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基于尺寸依赖的Timoshenko梁模型，表面应力对纳米管输送流体振动和不稳定性的影响
摘要 本文提出了对表面应力对流体输送纳米管的振动特性和不稳定性的影响的精确研究。为此，纳米管被建模为Timoshenko nanobeam。 基于Hamilton原理和包含表面应力效应的Gurtin-Murdoch连续体弹性获得纳米管的运动方程。 之后，采用广义微分积分方法对控制方程和相关边界条件进行离散化。 讨论了多少重要参数如厚度，材料和表面应力模量，残余表面应力，表面密度和边界条件影响纳米管的固有频率和流体的临界速度。
关键词 流体输送管。 振动和不稳定。 表面应力。 古尔丁 - 默多克弹性连续体。 广义差分正交法
1 介绍
纳米电子机械系统中纳米管的许多应用激励了纳米科学家的探索与这些材料相关的不同潜在方面[1-6]在纳米管的所有最有益的应用中，可以提及纳流体系统，例如流体储存，流体输送和药物递送[7-11]。 因此，认识到与流体输送纳米管有关的重要问题，如振动特性，稳定性和内部流体的运动学，这是非常重要的。 在这方面，根据连续弹性模型，Yoon和Mioduchowski [12]研究了内部移动流体对悬臂碳纳米管的自由振动和流动引起的颤动不稳定性的影响。 Khosravian和RafiiTabar [13,14]研究了粘性和非粘性流体流动对纳米管结构稳定性的影响。
Reddy等人研究了流体流动对流体输送单壁碳纳米管的自由振动和不稳定性的影响。 [15]。 Wang等人的一项研究[16]使用热弹性和欧拉 - 伯努利梁理论研究考虑到热效应的流体输送单壁碳纳米管的振动和不稳定性。 Rasekh和Khadem [17]对基于欧拉 - 伯努利梁理论的研究进行了研究，研究了内部移动流体和压缩轴向载荷对嵌入式碳纳米管非线性振动和稳定性的影响。研究Xia和Wang [18]比较了具有弯曲纵向形状的流体输送碳纳米管与直链碳纳米管的振动特性。 Ni等人开发了半分析方法。 [19]，所谓的微分变换方法，分析了自由振动问题具有几种典型边界条件的流体输送管道。 Ghavanloo等人的研究[20]研究了嵌入粘弹介质中弯曲流体输送碳纳米管的平面内振动行为。
与纳米尺度系统相关的重要问题之一是可以深刻影响这种系统的静态或动态行为的尺寸效应。 开发了能够考虑尺度依赖性的不同修正连续体理论，如应变梯度弹性，耦合弹性，非局部弹性和表面弹性理论[21-23]。 这些非经典理论已被有效地用于捕获对微观和纳米结构的力学行为的尺寸影响[24-28l。
最近，已经进行了几次尝试来说明尺度依赖性对流体输送纳米管的机械响应的影响。 通过使用非局部弹性理论，Wang [29]开发了一种非局部欧拉 - 伯努利弹性梁模型，用于微米和亚微米尺度的流体输送管梁的振动和不稳定性。 通过考虑对流场的小尺寸影响，Rashidi等 [11]提出了流体输送纳米管的耦合振动的创新模型。 Rafiei等人使用非局部欧拉 - 伯努利梁理论 [30]研究了粘弹性介质中非均匀单壁流体输送碳纳米管的振动特性。
基于非局部理论和冯卡曼拉伸的输送碳纳米管的非线性振动由Ali-Asgari等人研究。 [31]。 他们研究了中间平面拉伸和非局部参数对其耦合模型的影响。 Ghasemi等人研究了多壁流体输送碳纳米管的屈曲和后屈曲度。 [32]基于Eringen非局部弹性理论。 大多数研究仅限于碳纳米管; 然而，最近已经研究了其他由不同材料制成的管状纳米结构，例如氮化硼[33-35]。
对表面应力的研究表明，它可以对纳米结构的弹性行为有显着的影响[36,37]。 在一项杰出的工作中，古尔丁（Gurtin）和默多克（Murdoch）[38,39]提出了一种能够基于连续力学捕获纳米结构力学分析的表面应力效应的理论方法。 这种方法已被用于不同的研究[40-42]。 考虑表面效应的流体输送纳米管的振动行为由Wang [43]进行了研究。
本文研究了表面应力对流体输送纳米管的振动和不稳定性的影响。 在这个工作中考虑的纳米管是基于Timoshenko梁理论建模的。 流体输送纳米管的运动方程是基于汉密尔顿原理和古尔丁 - 默多克连续弹性得出的。广义微分正交（GDQ）方法用于离散化控制方程和相应的边界条件。 深入讨论了厚度，材料和表面应力模量，残余表面应力和表面密度对纳米管的固有频率和流体流动临界速度的影响。
