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使用ARMA-GARCH模型探索区域差异
作者Huantian Xie,Dingfang Li,Lihua Xiong
[摘要] 近年来，广义自回归条件异方差（GARCH）模型被提出并应用于各种水文变量中以识别和消除ARCH效应问题，这种效应问题常出现在适合水文时间序列的线性自回归滑动平均（ARMA）模型的残差中。由于变量表现出非线性，通过ARCH效应检验出该水文过程确实符合部分非平稳和非线性关系。本文利用ARMA-GARCH误差模型处理流域的变化，该模型的构建结合了ARMA模型对均值的建模方法和GARCH模型对ARMA模型中残差的方差行为的建模方法。 基于水文变量序列的异方差性，本文首次提出了时变区域方差检验流域变化的方法。作为实证研究，本文将此方法应用于中国长江中游的四期非季节性日排水问题中。通过对条件变量进行分析，可得出以下结论：（1）本文所研究的序列对象均存在ARCH效应，即水流过程是非平稳的；（2）邻近的水文站序列的方差变化相似，相似度从上游到下游逐渐递增；（3）区域变量方差是随时间波动的，可用于进一步的区域研究中。
关键词 ARMA-GARCH模型；时变；区域差异；日排放系列
- 引言
气候、土地使用和用水的变化过程造成了各种非平稳水文过程中的变量（Al-Mukhtar等2014；Li等人2015； Vasiliades等人2015； Wang等人2015; Xiong等人2015）。 在水资源和水文领域研究，流量是最重要的指标之一（Birsan 2015; Shiau和Hsu 2016），由于影响因素的复杂性和多样性，其被认为是非线性的。而且，尽管方差的变化可能会对观察记录的非平稳性产生更显着的影响，检测通常也仅用于分析平均值的变化（Li 等人2014； Malekian和Kazemzadeh 2015； Saidi等人2014； Yilmaz和Perera 2015）。
非线性问题难以处理，因此总是用线性对应来近似。在模拟和预测水文时间序列的平均值时，传统的线性时间序列方法如自回归（AR）模型、自回归移动平均（ARMA）模型和自回归积分移动平均（ARIMA）模型是不够的，因为它们具有一个常见的假设，即残差序列具有独立的相同分布，但实际上残差的变化不是一个常数。通常在金融和经济时间序列中会观察到集群中经常出现大的或小的残差的现象，并且被称为条件异方差。当一个时间序列显示出自回归条件异方差性时，称该时间序列具有ARCH效应（Weiss 1984）。为了识别和消除条件异方差性，由Engle（1982）提出的ARCH模型和由Bollerslev（1986）提出的后来扩展为GARCH（广义ARCH）模型的ARCH型模型为我们提供了一个适当的框架。
根据现有文献，ARCH型模型已被广泛应用于很多领域，特别是金融市场数据的分析，但很少有研究应用GARCH方法对水文变量中的这一现象进行建模。 Romilly（2005）将季节性自回归移动平均（SARMA）模型拟合到全球平均每月温度，并应用GARCH模型去除残差中的异方差。本研究的模型比较表明，SARMA-GARCH模型的表现略好于用于全球平均温度时间序列预测的SARIMA模型。Wang等人（2005）采用非季节化AR模型和ARMA模型拟合中国唐乃亥黄河上游月流量和日流量时间序列。他们的结论是，ARCH效应的主要原因是残差序列方差的季节性变化。然而，尽管方差的季节性变化可以完全解释月流量的ARCH效应，但这只是日常流量的部分解释。因此，有人提出了一个ARMA-GARCH误差模型来识别日流系列中存在的ARCH效应，并保留残差方差的季节变化。Wang等人（2012）采用季节性ARMA模型和ARMA-GARCH模型拟合了宜昌水文站1949 - 2001年的日径流资料。结果表明，与传统的ARMA模型相比，在相同的置信水平下，ARMA-GARCH模型能够预测更精确的置信区间。Modarres和Ouarda（2013a）将SARIMA-GARCH模型应用于来自潮湿和干旱地区的两个月降雨时间序列，考察Box-Cox变换和季节差异对SARIMA模型残差剩余季节异方差的影响，说明SARIMA模型残差的季节异方差可以通过Box-Cox变换和季节差分来消除潮湿的地区降水，但不包括干旱地区的降雨数据。得出的结论是GARCH建模方法有必要识别SARIMA模型残差中剩余的异方差，但该评估标准并不一定表明GARCH模型改善了SARIMA模型的性能。 为了说明对水文时间序列建模时，应用这些非线性模型通常优于应用线性ARIMA模型的优点，Modarres和Ouarda（2013b）提出了将GARCH模型的三个子类应用于流水时间序列建模中。
