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通过有限元分析近场动力学
摘要：
近场动力学是最近开发的固体力学理论，其用积分方程代替了经典连续体理论的偏微分方程。由于积分方程在存在诸如裂纹的不连续性的情况下保持有效，所以该方法具有以很大的一般性来模拟断裂和损伤，并且没有那种数学奇点的常规运算方法的复杂性。虽然离散化形式的动力学积分方程已经在称为EMU的无网格代码中实现，但本文的目的是描述如何在常规有限元分析方法中使用桁架元素来实现近场动力学模型。由于FEA可以说是最广泛使用的结构分析工具，因此这种实施可能会加速对近场动力学的验证，并显著扩大实践分析师可能尝试的问题范围。此外，本工作表明，模型的不同子区域可以用经典偏微分方程在同一计算中的近场动力学方程式，从而将有限元分析的效率与近场动力学的一般性结合起来。几个示例问题显示了FEA和无网格近场动力学方法的等价性并展示出涉及断裂、损坏和穿透问题的方法的有效性和完全性。
由Elsevier B.V.出版
- 介绍
裂纹扩展和破坏的数值预测是计算力学中长期存在的问题。这些问题固有的困难源于裂纹的基本不相容性和固体力学的经典理论中使用的偏微分方程。这些偏微分方程所需的空间导数在裂纹尖端或表面上是不存在。因此，从这些方程得到的任何数值方法都会在建模裂缝中产生这种困难。通常，这种方法还需要补充关系来控制裂纹的起始以及生长速度和方向。这些关系必须沿着每个裂纹尖端施加，导致了该方法的固有复杂性，特别是当发生多个裂纹并在三维中相互作用时。为了改善这种情况，提出了一种固体力学理论，不需要在体内评估空间导数。这个理论被称为近场动力学理论，代替使用积分方程。目的是重新组合固体力学的基本数学描述，使得相同的方程式可以保持不连续性（例如裂纹）的开启或关闭。
与任何新的科学理论完全验证一样，一个持续的过程可能需要很多年才能完成。因此，本文的主要动机不是验证动力学理论，而是基本的动力学方程与最基本的有限元分析（FEA）代码体系结构完全一致，而在FEA框架内，对于传统的FEA模型，近场动力学耦合是非常有可能的。为了完成在无网格EMU代码中近场动力学理论和主要数值方程的总结，这种连续体模型被提出来了。几个例子证明FEA和直接实现的等价性以及在FEA代码中执行近场动力学的容易性。鉴于FEA的普及和实用性，后一种实现可能加速了对周期动力学的验证，并显着扩大了实践结构分析师可能承担的各种问题。
- 连续体的近场动力学理论
在本节中，我们删除了以前发表的作品多余的背景材料，但是为了方便读者，保留了理论的简明总结。
近场动力学理论可以被认为是分子动力学的连续体。概述发展细节，从时间t查找参考配置中x处的任何粒子的加速度，
其中Hx是水平半径为lambda;的x的邻域，u是位移矢量场，b是规定的体力密度场， rho;是参考构造中的质量密度，f是成对力函数，其值是粒子x施加在粒子x上的力矢量（每单位体积平方）。另外，这两个颗粒在参考配置中的相对位置xi;是由
xi;=xrsquo;-x给的，并且相对位移是由eta;=u（xrsquo;,t）-u(x,t)给的。注意eta; xi;表示连接颗粒的当前相对位置矢量。在x和x#39;之间的颗粒之间的直接物理相互作用（其通过未指定的方式发生）称为粘结，或在弹性相互作用的特殊情况下称为弹簧。另外，从等式（1）任何给定粒子的键不延伸超过水平线，即粒子仅在水平线内相互作用。实际上，在有限距离上延伸的键的概念是基于接触力（彼此直接接触的粒子之间的相互作用）的近场动力学理论和经典理论之间的根本区别。与弹簧的常规解释一样，线性和角动量被保守，因为粘结力相等且相反，并且因为它们沿着连接任何两个相互作用的颗粒的当前位置的矢量引导。扩展等式[4]的发展，基本理论的联合力的一般形式可以写成(4)。其中f是标量键力y=∣eta; xi;∣ （5）。方程式（1）和（4）构成了基本的近场为了促进组织模型的发展，如[4,7]所示，标量键拉伸定义为近场动力学连续体理论的本质。