2推导运动方程和相应的边界条件
图 1 具有两个表面的流体输送纳米级管道的示意图层和内部流体
在图1给出了具有长度L和厚度h的纳米管的示意图，输送质量密度rho;f的不可压缩流体，以恒定速度V流动。连续的插塞状流被用于模拟内部流动。 在该模型中，流体被认为是流过管道的无限挠性的棒状结构[14]。 应注意，基于插塞状流动的流体 - 结构相互作用符合无滑移边界条件的假设。 根据王等人的调查结果 [44]和Mirramezani等人 [45,46]，滑移边界条件不是连续流动状态下液体纳米流动行为的影响参数。 考虑到滑移边界条件不会明显改变临界液体纳米流速。 因此，简单的塞状流可以是流体和纳米管之间的相互作用的可接受的模型。
大部分和两个额外的薄表面层（内层和外层）形成外部纳米级管。 对于大部分，我们有杨氏模量E.泊松比v和质量密度p。 散装部分的内半径和外半径分别由Ri和Ro表示。 两个表面层被认为具有和作为Lame的表面常数，质量密度和表面残余张力。 考虑笛卡尔坐标系（x，y，z），x轴沿着偏转的纳米管的长度，沿着中性轴的y轴和沿轴向的Z轴。根据一阶 剪切变形梁理论，通过考虑旋转和平面不平衡，沿着x轴，y轴和z轴的纳米级管中的任意点的位移可以以一般形式写成
其中u（x，t），w（x，t）和psi;（X，t）代表部分中心的轴向位移，即纳米管的横向偏转。 以及横截面相对于垂直方向的旋转角度。
纳米管的应变 - 位移关系可以表示为
此外，根据线性弹性，应力分量可以表示为
其中,是Lame的常数; ks表示剪切校正因子。
古尔丁 - 默多克理论有助于考虑常规连续谱方法中的尺寸效应。 关于纳米结构的原子特征，弹性表面和松散材料之间总是存在相互作用。 因此，纳米结构主要经历各个方向的面内载荷。 大部分纳米管的表面上的这些面内载荷导致表面应力，其基于Gurtin-Murdoch理论可以通过使用表面本构方程来计算
因此，可以相对于位移分量导出表面应力分量
不同于横向法向应力被忽略的经典光束理论，本理论保留以满足Gurtin-Murdoch模型的表面条件。 为了解决这个问题，假设应力分量通过光束厚度线性变化，并满足表面上的平衡条件[47]。根据这个假设可以获得
使用方程（5）可以得出如下
现在，插入方程 （7）将纳入大部分纳米管的应力成分，一个将会有
包括基于连续表面弹性理论的表面应力效应的纳米管的应变能可以计算为
其中
此外，纳米管的动能和流体动能可以表示为
其中A和Af分别表示纳米管和流体的横截面积; I和If代表相应横截面积的第二时刻。 通过采用汉密尔顿的原理，即，
并采用u，w和ѱ的变化，并且通过部分整合，可以通过将，和的系数设置为零来获得运动方程（13a-c）和相关的边界条件（13d-f）
这里，简单支持（SS）和夹紧（C）边界条件分别被认为是
刚度分量和惯性相关术语可以定义为
用等式 （15） （13a-c），运动的微分方程可以表示为
通过引入以下无量纲数量
其中和; 纳米粒子的运动归一化控制方程和相关边界条件可以写成
对于SS边界条件
对于C边界条件
3数值解
为了找出纳米管输送流体的振动和稳定特性，本文采用GDQ法。 对于离散方程，网格点位于切比雪夫 - 高斯 - 洛巴托点
因此，向量u，w和ѱ将以下列形式呈现
控制方程的离散形式可以表示为：
其中
边界条件也可以以相同的方式离散化。 等式（22a）可以以下列矩阵形式重写
其中.解决方案可能写为
其中X是振幅的函数，Im（w）是输送流体流量的纳米管的无量纲频率。 无量纲频率定义为，其中Omega;是管道的固有频率。 用等式 （25） （24），等式 （24）可以以状态空间的形式导出，可以得到以下特征值问题
其中是状态向量
4结果和讨论
在本节中，描述了不同系统参数的纳米尺度管的包括表面应力效应的频率响应曲线，以证明表面应力对纳米管的谐振特性的影响。
首先，为了确保拟议模型和数值方案的准确性和有效性，图中给出了输送SS-SS结束条件下的各种厚度的纳米管输送流体的速度 - 频率曲线。 2并与参考文献的结果进行比较。 [43]对于SS-SS欧拉 - 伯努利梁模型。 由于在本研究中，除了表面弹性常数和表面残余应力外，运动方程中也考虑了表面质量密度和泊松比的影响，忽略了这些参数的影响，从而进行了直接比较。