如上述文献所示，在水文学的异方差时间序列建模中已经考虑了流量，但他们只关注一个现场系列，对同一流域不同水文站流量序列的异方差性及其对应关系的研究是一个缺失的领域。而且，从时间序列模型的角度来看区域非平稳性检测也是一个缺陷。所以本研究试图用方差来检验流域的区域变化，并且通过定义来自同一盆地的不同季节性系列的条件异方差来定义时变区域方差。
本研究的主要目标是，（1）对同一条河流不同水流系列的线性模型残差的异方差性进行检验和建模；（2）调查邻近水文站水流系列间的变化关系；（3）通过所提出的时变区域方差来检查流域的变化。
文章的其余部分按照以下方式组织，在第2节中，基于定义的时变区域方差，提出一种新的检测水文序列方差的非平稳性的方法；第3节阐述该方法在来自同一条河流的四个每日排放系列数据中的应用；讨论和结论在第4节中给出。
2方法论
本节介绍本文使用的ARMA-GARCH模型，并详细介绍了建模阶段。 为了检验流域的变化，时变区域方差是通过不同的季节性水文变量序列的条件方差来定义的。
2.1 ARMA-GARCH模型
ARMA-GARCH模型是由用于建平均行为的线性ARMA模型和用于建来自ARMA模型的残差的方差行为的非线性GARCH模型组成的组合非线性模型。 给定时间序列{}，用ARMA（p，q）表示的ARMA模型的一般形式是
其中c是常数，，（i = 1，...，p; j = 1，...，q）是p阶自回归模型和q阶移动平均分量的系数是白噪声序列，均值为0，方差为固定值。
图1 1957 - 2010年a，b，c和d站日流量序列
GARCH（r，s）模型具有以下形式，
其中，表示实值离散时间随机过程，是可用信息集，rge;0，sgt; 0，0，ge;0，ge;0。当r = 0时，GARCH（r，s）模型简化为ARCH（s）模型。 在GARCH（r，s）模型下，条件的方差取决于前面时间步长的平方残差，以及前面r个时间步骤中的条件差异。 由于GARCH模型可以作为平方残差的ARMA模型处理，GARCH的顺序可以用选择ARMA模型顺序的方法确定，并且传统模型选择标准，如Akaike信息准则（AIC）和贝叶斯信息标准（BIC），也可用于选择模型。 未知模型参数（i = 0,1，...，s）和（i = 1，...，r）可以用（条件）最大似然估计（MLE）。 有条件的估计标准偏差也作为MLE方法的副产品获得。
图2 1957 - 2010年a，b，c和d站径流日平均值和标准差的变化
表1 非季节化系列的平稳性检验
|
组 |
ADF测试统计 |
ADF测试的P值 |
PP测试统计 |
PP测试的P值 |
|
A |
minus;13.15 |
lt;0.01 |
minus;18.56 |
0.01 |
|
B |
minus;12.61 |
lt;0.01 |
minus;16.81 |
0.01 |
|
C |
minus;13.12 |
lt;0.01 |
minus;15.00 |
0.01 |
|
D |
minus;12.36 |
lt;0.01 |
minus;14.38 |
0.01 |
基于（1）和（2），AR-GARCH模型可以得到如下：
其中是过程时间序列，是的标准偏差。
2.2建模步骤
整个建模过程主要由三部分组成：数据标准化，基于自相关的线性建模和基于条件异方差的非线性建模。
在第一部分中，季节均值（SM）和季节标准差（SSD）在原始研究时间序列在季节标准化之前计算，然后通过使原始系列减去SM并且由SSD划分来获得非季节化系列。
