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第九章
侧倾运动处理
到目前为止，我们已经研究了在假设忽略侧倾的情况下车辆的处理行为。事实上，我们还没有完全忽略侧倾角度，因为它们对于评估是绝对必要的，例如横向负载转移。但我们没有考虑例如侧倾运动的惯性效应。
在这一章里，考虑了侧倾运动（图9.1）。这项工作很不容易，因为分析变得更加复杂[7]。但是，它也揭示了汽车动力学中最有争议的概念之一：侧倾轴[1-4,8]，在本书中被称为无侧倾轴。这个概念已经在3.8.8讨论中过，但是在这里需要再次的考虑这一点。
从我们一开始分析的结果来看：侧倾轴，作为车辆侧倾的轴线，是不存在的。或者，换一种说法，车辆侧倾的轴线的概念是没有意义的。我们知道这听起来很生硬，但它就是这样的。尽管车辆确实侧倾，但是像这种作为车辆侧倾的轴线的东西是不存在的。也可以得出一个相似的结论[5]。就像在3.8.8里定义的那样，无侧倾轴依然保持其有效性。
9.1车辆的位置和方向
当假设不发生侧倾时确定车辆的位置和方向是一件简单的事情。如图3.3所示该运动是二维的，并且根据地面固定参考系可以得到质心G和横摆角Psi;的坐标。
包括侧倾（也许，加上前倾）可能意味着必须处理一个完整的三维问题。因此，我们必须使用更精密的工具。非常矛盾的是，事实证明，明确定义车身的方向更容易，而不是车辆的位置。原因是“车辆位置”的概念已经不那么清晰。
图9.1 包含侧倾运动Phi;汽车基本结构
事实上，滚轮使G点在车轮旁边移动，但这一运动并没有直接改变“车辆的位置”。换句话说，我们假设车辆的横向速度v不包含任何滚动因素。我们将解决这个重要方面。首先，需要介绍一些其他的概念。
9.2横摆，前倾和侧倾
尽管每个人对车辆的侧倾、俯仰和横摆都有一种直观的概念，但是在这个阶段我们需要一个更精确的定义。我们的目的是确定车身（假设车身是缸体）对固定地面参考系统的定位。一个典型的方法是给出一个三维旋转的序列，这是关于一个坐标系的轴的旋转。
这个三位旋转旋转必须遵循一定的顺序。话句话说，相同的旋转在不同的顺序提供了不同的方向。这个方面可以在一个简单的例子中得到体现。在图9.2（a）中，一个平行六面体绕i轴旋转90度,然后绕j轴旋转minus;90度。在图9.2（b）中，同样的平行六面体也有同样的在这两个方向上旋转，但是以相反的顺序。最终的方向是完全不同的，因此证实了有限旋转是不可交换的。
图9.2 不可交换旋转（即顺序很重要）
人类对二维旋转很熟悉，也许欧拉在他发明了通常被称为欧拉角的三维旋转技术时也不例外。它的基本思想是生成四个笛卡尔坐标系的序列，每个参考系与前一个参考系共用一个轴，并且与下一个参考系共用一个另一个轴。因此，我们可以通过一个绕公共轴线的二维旋转从一个参考系找到下一个参考系。
在汽车动力学中，使用以下的参考系序列是很方便的（图9.3）从方向的地面固定参考系得到方向的汽车参考系。
（9.1）
这个汽车参考系在图1.4中已经介绍过，虽然符号稍有不同（无下标）。当车辆静止时，方向是与里面正交的（因此指向），方向与路面平行并且指向前方（因此类似于，图9.1）。
车辆运动时，会做出相应的运动。在任何时刻的关键步骤是对辅助方向的定义
(9.2)
这个辅助方向通常被称为节点行，且与方向和方向都正交。这个方向是用来联系地面参考系和车身参考系。通过这种方式，我们可以用有关方向的基本旋转角度psi;从参考系得到参考系。任何两个连续的参考系统在同一个二维旋转的情况下都是不同的，如图（9.1）所示。
图9.3 横摆，前倾和侧倾的方向
更准确的说，如图9.3所示，第一个旋转角度psi;（横摆）是有关参考系和参考系的公共轴，即第三个轴，第二个旋转角度theta;（前倾）是有关参考系和参考系的公共轴，即第二个轴，第三个旋转角度phi;（侧倾）是有关参考系和参考系的公共轴，即第一个公共轴。这就是基本旋转方向被标记为（3,2,1）或者被称为横摆，前倾和侧倾的原因。在汽车动力学中，前倾角和侧倾角都非常小。
