一种用于预测材料应力应变曲线的微观力学模型
1 简介
在本片论文中，已经开发了一个简单的微观力学模型来预测填充弹性体的有效应力 - 应变关系。 本模型涉及橡胶状材料的瞬时杨氏模量和泊松比，考虑橡胶链在炭黑（CB）颗粒上的吸收的双夹杂物构型和Mori-Tanaka方法来计算 有效的应力 - 应变曲线。 随后的预测能够反映已知的S形超弹性复合材料，并通过与现有实验和分析模型的比较进行验证。并且在参数分析过程中考虑结构的微观效应。
复合材料由于其大的变形能力已被广泛应用于各种工业领域。为了了解它们的性能，应该建立材料宏观力学性能与微观结构以及组成成分的准确关系。因此准确而且简单的均化方法对于它们的广泛应用是非常必要和迫切的。严格意义上来说现用的方法分为细观力学方法和分子链网络模型。细观力学方法用连续介质力学方法分析具有细观结构（即在光学或常规电子显微镜下可见的材料细微结构）的材料的力学问题。能够建立材料微观结构与宏观力学性能之间的联系。在选用合适的模型以及计算方法之后，通过迭代的方法能研究材料非线性力学行为。首先，简要回顾微观力学方法。 Mullins和Tobin系统地测量了含有CB粉末的硫化橡胶的应力 - 应变关系，并引入了应变放大因子（EM-基体模量，fP-颗粒体积分数）来描述增强的弹性性能。虽然在预测和实验之间取得了很好的一致，但基体对CB粉末的约束效应这个因素并没有被考虑。 Bergstrom和Boyce 用实验以及有限元法研究了硬质颗粒对橡胶基复合材料力学宏观力学性能的影响。基于第一个应变恒定而不是应变扩增提出了一个新的概念，可以很好地预测实验结果。据笔者所知，关于复合材料的有限变形的研究，直到Ponte Castaneda开发出二阶均化方法后才得以真正解决，并采用优化计算方法来解决能量最小问题，从而较为准确的确定两阶段变形之间相容的条件。美中不足的是他们的方法在解决许多偏微分方程只能通过特殊的代码编程。而且这种方法很复杂，仅限于平面应变情况。 Bouchart等人提出了研究可压缩超弹性复合材料的另一种替代方法。 Omnegrave;s等人开发了一个广义的自洽方案，包含闭塞橡胶，结合橡胶和渗滤网络，以预测填充橡胶的宏观力学性能。 Yin 基于Eshelby张量建立了颗粒增强弹性体的本构模型。尽管充分考虑了粒子和矩阵之间的相互作用，但有些推论是有争议的。例如，在处理有限应变变形时采用了小应变Eshelby张量。 NematNasser 首先推广了Eshelby张量的有限应变形变，并得到了相应的公式，取得了一定的理论成果。 Yang和Xu通过建立微观力学模型，并且使用基于超弹性本构关系的有限应变理论，研究了纤维增强聚合物的宏观超弹性行为。 基于应变能量分析理论，提出了一种新的应变能函数，该函数由具有优化方向选择后的有限可伸长固体材料的各个相和体积分数的行为来表示。 Huang等人基于文献提出了一种新型微机械分析，用于预测由纬编聚酯纤维互锁织物和聚氨酯弹性体基体制成的复合材料的应力/应变力学行为。 Li等人通过实验研究CB炭黑颗粒填充橡胶材料，而且对局部应变场进行精确数值分析，得出橡胶基体中局部应变分布近似服从统计学中的高斯分布。阿巴迪提出了均匀化程序，并且用它来预测了非均质材料在大变形时的剪切响应。通常采用许多分子链网络模型来理解固有的形态演化过程。 Drozdov和Dorfmann 强调了在有限应变变形下聚合物链属于机械能理论范畴而不是熵理论，并开发了聚合物和填充聚合物的新型微观力学模型。还有基于添加剂配置成分的不同，Govindjee和Simo 开发了一种微观力学模型并分析了CB炭黑颗粒填充橡胶中Mullins效应和脱粘损伤。此外，Dargazany和Itskov 提出了一个网络演化模型来研究变形引起的各向异性和损伤情况。 总之，在有限应变情况下确定填充炭黑颗粒和基体之间的变形相容条件是一项不容易完成的任务，但是这是解释填充弹性体的有效力学行为的必要前提。复合材料的本构模型在预测应力 - 应变关系时应该是准确的。 而且实际应用中，模型应该比较简单，以便用于分析宏观复合材料结构的通用有限元代码。 为了满足这些要求，本文提出了一个简单但精确的微观力学模型，用于填充弹性体的非线性应力 - 应变关系。使用M-T方法分析材料的力学行为，将预测的应力 - 应变曲线与已发表的实验进行比较，并进行参数分析，并以此来验证所提出模型的正确性与准确性。
