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Many beams and columns, such as the ones in this structural steel frame, are subjected to significant amounts of both bending and compression. These members are called beam-columns.
C H A P T E R 6
Beam–Columns
DEFINITION
While many structural members can be treated as axially loaded columns or as beams with only flexural loading, most beams and columns are subjected to some degree of both bending and axial load. This is especially true of statically indeterminate struc- tures. Even the roller support of a simple beam can experience friction that restrains the beam longitudinally, inducing axial tension when transverse loads are applied. In this particular case, however, the secondary effects are usually small and can be neglected. Many columns can be treated as pure compression members with negligi- ble error. If the column is a one-story member and can be treated as pinned at both ends, the only bending will result from minor accidental eccentricity of the load.
For many structural members, however, there will be a significant amount of both effects, and such members are called beam–columns. Consider the rigid frame in Figure 6.1. For the given loading condition, the horizontal member AB must not only support the vertical uniform load but must also assist the vertical members in resist- ing the concentrated lateral load P1. Member CD is a more critical case, because it
must resist the load P1 P2 without any assistance from the vertical members. The
reason is that the x-bracing, indicated by dashed lines, prevents sidesway in the lower story. For the direction of P2 shown, member ED will be in tension and member CF will be slack, provided that the bracing elements have been designed to resist only ten- sion. For this condition to occur, however, member CD must transmit the load P1 P2 from C to D.
The vertical members of this frame must also be treated as beam–columns. In the upper story, members AC and BD will bend under the influence of P1. In addition, at A and B, bending moments are transmitted from the horizontal member through the rigid joints. This transmission of moments also takes place at C and D and is true in any rigid frame, although these moments are usually smaller than those resulting from lateral loads. Most columns in rigid frames are actually beam–columns, and the effects of bending should not be ignored. However, many isolated one-story columns can be realistically treated as axially loaded compression members.
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FIGURE 6.1
Another example of beam–columns can sometimes be found in roof trusses. Although the top chord is normally treated as an axially loaded compression member, if purlins are placed between the joints, their reactions will cause bending, which must be accounted for. We discuss methods for handling this problem later in this chapter.
INTERACTION FORMULAS
The relationship between required and available strengths may be expressed as
required strength
? 1.0
available strength
(6.1)
For compression members, the strengths are axial forces. For example, for LRFD,
Pu
fc Pn
? 1.0
and for ASD,
Pa Pn/Wc
? 1.0
These expressions can be written in the general form
Pr ? 1.0
Pc
where
Pr = required axial strength
Pc = available axial strength
If more than one type of resistance is involved, Equation 6.1 can be used to form the basis of an interaction formula. As we discussed in Chapter 5 in conjunction with biaxial bending, the sum of the load-to-resistance ratios must be limited to unity. For
example, if both bending and axial compression are acting, the interaction formula would be
Pr Mr ? 1.0
Pc Mc
where
Mr = required moment strength
= Mu for LRFD
= Ma for ASD
Mc = available moment strength
= fbMn for LRFD
= Mn
Wb
for ASD
For biaxial bending, there will be two moment ratios:
Pr ⎛ Mrx
Mry ⎞
Pc ⎝⎜ Mcx
Mcy
⎠⎟ ? 1.0
(6.2)
where the x and y subscripts refer to bending about the x and y axes.
Equation 6.2 is the basis for the AISC formulas for members subject to bending plus axial compressive load. Two formulas are given in the Specification: one for small axial load and one for large axial load. If the axial load is small, the axial load term is reduced. For large axial load, the bending term is slightly reduced. The AISC requirements are given in Chapter H, “Design of Members for Combined Forces and Torsion,” and are summarized as follows:
For Pr ? 0.2,
Pc
Pr 8 ⎛ Mrx
Mry ⎞
Pc 9 ⎝⎜ Mcx
Mcy
⎠⎟ ? 1.0
(AISC Equation H1-1a)
For Pr lt; 0.2,
Pc
Pr ⎛ Mrx Mry ⎞
? 1.0
(AISC Equation H1-1b)
2Pc
⎝⎜ Mcx
Mcy ⎠⎟
These requirements may be expressed in either LRFD or ASD form.