图 2 具有和不考虑不同值的表面效应的无量纲流速（v#39;）的固有频率（w#39;）的变化的厚度与参考文献相比。 [43]对应于L / d0 = 7和b L / d0 = 25.黑色连续经典，现在; 黑色虚线经典，参考文献 [43] 蓝色连续线h = 5nm，呈现; 蓝色虚线h = 5nm，参考文献 [43] 红色连续线h = 2nm，存在; 红色虚线h = 2nm，参考文献 [43]
根据图 如图2所示，可以观察到，通过本方案产生的结果与文献报道的结果非常一致，特别是对于大的长宽比L / do。 注意，无量纲频率和流速如图1所示。 2分别如参考文献中所定义为X和X。 [43]。 参数EI无管表面层的管的弯曲刚度; m是每单位长度的管的质量，M是每单位长度的流体质量。 根据该图可以看出，基本频率随着流速的增加而呈指数下降，直到自然的特定速度
频率变为零。 管道失去稳定性的流速的这个值称为临界流速（Vcr）。 从经典和非经典结果的比较可以看出，随着长宽比的增加，目前的结果（Timoshenko模型）更接近于参考文献的结果。 [43]（来自欧拉伯努利模型），如预期的那样。 因此，在该图中描绘了应用Timoshenko理论对厚梁的影响。 此外，得出的结论是，欧拉 - 贝莫利模型预测的频率和临界流速被高估了。 另一个发现是，随着厚度的减小，因此管的尺寸减小，表面效应变得更加突出。
对于剩余的纸，假设di / do = 0.8，L / do = 12。而且，无量纲频率和流速定义为和，其中Omega;是管的尺寸频率。 因此，临界流速获得为X，其中Vcr是尺寸临界流速。
结果提出了由硅材料制成的纳米级管材，具有以下材料性质[48,49]
图 3 基频作为无量纲流速的函数，对应于a SS-SS，b C-C，c SS-C边界条件的不同厚度值。 蓝色连续线h = 1nm; 红色虚线h = 2nm; 绿色点划线h = 4nm; 紫色虚线h = 10nm; 黑色连续线经典
图3描绘了纳米管的无量纲固有频率与各种终端条件下的速度。该图示出了从非经典和经典光束理论获得的不同厚度的纳米管的振动特性。对于所有类型的边界条件，当前模型预测的基本频率通常高于经典理论预测的基频，特别是当纳米管的厚度较小时。随着厚度的增加，表面效应减小，曲线越接近经典效果（无表面效果）。在某种意义上，尺寸效应对于具有较小厚度的纳米管更加突出。
此外，具有钳位边界条件的纳米管的固有频率大于具有其他类型边界条件的纳米管的固有频率，表明较高的稳定性。
图 4 无量纲临界流速作为纳米管厚度的函数，对应于a SS-SS，b C-C和c SS-C边界条件。
线圈与现场模型;连续线经典
图4显示了随着厚度的增加，表面应力对临界流速的影响。观察到，根据经典理论，临界流速对厚度的变化无关;然而，在本结果中，表面应力对临界速度的值起着重要的作用，这取决于纳米管。例如，对于简单支持的边界条件和h = 2nm，由非经典模型预测的临界流速度比没有表面效应的经典模型预测的临界流速大约是1.43倍。如所看到的，具有较低厚度的纳米管更稳定并且可以抵抗较高的流速。
图 5 表面弹性常数对纳米管的第一和第二振动模式的频率的影响作为不同边界条件（h = 2nm，）的无量纲流速的函数。a SS-SS。 b C-C。 c SS-C。 红色虚线= 15 N / m;黑色连续线经典; 蓝色虚线 = -15 N / m
材料和表面应力模量对经典和非经典理论预测的第一和第二模式频率的影响如图5所示。 假设和h = 2nm，其中第一和第二模式的曲线倾向于在一起，表明系统再次稳定。 可以看出，对于所有三种类型的边界条件，的正值增加了固有频率，导致更高的刚度[50]，纳米管可以以更高的流速传达流体。 然而，的负值使结构更软，降低了固有频率。
图 6 表面密度对不同边界条件（h = 2nm，）的无量纲流速函数的纳米管的第一和第二振动模式的频率的影响。a SS-SS。 b C-C。 c SS-C。 黑色连续线经典; 蓝色虚线Ps = 10-7 kg / m2; 红点划线Ps
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