其次，建立线性AR模型以适应上述的季节性数据，包括三个步骤：模型识别，参数估计和拟合优度测试或模型充分性检查。当初始模型的参数顺序被识别时，根据自相关函数（ACF）和部分自相关函数（PACF）的结构，可以使用矩量法（MOM）或最大似然估计（MLE）方法估计其（显着）参数，模型充分性应该也可以通过检查AR模型残差的ACF并通过Ljung-Box缺乏适合性检验来正确检查（Ljung和Box 1978）。在Hipel和Mc Leod（1996）中可以找到更多关于构建模型的细节。
图3 1957-2010年a，b，c和d站非周期序列AR模型残差的ACF
图4 1957-2010年站a，b，c和d的非季节化序列AR模型的Ljung-Box检验的P值
最后，根据上述拟合AR模型对残差平方的ACF进行检验，初步确定该过程的ARCH效应，然后通过Mc Leod-Li检验等方法进行形式化验证（Mc Leod和Li 1983），恩格尔的拉格朗日乘数检验（Engle 1982），BDS检验（Brock et al。1996）等。本文采用Mc Leod-Li检验作为主要的形式化检验方法，考虑到AIC以及平方残差的ACF和PACF结构，选择具有最小AIC值的GARCH模型。
2.3时变的区域差异
基于上述得到的同一流域不同地点水文变量序列的条件方差，时变区域方差可定义为
其中被定义为评估流域的变化，是所研究的水文变量序列在同一流域所选N个位置的第个条件方差，为相应的权重系数。
图5 1957 - 2010年a，b，c和d站非周期序列AR模型的残差
图6 1957-2010年a，b，c和d站非周期序列的AR模型残差平方的ACF
3应用
在本节中，应用上述方法对来自同一条河流的每天四个排放时间序列进行了说明。选择了这四个径流数据集来检验和比较来自同一流域的径流序列的ARCH效应，并研究径流过程的非线性和研究的流域在方差水平上的变化。
3.1数据分析
研究的排放数据来自位于中国长江流域中部1957 - 2010年的四个相邻水文站。 此后根据河流方向将原始数据和相应项目表示为A，B，C和D，A和B，C和D之间没有大的水库和分支。但是一个大湖位于B和C之间。四个原始的每日径流数据系列分别如图1所示，并且相应的径流均值和标准差的日均分布（图2）表明所有选定台站的均值和方差均具有明显的季节性。 为了避免季节性对条件异方差性的影响，通过使原始数据减去SM并由SSD划分来处理原始数据，季节性数据是我们研究的目标。
图7 1957-2010年站a，b，c和d的非季节化序列AR模型的Mc Leod-Li检验的P值
图8 1957-2010年站a，b，c和d的非季节化序列的GARCH模型的Mc Leod-Li检验的P值
3.2线性AR模型
为了构建线性AR模型，使用ADF测试和PP测试来测试季节性径流系列的平稳性，其中无效假设是该系列是非平稳的。 测试结果（表1）显示该系列在95％置信水平下都是平稳的。 通过检查ACF和PACF的非季节性序列和AIC比较，可分别为A，B，C和D建立AR（17），AR（21），AR（6）和AR（7）模型。 图3所示残差的ACF和图4所示Ljung-Box缺乏拟合测试的P值图表明拟合模型是充分有效的。
图9 1957 - 2010年a，b，c和d站的非季节性系列
图10 1957-2010年站a，b，c和d的非季节化序列的GARCH模型的条件标准差
3.3非线性GARCH模型
尽管上述AR模型的残差没有显示出显着的自相关性（图3），但是通过检查残差平方和残差平方的ACF可以分别观察到图5和图6所示的明显ARCH效应。Mc Leod-Li检验结果以P值图（图7）的形式证实了残差中ARCH效应的存在，正如Wang等人（2005）和Wang等人 （2012）所发表的那样，ARCH效应不能完全用径流序列的季节性来解释，因此需要一个GARCH模型来识别和模拟非季节性排放序列中的这些非线性现象。
按照Bollerslev（1986）和Tol（1996）的方法，GARCH型模型的构建如下
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