LRFD Interaction Equations
For Pu ? 0.2,
fcPn
Pu 8 ⎛ Mux
Muy
⎞ ? 1.0
(6.3)
fc Pn
9 ⎝⎜ fbMnx
fbM
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6.1定义：
虽然许多结构构件可以视作轴心受力的柱或仅发生纯弯曲的梁，但是大多数梁或柱会既受拉（压）又受弯。尤其是超静定结构。即使是只限制梁纵向位移的简支梁的滚轴支座，在施加横向载荷时也会产生轴向拉力。只是，在这种特殊情况下，这种效应通常很小，可以忽略不计。所以许多柱可以被视为具有可忽略误差的纯压构件。如果是两端简支的单层柱，那么唯一的弯曲将由荷载的轻微偏心引起。
然而，对于大多数结构构件，会同时受到显著弯曲和拉压，这些构件被称为偏压构件。图6.1所示的刚性框架。在给定的荷载条件下，水平构件AB不仅承受竖向均布载荷，而且还需要和竖向构件一起抵抗侧向集中力P1。水平构件CD更关键，因为它没有竖向构件的协助，必须单独抵抗荷载P1 P2。 原因是有如虚线所示，防止下层结构侧移的X性支撑的存在。在荷载P2作用方向，构件ED将处于拉伸状态，构件CF将松弛，因为支撑构件被设计为只承受拉力。所以，在这种情况，构件CD必须将荷载P1 P2从节点C传输到节点D。
该框架的竖向构件也必须被视为偏压构件。在上层，构件AC和BD在P1的影响下弯曲。此外，在节点A和节点B，弯矩会通过刚性连接从水平构件传递到竖向的柱。力矩的传递也发生在节点C和D，任何刚性框架中都会有弯矩产生，只是通常这些弯矩远小于竖向轴力。刚性框架中的大多数柱实际上是偏压柱，弯曲的影响不应忽视。实际上，许多没有支撑的单层柱是作为轴压构件计算。
偏压的另一个例子有时可以在屋顶桁架中找到。虽然上弦通常被视为轴向受压构件，但是如果檩条放置在节点之间，它们的反力将引起弯曲，这就必须考虑偏压。我们将在本章后面讨论解决这个问题的方法。
图6.1
6.3屈服强度的分析方法
在轴向载荷不太大的情况下，上述分析同时承受弯曲和轴向荷载的构件的方法是正确的。竖向荷载的存在会产生附加弯矩，除非轴向载荷相对较小，否则必须考虑这些附加力矩。如图6.3所示，同时承受轴向集中力和横向均布荷载的偏压构件。在任意点O，会有一个由均布载荷引起的弯矩和轴向力因为相对纵向轴线偏心产生的附加力矩Py。偏心距在柱中心最大，附加力矩也最大，总力矩为。 这个附加的附加力会使结构产生侧向挠曲，使得柱总挠度会大于横向荷载产生的挠度。这个问题是非线性的，我们无法直接求出总的挠度，所以我们无法计算截面弯矩。
除了由构件挠曲变形引起的附加弯矩（图6.4a中所示的p-d 弯矩）之外，当构件两端点有相对位移时，也会产生附加弯矩。这些弯矩被称为弯矩，如图6.4b所示。在有支撑框架中，构件端部没有位移，因此只有p-d弯矩存在。在无支撑框架中，端部会有附加的弯距。因此，在构件中弯矩分布是主要弯矩、p-d弯矩和弯矩的和。
无支撑刚架的稳定取决于其节点处的弯矩传递。由于这个原因，无支撑框架经常被称为纯框架。多层建筑可以由支撑框架和纯框架的组合而成。
除了最简单的结构外，一般框架需要计算机分析才能得到弯矩和轴向内力。计算机分析会给出了构件的屈服强度。如本书第4章所述，轴压构件的极限强度 应考虑构件的垂直度和非弹性。对构件屈服强度的分析应考虑到几何挠曲，垂直度偏差（垂直偏差）和非弹性。
不考虑几何挠曲的普通结构分析方法称为一阶方法。 考虑这些影响的迭代分析被称为二阶方法。
AISC规范第C章“稳定性设计”提供了三种确定偏压构件的弯曲和轴向抗压屈服强度的方法：直接分析方法，有效长度方法和一阶分析方法。
