Mechanism and Machine Theory 121 (2018) 502–514
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Mechanism and Machine Theory
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Research paper
Extending the capabilities of robotic manipulators using trajectory optimization
Andreacute; Gallant , Cleacute;ment Gosselin
Deacute;partement de geacute;nie meacute;canique, Universiteacute; Laval, Quebec, QC, Canada
a r t i c l e i n f o
Article history:
Received 23 May 2017
Revised 16 August 2017 Accepted 13 September 2017
Available online 24 November 2017
Keywords:
Trajectory optimization
Robot dynamics
Parametric trajectory
Robot payload capacity
a b s t r a c t
The payload capacity of robotic manipulators is often considered to be the same through-out their workspace. However, the actual capacity largely depends on posture, velocity, acceleration and actuator limits. This work studies a method to increase the payload ca-pacity of manipulators through trajectory optimization. This optimization is performed on a task basis and therefore, the load-carrying capacity varies from one task to another. Al-though the studied method is general and is not limited to specific robot architectures, an analysis of the method is conducted based on its application to a planar RR serial manip-ulator in a vertical plane. This manipulator is the most appropriate as a simple test case because most manipulators are built in such a way that most of the vertical motion of the manipulator is done by two parallel revolute joints: planar RR mechanism. Simulation and experimental results show that the payload capacity can be greatly increased compared to nominal values. It is also shown that, although the trajectories produced are not time opti-mal, the method is much more versatile and much simpler to implement than some other optimal control methods. The accompanying video provides a summary of the method and the results.
copy; 2017 Elsevier Ltd. All rights reserved.
1. Introduction
The payload capacity of robotic manipulators is often considered to be constant throughout their workspace. One of two assumptions is often made; either that there is no significant change in payload capacity from one configuration to another; or that the payload capacity in the worst case is sufficient to accomplish a given task. For some manipulators, such as industrial robots with high reduction ratios in all joints, these are reasonable assumptions in practice. However, such assumptions tend to lead to very large and massive robots with relatively low payload capacities. In these manipulators, a large portion of the effort supplied by their actuators is used simply to support the large weight of subsequent actuators.
Much like a person cannot hold the same weight with a fully extended arm as closer to his or her body, a robotrsquo;s actual payload capacity is configuration dependent. Moreover, the true payload capacity, especially for manipulators with low gear ratios, can be greatly influenced by the entire dynamics including velocity and acceleration.
In applications such as human-robot cooperation, humanoid robotics, and other applications, low reduction ratios may provide many advantages. For example, some applications require a high degree of backdrivability or high speed. Such applications are not well suited to joints with large gear ratios. The drawback of this is often a reduction in the jointsrsquo; force/torque capabilities which limit the payload capacity. Another type of application that could benefit from the methods
Corresponding author.
E-mail address: andre.gallant.1@ulaval.ca (A. Gallant).
https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2017.09.016 0094-114X/copy; 2017 Elsevier Ltd. All rights reserved.
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A. Gallant, C. Gosselin / Mechanism and Machine Theory 121 (2018) 502–514 |
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studied in this work are applications where the tasks required are dynamic and are subject to frequent changes. In such cases, an easy to implement method that finds a trajectory that respects many non-linear constraints would be invaluable.
Thus, the goal of this paper is to explore the gains in payload capacity that can be achieved through motion optimization. Two objectives are targeted specifically: the methods must be easily and quickly implementable, and the methods must extend the capabilities of the manipulator in question by finding smooth trajectories that are experimentally feasible.
The motion optimization problem can be divided into two categories: geometric path following and trajectory planning with no prescribed path [1]. Geometric path following has been studied by many researchers with a calculus of variations approach. The calculus of variations applied to the motion of robotic manipulators is optimal control and often makes use of Pontryaginrsquo;s maximum principle [2]. Solutions to the optimal control problem, especially the time-optimal control problem, for the motion of robotic manipulators following a prescribed path have been developed mostly in the mid 1980s [3–5]. An excellent review and explanation of such methods is presented in [6].