2 微观力学模型
2.1橡胶矩阵的正切弹性
橡胶基体材料应该是各向同性的，超弹性的，几乎不可压缩的，并且由于其高精度的特点，所以可以被下面的奥格登应变能函数描述
：(1)
这里ai和bi是未知参数，通过拟合单轴应力 - 应变曲线来确定。 ki是材料的主要拉伸参数，它是与主应变相关的，并且由ki = 1 ei计算得出。材料等效应变的计算结果由下式给出(2)
由于不可压缩性条件k1k2k3 = 1，各个应变分量应满足以下关系：
(3)
为了能够使用线性方法处理非线性弹性体，整个变形程序被分成n个加载步骤，即将附加载荷逐步施加到试样上直至最终变形。 由于变形过程中每一步的切线模量不同，第n步的瞬时杨氏模量和泊松比可以由下式定义：
(4)(5)
其中r11和e11分别表示在加载方向上的名义应力和名义应变。 在本文中，加强以及矩阵的所有术语分别用下标“P”和“M”表示，而复合的所有术语用符号表示，没有任何角标。 所涉及的所有的张量和矢量都用粗体书写。
2.2 双包含（DI）模型
图1描绘了CB炭黑颗粒增强橡胶的均匀化过程。 对于实际生产中的复合材料，CB炭黑纳米粉末很容易在橡胶基体中发生团聚现象从而形成网状结构。 这些网络围绕着一部分聚合物链，因此其变形在施加拉伸期间受到很大阻碍。 由于炭黑颗粒相对于橡胶相的高刚度，CB炭黑颗粒相弹性地线性地变形，所以CB炭黑颗粒和包围橡胶形成了一种新的分散在基体中的夹杂物。 而为了更好的研究复合材料的宏观力学性能，需要事先对其进行均质化。以下是均质程序。 CB炭黑颗粒相当于一个均匀的层，其体积分数恰好等于给定的CB浓度作为已知参数。 假定被包围的橡胶基体发生弹性地线性变形，并且其材料特性已经由已知的参数给出。 所以DI的体积分数可以由下式定义：
(6)
其中DBPabs表示DBP（邻苯二甲酸二丁酯）的吸收和准备就绪测量不同的橡胶。 如图1所示，DI配置按次序构造，其等效刚度可以通过我们以前的研究所得计算。 为了实现这一目的，首先构造了包括粒子及其周围层的新配置。 在DI构造过程中，为简单起见，粒子及其周围层的边界我们假设是平行的。
在DI模型中，中心粒子被inho-mogeneous层包围，又嵌入无限矩阵CM中，层和粒子构成DI。 DI包括一层具有均匀刚度张量CM的椭球体XC。 其层体积分数是
DI的等效刚度可以由下式计算得出(7)
其中。 在给出DI的等效刚度之后，下一步要做的工作是预测由DI增强的填充弹性体而不是CB炭黑颗粒的有效性能。 在计算有效复合材料的宏观力学行为时，应该用CDI来代替刚度十层CP，由公式 （7）计算得出CDI，并且用DI分数fDI代替粒子分数fP
2.3 增量Mori-Tanaka方法
应力 - 应变关系可以用含有DI夹杂物的虚构复合材料来预测。 根据Benveniste的Mori-Tanaka方法[24]，经过简单的推导，可以得出复合材料的增量本构关系为：
构成物的增量第一P-K应力张量（名义应力）分别为：
类似地可以得出，构件的增量应变张量分别写为：
图1.炭黑（CB）增强橡胶的均匀化过程
3。结果与讨论
3.1。验证分析模型
图2显示了含有不同浓度MT-CB的橡胶在理论预测和实验[1]之间的比较。除非另有说明，组成特性为EM = 10MPa; vM = 0：5，EP = 10GPa; vP = 0：3，而0.02139*DBPabs = 2.5 [22]。在试验中所得应力应变力学特性曲线图清楚地表明，除了较高的拉伸阶段之外，所有的预测都与实验相符。主要原因是随着施加拉伸应力的增加，颗粒与橡胶基体之间会发生脱粘损伤现象。毫无疑问，通过综合考虑模型中的剥离损伤效应，预期所得实验结果会更好。
图3显示了填充了CB炭黑颗粒 N351掺杂相的天然橡胶在压缩下的理论预测和实验之间的比较[3]。在这里，0.02139 *DBPabs = 2:05 [23]。与单轴拉伸不同，颗粒 - 基体界面在压缩下不会分离，因此所有预测的应力 - 拉伸曲线在整个拉伸范围内都与测试数据非常吻合，这再次证实了所开发的微观力学模型的准确性。