1.直接分析法是考虑P-d和效应的二阶分析方法。 作为替代，可以使用附录8给出的近似二阶分析方法。 这种方法使用放大了的一阶分析弯矩和轴向内力。 二阶分析和近似二阶分析都被认为是直接分析方法。 在直接分析方法中，构件的刚度要折减，并且在AISC第4章中分析和计算极限强度时有效长度系数K = 1。
2.有效长度分析方法见附录7.它也需要二阶或近似二阶分析。 计算相应的极限强度已在第4章“轴压构件”中讨论。顾名思义，这种方法必须确定有效长度系数K，同时构件刚度不折减。
3.一阶分析方法是直接分析方法的简化版本，可以在满足某些条件时使用。 它在附录7中有介绍。在极限强度计算中，有效长度系数K = 1。 构件刚度不折减。
实际结构中的所有柱都受到由于铅垂不准而导致的初始位移的影响。 在三种分析方法的每一种中，都在荷载组合中加入附加侧向荷载（称为名义荷载）来考虑这个影响。
直接分析法是首选方法。 如果有合适的软件可使用，则可以选择二阶分析法。 如果二阶分析不可用，则可以使用直接分析方法中的弯矩放大法。 在本书中，结构分析的结果将在所有示例和问题中给出。 读者不需要执行分析。 如果弯矩和轴向力来自二阶分析，则可以直接看AISC规范章节H中的相互作用方程。如果屈服强度来自一阶分析，则使用的是弯矩放大法，即近似二阶可以使用附录8给出的分析。 这个方法将在下面的章节中详细介绍。实际结构中的所有柱都受初始位移的影响。
图6.3 图 6.4
6.4弯矩放大法
弯矩放大法需要通过一阶分析计算弯曲荷载（横向荷载或构件端部弯矩）引起的最大弯矩，然后乘以弯矩放大系数来考虑附加弯矩。考虑这个因素的表达式现在已经得到了。
图6.5所示承受轴向载荷和具有初始偏心的简支构件。这种最初的弯曲可以近似于 ：
其中e是发生在中跨最大初始位移。对于所示的坐标系，弯矩-曲率关系可以写成 ：
弯矩M是由轴向载荷p相对于构件的轴线偏心引起的。这种偏心由初始弯曲加上由构件变形引起附加挠曲y组成。构件任意部位弯矩：
将这个方程代入微分方程得到 ：
整理得到 ：
这是一个非齐次的微分方程。因为它是一个二阶方程，所以有两个边界条件。对于所示的支座，边界条件为 ：
当 当
也就是说，在每个端部的位移为零。满足微分方程和边界条件的函数是 ：
其中B是常数。代入微分方程，得到 ：
求常数给出 ：
其中=欧拉屈曲荷载
最大弯矩发生在x=L/2处
其中M0是未放大的最大弯矩。在这种情况下，它是由初始弯曲引起的，但一般来说，它可以是横向载荷或固端弯矩的引起的。
因此弯矩放大系数 ：1/（1 (P/Pe )）
由于构件挠度对应于屈曲形状，轴向载荷对应于失效载荷，即与LFRD公式相对于的荷载。因此，弯矩放大系数应写成：
1/（1 (Pu/Pe )） （6.7）
其中Pu是考虑了系数的轴向荷载。表达式6.7中所示的形式适合于LFRD。对于ASD，将使用稍后解释的不同形式。
正如我们稍后所描述的，AISC弯矩放大系数的精确形式可以与表达式6.7所示的略有不同。
6.5 支撑与无支撑框架
正如第6.3节中所解释的，“屈服强度的分析方法”有两种类型的附加力矩：P-d弯矩（由构件挠曲引起）和弯矩（当构件是无支撑框架的一部分时，摇摆效应引起的）。因此，必须使用两个放大系数。AISC规范在附录8中的“近似二阶分析”考虑了。该方法与ACI建筑钢筋混凝土规范（ACI，2008）中使用的方法相同。图6.4说明了这两个变形分量。在图64a中，构件被限制在水平方向上，最大附加弯矩是，它会加到到构件内的最大弯矩。如果框架实际上没有支撑，则会有如图6.4b所示由侧移引起的附加弯矩。这个附加弯矩具有的最大值，它代表固端弯矩的放大。
为了近似表示这两种效应，两个放大系数B1和B2分别用于放大这两种类型的弯矩。在设计中计算放大的弯矩是由外荷载和弯矩来计算的（这里不使用x和y下标；对于每一个轴上都有弯矩，必须以以下方式计算放大力矩）：