These methods are able to take into account the coupled and nonlinear equations of motion to generate a truly optimal path following trajectory. However, it was shown that at each point
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利用轨迹优化扩展机械手的能力
摘要
机械手的有效载荷能力通常被认为是相同的--这取决于他们的工作空间.。然而，实际载荷主要取决于姿态、速度、加速度和执行机构的运动范围。本文研究了一种通过轨迹优化来提高机械手有效载荷的方法.。此优化是在单一任务的基础上执行的，因此负载承载能力因任务而异。虽然所研究的方法是通用的，并不局限于特定的机器人结构，但本文对该方法的分析是用的在一个垂直的平面上的RR系列机械臂。这种机械手是最合适的测试用的，因为大多数机械手的构造方式都是由两个平行的旋转关节组成的：这就是平面RR机构。仿真和实验结果表明，与标称值相比，有效载荷容量有了很大的提高。结果还表明，虽然所产生的轨迹不是时间最优，但与其他最优控制方法相比，该方法具有更通用和更易于实现的优点。
1.介绍
机械手的有效载荷能力通常被认为是相同的--这取决于他们的工作空间.两种假设中的一种经常被提出：一种结构与另一种结构之间的有效载荷容量没有显著变化；或者，在最坏情况下，有效载荷容量是可以完成给定任务的。对于某些机械手，如所有关节均具有较高减速比的工业机器人，这些都是实际操作中合理的假设。然而，这种假设往往会导致又大又重的机械手却只拥有相对较低的有效载荷能力。在这些机械手中，它们的执行器提供的大部分力只是用来支持后续执行器的大重量。
就像一个人伸直手臂举的重量不如贴近身体时提的重量一样，机器人的实际有效载荷能力取决于外形。此外，实际有效载荷能力，特别是对于低传动比的机械手，会受到包括速度和加速度在内的整个动力学因素的影响。
在人机协作、仿人机器人等应用中，低传动比可以提供许多优势。例如，一些应用程序需要很高程度的反向驱动能力或高速，但这样的应用并不适合大传动比的关节。其缺点往往是关节的力/扭矩能力降低，从而限制了有效载荷能力。另一种可以从本工作中研究的方法中受益的应用程序是，其中所需的任务是动态的，并且经常发生更改。在这种情况下，找到一个符合许多非线性约束的轨迹的易于实现的方法将是非常宝贵的。
因此，本文的目的是探讨通过运动优化可以获得的有效载荷容量增长。具体目标有两个：该方法必须容易、快速地执行，并且这些方法必须通过寻找实验上可行的平滑轨迹来扩展所述机械手的能力。
运动优化问题可分为两类：几何路径跟踪和无指定路径的轨迹规划[1]。几何路径跟踪已经被许多研究者用变分演算的方法来研究。应用于机器人运动的变分演算是最优控制，并经常利用庞特里亚金的极大值原理[2]。对于机器人在指定路径下的运动，最优控制问题，特别是时间最优控制问题的求解大多是在20世纪80年代中期发展起来的[3-5]。[6]对这些方法作了很好的回顾和解释。
这些方法能够考虑耦合运动方程和非线性运动方程，从而生成真正最优的轨迹跟踪轨迹。然而，研究表明，在时间最优轨迹的每个点，控制输入，扭矩或力中至少一个是在界限内的[7]。这导致了在实践中轨迹难以跟踪，因为这些轨迹突然就从最大加速度变为最大减速(有时在一个轨迹中的多个点)。这会导致机械手关节的严重磨损。
为了缓解上述最优控制方法的一些实际问题，许多研究者从其他角度探讨了几何路径跟踪问题。值得注意的是，通过确保轨迹规划器使用参数曲线[8-10]生成平滑的轨迹。这些方法必然是次优的，但会产生平滑的轨迹。
几何路径跟踪可以包含动态约束，可以获得很好的机械臂性能，但是寻找几何路径的问题是非常困难的。对于某些任务，如弧焊和机械加工，几何路径是自然强加的任务。然而，在需要增加有效负载能力的情况下，很可能有许多不可能遵循的路径即使是用最优化的方法。因此很明显，为了成功地利用机械手的动态能力，大大提高其有效负载能力，第二类运动优化问题必须能够同时修改它的路径和它的轨迹。
与几何路径跟踪一样，许多研究人员从最优控制的角度出发，引用庞特里亚金的极大值原理来研究这个问题。提出了几种基于几何路径跟踪最优控制问题的混合方法[11，12]。这些方法首先用参数曲线定义几何路径，然后寻找最优控制律。然后，这些方法改变路径并重复，直到找到合适的路径和轨迹。这些方法产生最优轨迹，但不产生最优路径，并产生与跟踪最优控制方法相同的高加加速度轨迹。
另一种方法是直接应用庞特里亚金的极大值原理，而不是在特定的路径上。这类方法已应用于多种非线性控制系统，如战斗机[13]。事实上，任何一个时变非线性微分方程组如Van der Pol方程都可以用这种方法研究[ 13 ]。将这些方法推广到多输入非线性微分方程组并不算简单但是还算可以做到。
通过庞特里亚金的极大值原理可以看出，机器人等系统的时间最优控制问题的解是爆炸式的[15]。事实上，许多研究人员已经开发出一种方法，可以强迫或收敛于机器人的爆炸-奇异-爆炸轨迹[16-19]。同样，由于这些解决方案的爆炸性质，机器人关节过早磨损的问题也可能发生。有些人试图通过强加约束或控制输入的导数来使轨迹平滑[ 20 ]。
时间最优轨迹是一种类型的爆炸-奇异-爆炸是一个必要条件，但不是充分条件，即并非所有的爆炸轨迹都是最优的。因此，要找到最优的爆炸轨迹并不简单，对于大多数机械手来说，多次计算运动方程的数值积分，计算量很大。