如图4所示，本模型与已发表的分析模型进行了比较，如图4所示。与其他模型相比，本方法提供了最佳的预测结果。最重要的是，只有本文中所建立的微观力学模型能够捕捉S形的应力--拉伸关系
3.2。 验证纤维填充弹性体的模型
最近开发了两种新型用于纤维增强复合材料的分析模型。 一个由Lopez-Pamies开发[4]。
图2.填充不同浓度MT-CB炭黑颗粒的橡胶在拉伸状态下的理论预测和实验[1]。
图3填充CB N351的天然橡胶在压缩下的理论预测和实验结果[3]。 图4分析模型与fP = 21％的实验之间的不同
图5显示了刚性纤维增强复合材料的不同分析模型预测的应力 - 应变关系之间的比较，其中1轴处于垂直于纤维方向的横向平面中。 deBotton的模型[25]比其他模型提供了更好的FEM结果预测[26]。 现有模型和洛佩兹模型的预设结果互相叠加，并略微偏离有限元分析结果。
图6和图7比较了本模型预测的刚纤维增强复合材料的应力 - 应变关系与有限元分析[26]。 两个图中的基质材料非常不同，图7中的基质与图6中的基质材料相比，在较低的伸展范围内达到了锁定阶段。本模型是基本上基于应力/应变场的体积平均值，这很难解释由橡胶基体锁定引起的变形局部化。分析模型提供了对低颗粒体积分数下变形响应的良好估计。但随着颗粒体积分数和应用范围的增加，预测值会从有限元结果中快速偏离。图6中的预测值和FEM数据之间的差异与图7中的预测值和FEM数据之间的差异稍低，这是由在第一拉伸阶段早期锁定基质引起的。为了更好地预测填充弹性体的变形响应，应开发高阶均匀化方法以充分反映软硬异质体系的微观结构效应。此外，在大变形期间微观结构（例如，颗粒分布，基体性质等）可能变化很大，并且在改进分析模型时应该考虑相应的诱导影响。
图5.纤维增强复合材料的不同分析模型预测的应力 - 应变关系。
图6.刚性纤维增强复合材料的理论预测和有限元[26]。
图7.刚性纤维增强复合材料的理论预测和有限元[26]。
图8.应力 - 应变关系对颗粒体积分数fp的依赖性
图9.应力 - 应变关系对颗粒弹性的依赖性
图10.加载路径不同对复合材料应力 - 应变的影响
3.3。 颗粒刚度和颗粒浓度的影响
图8说明了复合应力 - 应变关系对0-50％范围内颗粒体积分数fP的依赖关系。 正如预期的那样，增加颗粒体积分数也会增加施加相同拉伸时的整体应力。
图9显示了颗粒刚度对复合材料变形响应的影响，其中EP在0-1的宽范围内。 EP = 0表示空隙，EP=1表示1个刚性夹杂物。图中曲线清楚地表明，实验刚开始时有效应力随着颗粒刚度的增加而增加，但超过一定值后就不能增强材料的有效应力了，这个实验现象也由Bergstrom的模拟模型[3]和实验[27]证实。
3.4。 加载路径的影响在
在图10的图表中，把标称应力r11或s12的变化作为主伸长率k1，可以得到纯剪切和双轴拉伸的函数曲线。明显可以看出双轴拉伸的应力水平高于单轴拉伸的应力水平，剪切的应力水平最低。 这些结果突出了不同加载路径对应力 - 应变关系的强大影响。
4。结论
在本文中提出了一个新型微观力学模型来预测填充弹性体的在有限应变情况下应力 - 应变关系。采用双包含模型考虑CB炭黑颗粒网络对橡胶基体的约束效应。把原本橡胶类材料的非线性本构关系，通过瞬时杨氏模量和泊松比进行线性化。通过增量Mori-Tanaka法预测填充弹性体的应力 - 应变曲线。已开发的模型通过与已发表的实验和分析模型进行比较验证。此外，参数分析是针对微观结构效应进行的。在实验过程中得出了几个重要的结论：
（1）在预测填充弹性体的有效行为时应考虑CB炭黑颗粒网络结构。 CB炭黑颗粒网络围绕的橡胶基体，从而导致变形受到很大阻碍，所以提高了复合材料的承载能力。
（2）本实验是基于体积平均的均匀化模型，但是不能解释橡胶基体的变形位置，因而高估了填充弹性体的拉伸响应。
与现有的分析模型相比，本模型在解释填充弹性体的有效性能方面非常准确而且简单。
致谢
这项工作得到了江苏省中央大学基础研究基金（No. B11020079）国家自然科学基金（No. BK2012407）和国家自然科学基金（No. 11202064）的大力支持。
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