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对易逝品的协同定价和库存决策
Onur Kaya1·Aylin Lelizar Polat2
摘要：我们研究了需求是基于时间和价格的确定性易逝品库存系统的最优定价和库存补货策略的联合决策问题。库存也被假定为以一定的速率衰减。卖方有机会在销售季节以一定的成本调整价格，以影响需求并改善收入。我们运用一个数学模型来寻找改变价格的最佳时间，最优价格和最优订货量。我们提出分析结果来寻找在给定的价格变化时间内的最优价格，并设计启发式算法来确定改变价格的最佳时间。我们通过比较单个定价情况下获得的利润，并通过数值实验分析不同参数对最优解的影响，分析了多种定价策略的效率。
关键词：定价、库存、易逝品、收益管理
1.土耳其埃斯基谢希尔安塞托里亚大学工业工程系
2.土耳其伊斯坦布尔科克大学工业工程系
- 介绍
考虑到依赖价格和时间的需求函数，我们考虑库存管理和易逝品的定价，如新鲜水果，蔬菜，牛奶，酸奶，鸡蛋和面包。这些易腐烂产品的有效管理是一个重要问题，因为观察到每个月有数十亿美元的食品过期和浪费（Minner and Transchel 2010)。与耐用产品不同，随着易逝品的老化，对这些产品的需求开始下降，并且在很短的时间内这些产品会变得完全过时，使得这些产品的管理特别困难。因此，不仅这些产品在货架上的数量，而且它们的状态或寿命也是管理人员在决定时的主要关注点。当货架上的产品开始变质，管理者需要决定是否继续使用可能导致销售下降和收入损失的产品，或订购新批次，而这会导致现有产品的浪费，因为新批次到货时这些产品不再销售。除此之外，管理人员还可以随着有效期的变化而改变产品的价格，以便控制需求并增加收入。因此，需求的易逝性和时间依赖性使这些产品的库存和定价管理变得更加困难。
在文献中，大多数库存模型都假定库存可以无限期地存货以满足未来需求，并且需求与现有产品的有效期无关。然而，实际上，存在许多易逝品，随着时间的推移而变坏或过时。因此，手头的库存不仅随需求而减少，而且由于产品到期而减少。此外，因为需求随着时间的推移的变化，在不同的时间收取不同的价格也许会更好，并且采用动态定价策略可能会大大提高利润。因此，如果变质率不够低，其对库存建模的影响就成为一个主要问题。
考虑随机需求下的动态定价的一系列文献包括航空公司对酒店预订系统的广泛应用。有很多模型，在这些模型中需要销售固定数量的库存一段时间，没有任何补货机会(例如：Gallego and van Ryzin 1994；Zhao and Zheng 2000；Monahan et al.2004;Gayon et al.2009,等）。在这些研究中，需求主要假定与时间无关，主要关注最优解的结构特征。Bitran和Caldentey 呈现了一个对文献中的动态定价策略的广泛回顾。Minner和Transchel（2010）考虑在服务水平约束下食品零售行业易逝品的订货策略，并提出确定订单数量的方法，但他们在研究中没有考虑定价。Nahmias（1982）回顾了关于确定固定寿命和随时间呈指数衰减的产品的易逝品库存系统的订货策略的相关文献。有兴趣读者也可以参考Rafaat （1991）, Goyal和Giri（2001）和Bakker等人（2012）关于易逝品的库存管理所做的调查。文献中还有几项研究考虑了需求随时间变化的易逝品的库存和定价问题。Chen等人（2014）重点关注随机需求及提前期下易逝库存的联合定价和库存控制问题，同时也关注最优解的结构特性。Chen和Sapra（2013）考虑定期审查模式下的易逝品的联合库存和定价决策，定期审查模式具有两个固定的寿命周期。Chew Peng和Chulung（2009）建立了一个离散时间动态规划模型，以确定具有两个周期寿命的易逝品的最优库存分配和最优价格，并且他们获得了几个最优性质。
