摩擦的情况下，导出了双质量系统的共振和反共振频率，如下所示。
从方程（3）和（4）可以清楚地看出，两质量系统的机械振动是由耦合装置的负载和电机惯性以及弹簧常数产生的。相位裕度是衡量伺服系统相对稳定性的重要指标。相位裕度计算如下：
式中，表示共振阻尼，其表达式为：
在上述公式中，gamma;越大，伺服系统越稳定。此外，系统响应速度也是伺服系统的重要性能指标。通常，闭环带宽用做该指示器。闭环带宽越大，响应速度越快。（7）是它的表达式。
由以上两个公式可以看出，闭环带宽和相位裕度与机械振动频率密切相关。低频的机械振动限制了系统的闭环带宽，降低了系统响应速度，对系统产生不利影响[8]，[9]。
三、在线检测与抑制策略
长期使用后，实际伺服系统的机械谐振频率会因部件老化、机械磨损、负载变化等原因而发生变化。传统的离线方法往往会失去抑制共振变化的作用，导致伺服系统再次振动。自动扶梯就是一个很好的例子。为了有效地解决这一问题，需要设计一种在线方法来抑制自适应变化的谐振。要求能实时检测机械振动及其变化可以将时间或陷波滤波器动态地输入控制器中，并根据所获得的振动信息自动调整现有陷波滤波器的参数。本文中，我们的动态抑制策略包括两个主要功能模块：振动检测模块和抑制模块，框图如图3所示。利用振动检测模块，实时分析基于SDFT算法的控制器输出信号，确定机械振动的频率、振幅和宽度。也可以通过分析传感器输出信号得到振动信息，但控制器输出信号含有传感器信息，比直接分析传感器输出信号有更好的效果。振动抑制模块根据振动信息，将陷波滤波器置于前向通道或自动调整现有陷波滤波器的参数，以抑制新的或改变的机械振动。
图3减振框图
- 振动频率检测
离散傅立叶变换（DFT）是许多实际系统中常用的检测振动频率的方法，但其计算量很大，难以满足实时性要求。为了实时检测机械振动频率，我们采用了位移DFT算法，即SDFT。该算法比传统的离散傅立叶变换算法具有更高的效率，特别适合于连续输出的系统计算部分幅度[10]，[11]。所谓的SDFT算法是一个固定长度的移动窗口，它随时间移动，选择样本来计算相应的幅度。
对于离散时间信号，其DFT表达式为：
通过离散傅立叶变换可以得到与该信号对应的N点谱值。
假设在q时刻，滑动窗口选择的n个样本的顺序如下：
根据傅立叶变换理论，q时刻n点k次频率单位的值为：
它在q 1时刻的值是：
经过中间推导，得到n点SDFT递归表达式：
因此，SDFT递归表达式为：
从上面的公式可以看出，只要用减去就可以了，然后加上乘以一个因子，我们就能得到值。在实际应用中，SDFT算法比传统的DFT算法节省的时间更多。在研华610H工业控制计算机上进行了运行时间对比试验。2048点DFT的运行时间平均为3ms，而SDFT的更新计算时间小于0.1ms，因此其速度足以实时检测振动。
- 陷波滤波器及其参数识别
根据第二节推导的机械共振模型，选择简单实用的陷波滤波器作为抑制振动的修正环节。其传递函数表示为
其中，是陷波滤波器的中心频率，是表示陷波滤波器深度的比例因子，表示陷波滤波器的宽度。它们的单位是赫兹，但除外。
其波德图如图4所示：
图4陷波滤波器波德图
从频域分析可知，陷波滤波器可以在中心频率处提供较大的振幅衰减，对其它频率区域影响不大。利用陷波滤波器，通过适当调整滤波器的中心频率、振幅和宽度等参数，可以有效地抑制机械振动。因此，确定这三个参数xi;、k、f是机械振动抑制模块的一项重要任务。接下来，如图5所示，将分别提供三个参数的确定原则。
图5参数识别框图
- 滤波器中心频率f
滤波器的中心频率很容易确定，它只是SDFT分析曲线最高点对应的频率。如图6所示，滤波器中心频率表示为：
- 滤波器宽度参数k
宽度参数k表示陷波滤波器凹陷部分的范围，如图4所示。由于振动频率附近的振幅较高，为了有效地抑制振动，陷波滤波器应具有一定的宽度。一个自然的想法是把宽度参数变大。但如果过大，会导致开环截止频率相位角损失过大，从而恶化系统的坚固性，甚至使系统不稳定。因此，宽度参数的选择是一个权衡设计问题，其基本原理是在有效抑制振动的同时尽量减小宽度参数。
图6 FFT频谱分析曲线
如图6所示，在设计的陷波滤波器的作用下，振幅应衰减到给定的阈值。假设阈值为，水平阈值线将与中心频率两侧的FFT曲线相交。
宽度参数由以下原则确定：为了确保陷波滤波器能够有效地抑制机械振动，宽度参数k可以选择为最大值和的两倍，如下所示：
另外需要注意的是，阈值的设置与FFT样本的大小有一定的关系，需要一些工程经验。在第五节的实验中，我们使用2048点的FFT来识别机械振动，并设置阈值。
- 过滤深度参数xi;
深度参数代表缺口中心频率处的凹陷程度，在知道参数和后，可通过以下表达式确定。