Mr B1Mnt B2M1t
Mr 屈服弯矩强度＝LRFD的Mu
＝ASD的Ma
Mnt 假定没有侧移发生时的最大弯矩，框架是否有支撑（下标为不平移）。
Mnt 是LRFD的因变量负弯矩，ASD的因变量负弯矩
M1t 侧移引起的最大弯矩（下标为T的“横向平移”）。这个弯矩可能是由横向荷载或非对称重力荷载引起的。如果框架不对称或重力荷载不对称放置，重力荷载会产生侧倾。如果框架实际上是有支撑的，则为零。对于LFRD，将是一个系数负弯矩，对于ASD，它将是一个服务负弯矩。
B1 当在构件中有支撑时的弯矩放大系数（弯矩）。
B2 侧移引起的弯矩放大系数（弯矩）。
除了所需的弯矩强度之外，所需的轴向强度必须考虑二阶效应。所需轴向强度受加载过程中结构初始位移的影响。这不是构件位移（d）的，而是与节点位移（）。轴心受压屈服强度由下式计算：
Pr = Pnt B2P1t
Pnt 与支撑条件相对应的轴向荷载
Pt 与侧移条件相对应的轴向荷载
我们在下面的章节中进一步讨论B1和B2。
图6.6
图6.7
6.6 支撑框架中的构件
由表达式6.7给出的放大系数是针对一个有支撑的构件导出的，即构件两端没有相对位移的构件。图6.6所示的构件承受大小相等，方向相反的弯矩，使单曲率弯曲（整个构件长度的一边产生张力或压缩的弯曲）。柱中心偏移最大。附加矩最大。杆件端部受到大小相等的弯矩，构件在长度范围内弯矩相等，因此最大主弯矩也发生在中心。因此，最大附加弯矩和最大主弯矩在中心相加。即使端部弯矩矩不相等，只要一个是顺时针的，另一个是逆时针的，也会出现单曲率弯曲，并且最大的主弯矩和附加弯矩将发生在彼此附近。
如果端部弯矩产生构件发生倒曲率弯曲，如图6.7所示，情况就不是这样。这时，最大主弯矩在两端部之一，最大附加弯矩放大发生在端部之间。根据轴向载荷P的值，放大弯矩可以大于或小于端部弯矩。
因此，偏压柱中的最大弯矩取决于构件内弯矩的分布。这种分部由系数CM考虑，对应由表达式6.7给出的放大系数。表达式6.7给出的放大系数是最坏的情况，所以Cm永远不会大于1。放大系数的最终形式是 ：
其中= 未放大的轴心抗压屈服强度（）
= for LRFD
= for ASD
=1.00 for LRFD， 1.60 for ASD
EI*=抗弯刚度，在直接分析法中
是刚度折减系数。
该刚度折减系数与第4章中关于非弹性柱的配线图相同。在一定条件下，即当时，可以等于1。如第6.3节所述，可接受的框架分析方法，包括直接分析方法，需要应用名义载荷来考虑柱的初始挠度。如果包括小的附加名义荷载AISC C2.3（3）允许使用=1 。在这本书中，我们假设情况是这样的，我们将使用=1。请记住，在本书中，我们不进行任何结构分析，我们只使用分析的结果。
在有效长度和一阶方法中，不考虑抗弯刚度，而EI*＝EI。惯性矩I和有效长度系数K1是对应弯曲主轴，而K1＝1，除非计算出更精确的值（AISC C3）。注意下标1对应于支撑条件，下标2对应于未支撑条件。
6.7无支撑框架中的构件
在一个端部可以自由移动的偏压构件中，由侧移引起的最大主弯矩几乎总是在一端。如图6.5所示，从侧移开始的最大附加弯矩总是在末端。作为这种情况的结果，最大的主弯矩和附加弯矩通常是相加的，并且不需要系数CM；实际上，Cm=1。即使有折减，也会是很小的，可以忽略不计。考虑图6.15所示的偏压柱。这里的相等的固端弯矩是由侧移（来自水平荷载）引起的。轴向力是由不引起侧移的荷载引起的，并沿轴向增大了端部弯矩。侧向弯矩的放大系数B2，由下式确定：
其中=1.00 for LRFD ，1.60 for ASD
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