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多商品三级系统的生产、运输和配送计划
Hasan Pirkul，Vaidyanathan Jayaraman
为了实现制造工厂和仓库的高生产率，物料流动的有秩序性和灵活性是很重要的。制造工厂和仓库之间的相互作用以及从仓库向客户分配多种商品的问题，是一个集成化的、系统化的设施设计的关键。在本文中，我们针对工厂和仓库选址问题开发了一个混合整数规划模型，目标是尽量减少总的运输和配送成本，以及经营工厂和仓库的固定成本。我们使用拉格朗日松弛模型，并提出一种启发式算法，为该问题产生一个有效的可行解。这个问题是我们为一家制造保健产品的大公司进行研究得出的。本文主要是关于一个可以用来预测公司的业绩的模型的结构发展。
全球市场的成功，要求企业的经营方式发生根本性的转变，并且几乎影响到公司的每一个经营活动。对于振兴美国制造业和物流业，研究制定高效和有效方法论，来协助运营和物流管理者制定竞争性运营策略和物流战略，这在世界市场上具有重要意义。大多数的消费品的流通路径是一样的：在一个工厂开始生产，然后运输到一个仓库，最后分配到一个零售商店以供消费者购买。大多数公司独立管理生产和运输这两个职能，生产和运输调度以及分销计划之间也几乎没有协调。然而，成品运输和配送成本的上升给公司带来了巨大的压力，促使公司发展高效率运输和配送渠道。由于这种压力，许多公司正在探索生产/运输和配送渠道之间更密切的协调。
关于这一课题的研究中，有很多研究是协调有着多级生产-配送结构的企业的运营，并且测量企业协调后对其运营绩效的影响（如总成本、平均服务水平等）。近年来，制造企业尝试集成生产，配送，物流设施选址、库存计划、生产计划、市场营销等不同的功能。另一类研究是生产规划与配送计划的集成化水平。生产和销售计划人员所关心的决策问题是确定每种产品的最佳生产/库存水平，并确定满足顾客需求的多种产品的配送计划，以减少总的配送、运输和持有/建立成本。
本文所讨论的问题是作者为一家生产保健品的大公司进行的一项研究得到的。许多生产工厂为仓库提供多种产品，从而为客户提供不同产品的特定需求量。在这个问题中需要从给定的工厂和仓库中选择最佳的工厂和仓库，规划生产和仓储能力，从而使综合网络的总资本和运营成本最小化。
这个问题是设施选址问题，我们在设施选址方面已经做了大量工作。简单的工厂选址问题就是找出一些设施，以最低的成本为客户服务。感兴趣的读者如果想对工厂和仓库选址的离散型模型有更多的见解，可以参考简单的工厂选址问题（1983 Krarup和普鲁赞）。
关于解决容量限制的设施选址问题的研究也有很多。有些模型是多源模型（Van Roy，1986和比斯利，1988）。产能限制的工厂选址问题通过使用近似解与精确解来解决（吉尼亚尔和斯皮尔伯格，1979，和1983，Krarup普鲁赞，李，1993，SA，1969）。在产能限制的工厂选址问题中，我们给出一组可能的工厂位置，以及这些不同位置工厂的固定成本和产能固定的工厂位，一组已知需求的客户的产品将从这些工厂供应。每个工厂提供给每个客户的所有产品的运输成本也被给予。最终问题是找到一个工厂的子集，在工厂的产能有限的前提下满足所有客户的需求，并使地总的固定成本和运输成本最小化。然而，大多数文献中的问题都集中在工厂与客户之间的联系上，没有考虑到客户对产品的需求是通过工厂运输到仓库、仓库到客户来得到满足的，而不是直接从工厂运输。此外，他们还增加了处理单一商品或产品的限制，那么现实生活中处理多种产品的情景就被忽视了。
也有些论文是解决单源模型（Barcelo和组织，1984，klincewicz和拉斯，1986，1987和1993 pirkul，Sridharan）。在单源模型中，每个顾客的需求只能由一个设施点来满足。当设施向客户配送产品的变量被限制为0-1变量时，问题就变得更难解决。要给若干个设施选址，以最低的成本为客户服务。在这里每个顾客之间的需求是相关联的，总需求由一个产能有限的工厂来满足。在多源模型里，如果给定一组设施，则可以通过求解网络流问题得到客户对设施的最优匹配。然而，对于0-1变量，客户对设施的匹配涉及到分支定界。