（6）对于脆性微弹性材料，fnof;形式为fnof;(s,t,xi;)=mu;(t,xi;)=mu;(t,xi;)cs,(7)，c是弹簧常数，mu;是是历史依赖损伤函数，其取值为0或1，。这里，S0是失败的关键粘合伸展。 方程式（8）确保一旦连接超过其失效延伸，它将被破坏或从分析中移除，永远不会被重新引入。【4】点的伤害定义为（9）通过将连续体力学各向同性扩展下的应变能等效于在同一变形的近场动力学理论中的地平线内的能量密度，可以发现对应于经典连续力学体积模量k的c值。因此，比如在4中，c=，（10）。以类似的方式[4]，频带故s0的关键延伸与能量释放速率G0有关，要求工作将每单位面积的所有键断开以等于能量释放速率，从而产生（11），微塑性材料是以结合力形式呈现的材料 （12）， （13），然而，在宏观或连续性水平下，材料应变硬化，因为所有的键不会在同一时间或变形水平下产生。 与脆性微弹性材料一样，粘合性质需要与可测量的宏观特性相关。在这种情况下，焊接屈服拉伸可能与工程极限强度（应力）有关？ 通过注意到当材料达到极限强度时，所有的键都已经产生了。因此，与4中的发展有关，导致了在脆性微弹性材料中方程11中临界粘结拉伸的关系，可以写成
，其中（15）。公式 （14）中的近似值起因于使用未变形几何而不是变形几何进行整合。解决方程式10、14、15中的拉伸屈服产生了拉伸屈服率与常规连续力学性质之间的关系，
（16）。
上述模型仅允许一个弹性常数c，而经典理论中的各向同性线性弹性材料的特征在于两个这样的常数。 这种差异发生是因为仅涉及两个粒子相互作用的弹性固体（“柯西晶体”）总是具有1/4的泊松比。 除了二个粒子相互作用以外，允许应变能量密度对局部体积变化的依赖性的近场动力学理论的改进消除了这种限制[1]，并且可以用于建模流体。实际上，允许粘结性质不仅依赖于该粘结层本身的伸展性，而且依赖于与其端点连接的所有键的拉伸，这可以允许在动力学理论中更一般的本构模型。 在本文中，仅使用脆性微弹性和微塑性本构模型，尽管即使在该框架内，使用更精细的模型当然是可能的。 例如，各向异性可以通过键合力xi;对alpha;的依赖来引入。
- 短距离力
在近场动力学理论中，粒子仅通过键相互作用。因此因为等式一在参考构造中分开距离大于zeta;的粒子并不互相影响。然而，在实践中，许多应用涉及多个主体，其最初由大的（与zeta;相比较）距离而分离，但最终接触。 迄今为止发展的理论不能包括接触力。为了允许接触力，现在引入短距离力。 这些力不依赖于参考构型中的颗粒之间的距离，仅取决于其在当前构型中的相对位置。特别的，其中cs和rs是常数，y和yrsquo;是x和xrsquo;的变形位置，分别为y=x u,yrsquo;=xrsquo; ursquo;，（18）。因此，只有当两颗粒子彼此靠近2rs时，短距离力才是非零的。 因此,rs称为节点半径。 根据方程式17，短程力只能是压力（排斥）。
对于比例材料，cs的值可以选择为c的一些倍数，其中c是材料的弹簧常数。 倍数取决于接触力的期望刚度。 合适的默认值会导致刚度接近材料的体积弹性性能，cs=15c,(19)。
- 表面力的归一化
在等式（10）可以从实际材料的体积弹性模量获得弹簧常数。 然而，导致该结果的推导假设给定的材料颗粒围绕着具有完全填充相同材料的半径x的球形邻域。 如果颗粒在自由表面的距离x或与某些其他材料的界面之内，则该假设不成立。 如果方程式10给出的弹簧常数用于这些点，所得到的主体将具有不正确的体积弹性特性。为了在自由表面和界面附近考虑到这种效应，使用称为力归一化的校正。 在这种方法中，如果X可能是在表面附近的一个点，则使张量P（X）定义为（20）。因此粒子X如果通过一个小的矢量Delta;u逐渐位移并且保持其他所有点的固定，-P（X）Delta;u等于单元体积的恢复力。可以看出，P是对称张量，对于合理表现的材料也是正定的。因此，P有三个特征值{P1，P2，P3}，令P1是里面最大的。此外，令Pinfin;是为大均匀体获得的类似张量（与考虑到X的特定位置的P（X）相反）。Pinfin;的特征值是P1infin;，P2infin;，P3infin;，其中P1infin;是最大的。令Cinfin;是从公式10中获得的弹簧常数，一个大的均匀体组成的材料的值被表现为X。然后，考虑到X点附近的表面和界面，修正弹簧常数c（X），，（21）。总的来说，c(x)ge;cinfin;。该力归一化方法的假设是局部刚度根据P张量的特征值而变化。已经发现这种方法在薄结构（其中自由表面很重要）和包含平面表面的主体中提供正确的体积弹性响应。
- 直接数值法