9.3角速度
在这个参考系的顺序下，车身的角速度Omega;是由下式给出
这是一个简单直观的方程，但是它的缺点是三个单位向量不是相互正交的图（9.3）。因此，我们的目标是得到以下等式
用来表达向量Omega;在车辆固定参考系中它的组成部分。
通过矩阵轮换，表达式中的p，q和r能够很容易地得出。
已知，对于通用角alpha;而言，矩阵轮换的元素轮换如下
-绕第一个轴旋转
-绕第二个轴旋转
-绕第三个轴旋转
最终结果是
该结果可以简化为
由于前倾和侧倾的数值过小。因此，车身的角速度在车身固定参考系中可以表示为
此外，如果没有前倾，那么，我们可以通过大量的简化工作进一步得到这样一个简单的结果
这种横摆、前倾和侧倾的定义相当普遍。它只需要合理的假设，即车身被认为是完全刚性的。值得注意的是，在横摆、前倾和侧倾的定义仅仅是四个参考系的轴线方向。他们的位置是他们原点的位置，之间没有任何相关性。
就而言，得到单位向量的表达式是很有用的
我们可以简化为
9.4角加速度
角加速度可通过对（9.4）式对时间求导得出
根据（9.10）可得
9.5汽车横向速度
汽车横向速度v在（3.1）在可忽略滚动运动的情况下已经介绍过。现在我们需要在滚动运动时扩展这个定义。这个任务并不像看上去的那么简单。我们希望直观地得到一个v与Phi;相互独立的一个表达式。因此，一般来说我们要找到一个点不受汽车的运动的影响。一个类似于G的点，只是它不滚动。更准确地说，我们在找图9.3中参考系的原点，这个参考系是横摆而不是前倾或者侧倾。
为了简单起见，我们假设在本章中轮胎是完全刚性的。
9.5.1轨迹不变点
滚动运动是汽车动力学的一部分。然而，从纯粹的运动学分析入手，了解滚动运动的几个影响因素是很有用的。这种运动学分析应该被看作是更好的研究滚动动力学的入门。
图3.11中展示了如何确定摆臂悬架和双横臂式悬架的非滚动中心。在图3.12中同样的方法也应用于麦弗逊式悬吊中。在所有的这些情况下，车辆在其参考配置中（非滚动）。当汽车滚动时，非滚动中心会随着车身发生变动。如图9.1中显示，运用图3.11.i.e相同的步骤，可以得到两条分别经过点和点直线的交点，得到的这些交点就是非滚动中心。
然而，决定非滚动中心的当前位置在这种情况下没有任何关联。更重要的是以下定义。
在车辆参考配置中，我们将点定义为车身上与一致的点（图9.1）。相同的方法应用于后轴可以定义点。这些点被称为轨迹不变点。让我们研究一下它们的性质。
图9.4侧倾情况下不用的点
和相关轨迹位置的比较
在图9.4中，车身是旋转的，反过来，通过相同的侧倾角度Phi;三个不同的点分别被称为，T和B。我们可以看到，在所有情况下，轨迹长度几乎是不变的。然而通常来说，这两个轨迹位置会在这一点上发生横向移动。唯一例外的点是，它保持在两个轨迹位置的中间。这就是它被称为轨迹不变点的原因。
如图9.5所示，侧倾运动中的轨迹不变点不影响与相关的轮胎轨迹位置，这一特性本身适用于任何类型的悬架。
然而，在侧倾运动中车辆并不在意我们采用了哪一点。这一点在图9.6中已经得到证明，在图9.6中我们添加了图9.4中的汽车的三种运动。它们几乎是不可区分的，这表明了车辆侧倾对于滚动轴的概念是没有意义的。对于车辆而言，所有的点，比如T和B都是等价的。
通常来说，除了侧倾还可能有一些悬顶运动会导致车辆垂直位移，如在3.8.10章节中已经讨论过的，图9.7所示的有悬顶和无悬顶的同一轴线，侧倾角都是相同的。这是很明显的，尤其是在比较两辆汽车时，如图9.7（底部）所做的那样，侧倾和悬顶运动的结合就类似于绕点的旋转运动。
图9.5 三种不同的悬架布置情况下，
轨迹不变点的侧倾运动。
从上到下：单横臂式，麦弗逊柱式，
双横臂式。
图9.6 侧倾运动中不同点的比较：
它们几乎在车辆上有着相同的影响。