埃尔森（1972）提出了一种工厂-仓库的多品种物流问题，集中在一个单级中转库存点。埃尔森的模型承认了扩大现有设施的选项，以及开放新的设施，提供不同层次的客户服务的需要。埃尔森使用标准的混合整数规划代码来解决他的模型。
Geoffrion和Graves（1974）解决了优化流程，产品在工厂客户的路径通过仓库物品的位置问题的版本。的Geoffrion和坟墓模型处理设施选址和客户分配。弯管机的分区程序是适用于解决问题。对于子问题的双重解决方案被应用于生成弯管机切的主问题。然而，该模型不在替代厂址之间选择，也不为植物的年度占有和经营成本纳入任何固定成本。考夫曼，eede，和汉森（1977）制定了一个简单的，无容量限制的设施选址模型的两级分销系统要求的工厂和仓库的同步定位。考夫曼等人的模型强制执行的一个要求是仓库必须位于工厂所在的任何地方。他们的算法使用分支定界过程的方法来解决他们的问题。
虽然分支定界和Benders分解算法技术是众所周知的，但它们也有一些固有的缺点（李，1993）。Benders分解方法只利用问题的原始结构。然而，人们已经注意到，许多混合整数规划问题都很容易解决原始和对偶子问题。像分支界限这样的技术花费了大量的时间和精力去寻找现实问题的最优解。
在本文中，我们考虑了多产品的工厂和仓库选址问题。我们建议的模型，如图1所示，是一个单一的源模型，因此限制客户只由一个开放的仓库提供多个产品。这种特殊的模型以前还没有解决。我们不知道任何现有的解决方案过程，可以直接适应这个模型的新公式。在这个产能有限的工厂和仓库选址模型中，客户通常需要不同产品。这些产品从潜在的仓库发货，这些仓库的产品又来自几个制造厂。客户对产品的需求是由一个潜在的开放仓库满足的。
我们的目标是在满足客户的多种需求下使得总成本最小，总成本包括：将工厂和仓库的固定成本、从工厂到仓库运输单位产品的可变成本、从仓库向客户配送多种产品的成本。
生产、运输和配送环节的设计有两个关键的决策。第一个决策涉及在M个选址地点中选择建立W个仓库，客户对各种产品的需求由开放的仓库来提供。第二个决策涉及在N个可能的工厂选址地点中选择P个作为工厂的实际地点，并且给这P个实际开放的工厂分配仓库。每个客户对不同产品的需求不同，每个仓库对工厂的需求也不同。实际开放的工厂和仓库数量是事先确定的。但是这个模型也可以协调开放的工厂和仓库数量，使之成为模型中的决策变量，来让模型更具一般性。这不改变基本的解决方案框架 。
在第1节中，建立了工厂和仓库选址问题的模型。在第2节中，我们提供了拉格朗日松弛模型，并提供了在每一次迭代中求下界的必要步骤。在第3节中，我们提供了一个启发式求解过程来解决这个问题。启发式求解过程和拉格朗日下界之间的差距为解的质量提供了一个估计。在第4节中进行了计算结果的，也提供一个大规模的例子，使用一家制造保健产品的公司的真实数据。第5节提供了结论和总结。
- 模型的建立
在本节中，我们提出了一个产能有限的工厂和仓库的多产品物流问题。我们假设客户区域的位置及其对多个产品的需求是预先知道的。潜在的仓库和工厂的位置以及它们的容量也是已知的。仓库的数量（W）和工厂的数量（P）将被作为设计参数。这种技术将为决策者提供一个决策支持工具，在指定了一定数量的仓库和工厂地点后，它们的成本是可以被计算的。每个客户对某一产品的需求只能由仓库来满足，每个仓库都可以由任何一家制造工厂提供多种产品。这里的问题是要在潜在的设施地点中分别选择W和P个实际开放的仓库和工厂，将顾客分配给不同仓库，将产品从工厂运输到仓库，并且使得总成本最小，受到工厂和仓库产能的限制。使用的符号如下：
I = {i | i 是顾客}
J = {j | j 是可能的仓库地点}
K = {k | k 是可能的工厂地点}
L = {l | l 是产品类型}
cijl = 从仓库j运输单位产品l到顾客i的可变费用
djkl = 从工厂k运输单位产品l到仓库j可变费用产品（它包含在工厂k生产产品l的费用）.