为了保持一定的边缘，可以将表达式修改为。一般情况下，的值可以在0.7到0.9之间选择，具体值可根据实际系统调试情况绘制。这里我们将值设置为0.8。
通过SDFT算法可以在线获取振动信息。因此，利用上述原理可以确定陷波滤波器的参数。然后将陷波滤波器作为控制器的一部分输入前向通道，及时抑制机械谐振。尽管机械振动可能会再次发生变化，但也会再次检测到变化，从而自动调整滤波器的参数，直到振动减弱到所需的水平。
- 过滤器专用工具
目前，大多数伺服系统都采用计算机来完成控制任务，从而实现了控制器的离散化。因此，陷波滤波器在使用前必须离散化，其传递函数（14）可以写成如下微分方程的形式。
相应的Tustin离散系数计算如下。
式中，T为采样周期。为了在线抑制振动，必须动态添加或调整滤波器。但它会引起控制器的输出跳变，对系统产生不利影响。因此，我们提出了一种通过逐步改变参数和反复离散滤波器来平滑地添加和调整滤波器的实用方法。众所周知，深度参数决定了陷波滤波器的陷波水平。当它等于1时，陷波滤波器的波德图没有一条等于系数为1的比例分量的线在这种情况下，它对系统没有影响。因此，在给定的步骤中，深度参数可以从1逐渐变为设定值。在这个过程中，陷波滤波器应在每个采样周期内重新离散化。由表达式（18）可知，离散系数将不断变化，则不断变化。如果陷波滤波器的输入是平滑连续的，那么它的输出也是连续平滑的。如果在加入陷波滤波器后检测到新的振动变化，滤波器参数可以在给定的采样周期内从（0xi;、0 k、0 f）逐渐变为（1xi;、1 k、1f）。该方法避免了控制器结构和参数的突变对系统的不利影响。
四、经验
为了验证该方法的可行性和有效性，在三轴飞行仿真转台上进行了实验，如图7所示，这是一个典型的伺服系统。该三轴转台由交流永磁同步电机（PMSM）驱动，用光电编码器测量角度。控制系统采用先进的610H工控机作为硬件平台，软件平台采用WindowsXP和RTX6.5。采样周期设为0.5ms，实验中采用2048点SDFT进行机械振动检测。根据实际调试情况，阈值设置为400。
图7实验平台图
为了验证在线消振方法的有效性，设计了使转台在运行过程中振动的实验装置。我们使用内环来进行实验，因为在操作过程中移除机械负载既简单又安全。具体实验过程如下：首先，让内环在满载条件下工作。然后给出一个频率为1赫兹，振幅为0.5度的正弦信号作为输入命令。在移动过程中，松开定位螺钉，取下承载板，由于载荷和刚度的变化，内环开始振动。然后，实时检测机械振动，同时确定了陷波滤波器的参数。然后将陷波滤波器动态地输入控制器，逐渐抑制振动。总时间约为2.5s，在此期间逐渐添加过滤器需要0.5s。整个实验曲线如图8所示。
图8实验输入输出曲线
实验中，陷波滤波器的参数分别为、和。FFT分析结果如图9所示。从图9（a）可以看出，在荷载松动之前没有明显的振动。但随着载荷的变化内环开始振动，其振动频率为54Hz。图9（c）表明，根据在线识别信息，在控制器中及时加入适当的陷波滤波器后，机械振动得到有效抑制。但频谱曲线与图9（a）所示略有不同，主要是由于设备随着负载的松动和控制器增加陷波滤波器而改变。
- 机械振动前的FFT分析曲线
- 机械振动时的FFT分析曲线
- 抑制后的FFT分析曲线
图9不同相位的FFT分析曲线
- 结论
针对伺服系统中普遍存在的机械振动问题，提出了一种在线检测和抑制振动的有效方法。通过SDFT对机械振动进行检测，给出了陷波滤波器参数的确定算法。此外，还提出了一种在控制器上添加陷波滤波器的方法。最后，通过实验验证了该方法的可行性和有效性。目前，该方法已成功应用于哈尔滨工业大学研制的三轴飞行仿真转台，能有效地衰减各种原因引起的机械振动，并大大减少维修工作量。然而，为了使滤波器参数对伺服系统性能的影响最小化，需要进一步研究滤波器参数的优化问题。当陷波滤波器不能有效抑制振动时（例如， 当振动频率与控制系统的截止频率非常接近时，陷波滤波器会导致失稳），应考虑如何对整个控制器进行动态调整以抑制它，这是我们今后的工作。
参考文献
[1] Q. Hu and H. Tong, “The study of the mechanical resonance of servo system,” Electric Drive, 2000, pp. 7-11.
[2] L. S. Li, Radar servo system. National Defense Industry Press, Beijing, 1983, pp. 12-30.
[3
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