基于网格的组合优化方法也被应用于运动优化问题[17，21，22]，但这些方法在计算上被确定为不可行或产生非理想的轨迹。
一种有趣的方法是通过生成光滑的参数关节轨迹来保证平滑性。在优化过程中，可以施加运动学和动力学约束，以确保生成轨迹的可行性。许多方法都是只考虑运动学上的约束，如最大速度、加速度甚至是加加速度[23，24]。对于许多工业机械手来说，可以合理地假设每个执行器所能产生的最大加速度，或者由于机械手的配置变化不大，或者说至少最大加速度对于给定的任务来说是足够的。当试图增加机械手的有效载荷能力时，对运动学约束的这些假设会受到很大的限制。
由于大多数机器人运动方程的耦合性和非线性性质，在轨迹生成上施加力(力或力矩)约束比施加运动关节约束更难。文[25]提出了一种基于梯度的机器人运动优化方法，该方法采用三次B样条确定各关节的运动轨迹。然后，在这条轨迹上对有限数量的点施加动态约束。这一方法与本工作中使用的方法非常相似。其他人则通过考虑所谓的有效载荷约束来扩展这种方法[26]。这些有效载荷约束是在手爪级别中定义的，也就是说，有效载荷对象不会从手爪的抓取中滑出来。在本文中，假定有效载荷的掌握方式是不会滑落的。
这项工作的目的是探讨如何利用这些方法来提高机械手的有效载荷能力。在大多数其他轨迹生成问题中，寻找最优轨迹就是找到最优目标函数。在增加有效载荷能力的情况下，简单地找到可行的轨道是一种成功。因此，在本文中，比起满足约束，即寻找任何可行的轨道，
目标函数优化被认为是次要的。因此，通过评估该方法找到可行解的速率，并进行了广泛的分析，除了结果轨迹的质量外，还可以随机地进行初始猜测。本文在文献[27]中的初步结果的基础上，对数值分析进行了改进，增加了两种不同参数曲线类型的比较，最重要的是增加了一种根据实验的分析。
在此介绍之后，第二节以不同的形式描述了上下文中的最优控制问题。第三节给出了确定关节轨迹的方法和不同的参数曲线。第4节是本文的最后部分，讨论了结果和一些结论。
2.问题陈述
由于这篇论文的目的是将轨道优化方法应用于重载荷的提升问题，目标函数的选择并不是寻找可行轨迹的关键，即约束比目标函数更重要。在实际应用中，最常见的目标函数也是最有用的方法是运动时间的最小化。因此，本文对时间最优运动问题进行了研究。
作为参考，本文将最优控制方法中的时间优化问题描述为T是最后时刻，tau;是关节力或力矩的时变矢量，x是机械手的状态(每个关节的位置和速度)随时间的变化，xT是机械手为了完成规定的任务而必须满足的最后状态，并表示分段不等式约束。转矩约束在Eq. (1)中可以相对容易地强制执行，但x(T)=xt约束需要求解2f耦合非线性微分方程组的两点边界问题。其中f代表机械手的自由度数。这是极难做到的，甚至用数字表示。
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tau;(t ) |
T |
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0 |
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min |
dt |
t [0, T ] |
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s.t. |
tau;(t ) |
tau;max |
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tau;(t ) |
tau;min |
(1) |
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x(T ) = xT
其中X0是机械手的初始状态。在这种情况下，节点力向量tau;不是由优化方法直接生成的，而是可以根据生成的轨迹计算。
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tau; = M(q)quml; c(q, q˙) g(q) |
(3) |
其中M是广义惯性矩阵，c包括离心和科里奥利效应，g包括引力项。联合位置、速度和加速度由分别定义了机械手的运动状态1，即，
q
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x equiv; q˙ . |
(4) |
quml;
在方程式(2)中的问题,考虑机械手初始状态和最终状态的约束是微不足道的，而对输入的约束(力或力矩)则要难得多。这与方程(1)中提出的最优控制问题形成了对比。
图1.优化程序大纲
在实际的优化过程中，在连续的时间间隔上施加约束(如tau;约束)是很困难的。因此，直接最优控制问题可以是近似于...
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min |
T |
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x(t ) |
tau;(x(ti )) |
ge; tau;max |
i = 0, . . . , N |
(5) |
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s.t. |
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tau;(x(ti )) |
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