fk = 建立和运营工厂k的固定成本
gj = 建立和运营仓库j的固定成本
ail = 顾客i对产品l的需求
Vj = 仓库j的最大容量
Dk = 工厂k的最大生产量
q = 顾客数量
m = 可能的仓库地点数量
n = 可能的工厂地点数量
sl = 产品l占用的空间
W = 需要建立的仓库数目
P = 需要建立的工厂数目
我们定义该问题的决策变量如下：
Xijl = 1 如果顾客对产品l的需求由仓库j满足
0 否则
Yjkl = 工厂k运输给仓库j产品l的总数量
Zj = 1 如果在j处建立仓库
0 否则
Pk = 1 如果在k处建立工厂
0 否则
模型P如下：
目标函数中的第一项表示将顾客所需要的产品配送到仓库的配送成本。第二项是将不同商品从工厂运到仓库的运输成本。在目标函数中的第三和第四项分别表示工厂和仓库的固定成本。
约束（1）限制客户i对产品l的需求只能由一个仓库来满足。
约束（2）代表在仓库j的容量限制。
约束（3）禁止将客户i分配给仓库j，除非仓库j是开放的。
约束（4）确保选择W个仓库开放。
约束（5）确保客户i对产品l的所有需求与潜在工厂运到仓库j的 l产品的总数量相平衡。
约束（6）表示工厂k的容量限制，即它能处理的需求量。
约束（7）要求给P个工厂选址。约束（8）强制决策变量二进制性质。
约束（9）对模型中使用的决策变量执行非负限制。
这个特殊的问题以前并没有被解决。我们提供了一种新的基于产能限制的工厂和仓库选址问题模型。该模型也可以不做任何改变而具有一般性。例如，单位产品的搬运费都可以包括在仓库里。该问题属于NP完全问题一类（GAR，安永和约翰逊，1979）。事实上，很明显的是任何试图为问题的每个实例获得最优解的尝试都需要不可接受的计算时间。由于这个问题的线性规划界限很差，所以标准的数学规划包预计不会表现得很好。这一点在我们的计算部分将变得清晰，在这里我们将线性规划与拉格朗日约束做了比较。因此，有必要制定一个有效的解决方案来解决这个问题。
2. 求解过程
在这一节中，我们提出了一种基于问题P的拉格朗日松弛的解决方案。拉格朗日松弛已被成功地用于各种选址问题（Gavish和pirkul，1986，PIRUKL和SCHILLING，1988）。拉格朗日松弛是一种用来求解混合整数和纯整数规划问题的方法。读者可以参考Fisher（1981），里面对拉格朗日松弛技术作了详细的研究。比斯利（1993）说明了拉格朗日松弛方法可适用于解决各种选址问题。
2.1. 拉格朗日松弛模型
下面的拉格朗日松弛是通过放松约束（1）和（5）得到的。我们用拉格朗日乘子向量放松约束（1），用拉格朗日乘子向量放松约束（5）。
约束于(2)-(4) 和 (6)-(9)。
LR问题可以进一步被分解成以下两个子问题：
不考虑约束（14），我们可以将LR1问题分解成J个子问题，每个子问题对应于仓库j。对每个子问题，的值为0或1。如果为0，那么等于0(约束13)。如果为1，那么子问题就变成了一个0-1背包问题。对于0-1背包问题，存在有效的求解过程。我们在解决LR1问题的J个子问题时选择放松约束条件（15）。
不考虑约束（18），子问题LR2可以进一步分解为k个子问题。等于0或1。如果等于0，那么等于0。如果等于1，那么子问题LR2成为一个连续的背包问题。在求解k个子问题后约束（18）可以通过选择最佳的P值来执行。
2.2. 确定拉格朗日乘数
如果（lambda;，）是有着乘数矩阵lambda;和拉格朗日函数，那么最好的约束是来自于：
一般来说，乘数的计算是困难的（EVERETT，1963，GAVISH，1978）。通常一个好的但不必要的最优乘数是通过次梯度优化方法或各种乘数调整方法得到的。
在本文中，我们使用次梯度法推导出LR的边界。次梯度法是梯度法的更新，也即梯度法被次梯度法所取代。读者可以参考HELD,WOLFE和CROWERD 的论文，他们的论文中有次梯度优化使用模式。和可以为0。事实上，次梯度优化技术表现很好，能产生良好的边界。用一组和可以改进程序的收敛性和边界的质量。这些乘数如下：
3. 启发式方法的求解过程
下面我们描述了一个求解问题P的启发式方法，它利用在2.1节中讨论的拉格朗日松弛解。这种启发式算法试图在次梯度优化算法每次迭代时产生问题P的一个可行解。在算法终止时保留最佳可行解。
在启发式求解过程中，我们考虑通过求解子问题LR1来确定开放的仓库，通过求解子问题LR2来确定开放的工厂。在次梯度模式的每一次迭代中，子问题LR1的解会给出将要开放的W个仓库的最佳集，子问题LR2的解会给出将要开放的P个工厂的最佳集。为了获得问题P的可行解，我们需要在不超过仓库和工厂产能的情况下完成向客户分配开放仓库的任务。
问题P的可行解不
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