本节介绍了在EMU代码中使用的近场动力学方程的数值近似的总结。该区域被离散为节点，每个节点在参考构造中都有一个已知的体积。总之，节点形成一个网格。在EMU中，在节点之间没有分子或其他几何连接的意义上，该方法叫做无网格法。然而，在有限元分析中，近场动力学网格成为非线性桁架的组合。为了简单起见，在EMU中实现的方法的细节在这里使用应用于均匀体的近场动力学理论的线性化版本进行讨论。运动方程（1）的离散形式用有限和代替积分（22），其中fnof;由方程式4给出，n是时间步长，下标表示节点符号，所以，，(23)。在方程式22中，Vp是节点P的体积，对于一个简单的矩形网格来说是Delta;x3。等式22的结论被所有节点取代，比如，离散运动方程式（22），易于实现其完全非线性的形式。 然而，为了进行误差分析和数值稳定性分析，需要使用线性化版本。线性化的近场动力学模型的离散形式是，（24）。C是被称为微系数的张量值函数，定义为，（25）。因此在线性理论中的对偶力由fnof;=C（xi;）eta;。对于比例材料的特殊情况，或，（26）。后一个表达式使用笛卡尔坐标系中的组件，在等式22和24中，一个明确的中心差分公式是用于加速度的，，（27）。通过使用标准误差分析技术[4]，空间和时间离散化误差与方程24关系可以被表示为。除此之外，等式24的冯诺依曼稳定性分析导致了稳定的时间步长要求，（28）。
水平线zeta;的值可能取决于被建模的应用的物理性质。例如，在纳米级，zeta;将由原子或分子之间发生相互作用的距离决定。然而，在宏观计算中，可以根据方便选择zeta;，因为如前所示，确定材料的体积弹性特性的诸如c之类的参数可以适用于zeta;的任何值的实验数据。参见，例如，方程式（10）。实际上，对于宏观尺度建模，zeta;=3Delta;x的值通常很好。 比这更小的值通常导致不期望的栅格效应（沿着栅格的行或列的裂纹增长）。 大于此值可能会导致波浪散布过大，并需要非常大的计算机运行时间。
边界条件在近场动力学方法上与传统理论有些不同。 如[1]所示，近场动力学方程的变分公式不会导致自然边界条件，其在经典理论中是牵引边界条件。 相反，在物体表面的力必须作为力b施加在表面下的某一层内。 在实践中，该层通常具有厚度zeta;。 类似地，位移边界条件必须在表面下的有限厚度层内规定。
虽然上述分析假定节点的规则格点，但该方法不限于这种结构化网格。通过使用不规则网格，可以对复杂的几何形状进行建模，并且无网格方法的全部优点都实现了。
6.有限元的实施
回想一下，近场动力学连续体间的相互作用通过代表粒子间物理力的键表示。全部的这样的键形成一个连接所有物体的网格成对的彼此吸引的力。这样一个键的网格在意义上是拉格朗日在参考（未变形）配置中定义，因此，连接在变形过程中不会发生变化。虽然EMU中的离散化描述在前面部分是无网格的，用于在一个有限元程序中实现，由桁架元素组成的网格使用适当的刚度属性来表示近场动力学键。要做到这一点，首先观察乘法等式（22），通过Vi导致运动方程相同以以下的形式：
= （29）
（30）
M是总质量矩阵，是外力向量，是内力矢量。每个对角线的M是Vi，Fn的每个分量是。同样的，每个的组成部分是，是来自连接到节点i的所有力的总和。从而，在FEA代码中实现近场动力学的过程基本上归结为生成一个预处理任务桁架组件（网架）和桁架的刚度特性与近场动力学理论一致。虽然不存在产生不规则的近场动力学桁架网格的技术问题，简单而均匀使用矩形网格进行模拟。在这种情况下，节点的均匀矩形阵列是首先定义的，然后通过连接任意生成桁架给定节点i到位于半径范围内的以节点i为中心的任何其他节点p。通过，大约114个桁架连接到每个内部节点的三维体。 显然，即使是中等规模的问题，整个地区可能需要数以百万计的桁架被模拟在近场动力学中。为了减轻一些计算负担，那就是将周向桁架网连接到传统的桁架网是非常理想的FEA网格。 以这种方式，可以使用蠕动对于预期会造成损坏或破裂的次区域，传统的FEA可以用于其余部分的结构。 不幸的是，这种耦合不是就像通常在网格之间共享节点一样简单在FEA中完成。如前所述，近场动力学中的边界是“模糊的”（规定的位移或载荷必须通过有限体积而不是表面施加的）。因此，耦合必须在跨越一些的区域进行通常为外表面的厚度。这最容易通过引入位移来实现周界网格边界之间的约束FEA网格边界。 如果p表示距离内的节点的近场动力学/常规边界，h表示它们将耦合
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