我们回想一下，由于悬顶运动无论何时横向力通过同一根轴的两个轮胎的作用是不相等的，这种情况确实总是这样的。然而，这只是一个可以被安全地忽视的小问题，尤其是在大多数的复杂悬架中，例如双横臂悬架和麦弗逊式悬架。
9.5.2 车辆不变点（VIP）
现在让我们一起看两个轴，这是整个汽车的情况，就像在图9.8中所做的那样。为简单起见，让我们假设前面和后面的轨迹是相等的，即，并且他们不受侧倾运动的影响（无悬顶运动）。
通常来说，点和点有不同的高度。因此，侧倾运动是前面和后面的轨迹相互之间有一点点的“滑动”（图9.8）。我们说我们知道车辆侧倾的方向（通过定义），但是我们不能说任何关于车辆侧倾的难以捉摸的轴线我们都能知道。
图9.7 有悬顶运动和没有悬顶运动的侧倾情况
图9.8 不依赖于任何侧倾轴解释的侧倾运动
我们正在寻找车身上的一个点，它可以不管侧倾角度Phi;，并且仍然是有关四个接触点的最中心的。图9.8说明这个点对侧倾最不敏感而且确实是一个位于点点之间的点M。
图9.9对点M和的定义进行示意图，
从而得到车辆横向速度v的定义。
因此，在参考配置中，我们定义点M作为车身的一点是与非侧倾中心Q是一致的。我们称M为车辆不变点（VIP）。如图9.9所示，点在地面上是总是低于M点的。
通过侧倾运动，点M的选择是最适合描述汽车位置的，这是合理的（我们是这么认为的），尽管如此随意。然而，这就是通常在汽车动力学中所做的，尽管常常没有提供明确的解释。我们再重复一遍点M并且点也基本上在车辆的中间，即使当车辆发生侧倾时。这是使他们成为监测车辆位置的最佳选择的原因。
9.5.3横向速度和加速度
车辆的速度，根据定义，是车辆不变的点M。因此，很像式（3.1）中
其中的u是前进速度，v是横向速度。我们记得我们假设轮胎是刚性的，并且由于轮胎的变形，车辆并没有发生侧倾。
车辆加速度是由一个与之相同的公式给出的（3.21）
实际上，由于凹凸不平的路面和悬顶运动，点M也有一个垂直速度。在这里，我们假设这条路是完全平坦的并且悬顶运动可以忽略不计。
点M继承了G在3—7中得到的几乎所有东西，在这个基础上，我们必须用M（或者）定义偏滑角beta;，轨迹等等。
9.6 三维汽车动力学
我们假设汽车弹簧质量为刚体。如果将侧倾运动考虑在内，它有一个三维动力学。为简单起见，至少一开始假设非簧载的质量是可以忽略的（i.e.，m=），这是很有用的。
像式（3.51）中的那样，一个刚体动力学的经典力和力矩方程是
其中，它是车辆的总质量，是重心的加速度，F是作用于车身所有力的合力，是当时车身角动量的变化率，是所有力关于G的合力矩。
如果第二个方程是关于新定义的车辆不变点M的，它可以概括为
9.6.1 G的速度和加速度
动力学不能摆脱G。我们要计算它的速度和加速度。
点M和点G都属于同一个刚体。因此，我们可以再用基本公式（5.1）把G的速度和M的速度联系起来，再加上侧倾运动的影响
其中,通过定义可得
因此
在最后一个方程中我们采用了近似表达式。
我们可以用类似的过程表示加速度，其中运用了基本公式（5.4）
即
这个我们可以重写为
每一项都有明确的物理意义。加速度是式（9.19）中力学方程的一个基本组成。
加速度可以在中得到表示
这个可以被重新写为
将式（9.16）代入其中，并且忽视小数据，我们可以得到
如果和也足够小，那么
9.6.2 角动量的变化率
就像9.2中所做的那样，使用车身的参考系是很方便的，它的原点是簧载质量的中心。
正如我们已经提到的，当车辆静止时，参考系的方向正交于路面并且方向平行于路面指向前方（就像图1.4中的固定车身轴没有下标3，或者是图9.1所示）。因此，通常来说，不是作为惯性的主轴。因此，的表达式有点复杂
事实上，大多数的车辆中（）约等于0，因此我们用更加简单的表示式
如果把式（9.14）考虑进来，这个相同的量可以在参考系中表达出来
由于Phi;，theta;，p和q的量足够小，所以有着一下的一些进一步的简化过程
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