Benkherouf（1995）和Mishra和Singh（2010）考虑具有时间依赖性需求函数的易逝品的库存模型中的确定性需求，但它们只关注补货计划并没有考虑定价。Broekmeulen和van Donselaar（2009）还在考虑产品有效期的情况下关注易逝产品系统，他们提出了一个在不考虑定价的情况下补充易逝品库存的启发式的策略。他们将他们的启发式结果与没有考虑到使用模拟的库存有效期的最优策略进行比较。Transchel和Minner（2009）考虑具有确定性需求的非易逝品的离散定价，假定价格变化有固定成本。Abad（1996）和Rajan和Steinberg（1992）通过允许周期内的连续价格函数p（t）来考虑定价和易逝品订购决策之间的关系。Abad（1997,2001,2003）针对具有确定性需求的易逝品实现最优定价和批量大小问题，从而允许系统中的单一价格。Burwell等人（1991）通过除了所有单位数量折扣之外还提供缺货来扩展Abad（1997）的结果。Wee（1999）已经制定了针对易逝品的联合定价和补货策略，其有效期遵循威布尔分布，部分延期交货和数量折扣，但他只考虑一个单一的价格，不允许价格变化。同样的，Mukhopadhyay等人（2004）和Sana（2010）也考虑了易逝品，假设在整个周期内收取单一价格而不允许在一个周期内进行价格变动。另外，他们假定需求函数与时间无关。You（2005）处理具有价格和时间相关需求的易逝品库存模型，并且目的是在假定价格变化之间具有固定时间间隔的情况下，确定最优数量的价格，价格值和订单数量。
在表中1，我们将我们的研究与文献中和确定性模型最相关的论文进行比较。 如表1所示，除了Transchel和Minner（2009），文献中没有研究考虑随着时间的推移离散定价允许价格变化的时间成为决策变量。例如，Rajan和 Steinberg（1992）和Abad（1996）考虑连续定价，但没有分析离散价格。You（2005）考虑离散价格，但她假定固定的时间间隔，并且不考虑价格变化的不同时间点。她也不考虑产品的任何变质过程。Transchel和Minner（2009）不考虑易逝品，因此,他们不考虑随着时间的推移库存变质。此外，其模型中使用的需求函数仅取决于价格，产品的有效期或新鲜度不会影响需求函数。我们的研究结合了这些研究中的所有不同元素，并且是文献中唯一考虑易逝品的离散定价的研究，它决定了除了最优价格值之外的改变价格的最佳时间。
表一 本研究与文献中最相关的确定性模型的比较
协同定价和库存 依赖有效期 随着时间推移 多重定价 价格变动
和价格的需求 的库存变质 的时间确定
本研究 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
Benkherouf(1995) － － ＋ － －
Mishra and Singh － － ＋ － －
(2010)
Broekmeulen and van － － ＋ － －
Donselaar(2009)
Transchel and Minner ＋ － － ＋ ＋
（2009）
Rajan and Steinberg ＋ ＋ ＋ ＋ －
(1992)
Abad(1996) ＋ ＋ ＋ ＋ －
Abad(1997) ＋ － － － －
Abad(2001) ＋ － ＋ － －
Abad(2003) ＋ － ＋ － －
Burwell et al.(1991) ＋ － － － －
Wee (1991) ＋ － ＋ － －
Mukhopadhyay et al. ＋ － ＋ － －
(2004)
Snan(2010) ＋ － ＋ － －
You(2005) ＋ ＋ － ＋ －
如上所示，文献中的大多数研究人员认为，易逝品的定价和库存决策是相互分离的，或者在计划范围内允许单一价格。只有少数研究者考虑多重定价，但他们要么允许不考虑价格变化成本的连续的价格函数，要么在预定义时间进行价格变动。但是，实际上，不可能无成本地不断地改变价格，价格变化的时间是可以显著影响收入的关键因素。在这项研究中，我们建立了一个模型，通过赋予卖方在规划期间以一定成本随时更改价格的能力，从而实现利润最大化。我们的目标是找到改变价格的最佳时机以及这些价格的最佳价值。我们调查了动态定价对订单决策的影响，并在每个周期中对价格变化和时间进行了优化。我们还将多重定价案例与不断定价策略进行比较。另外，文献中与协同定价和库存决策有关的大多数研究都假设需求与时间无关。然而，我们认为需求依赖于时间和价格的易逝品需要以一定的速度衰减，并且我们都为该系统提供了明确的分析和数值结果。与文献不同，除了建模和分析该系统的最优解，我们还提出了解决方案算法，并将其性能与最优解进行比较。
库存I(t)
时间（t）
图一：库存过程说明
- 模型
我们使用基于经济订购批量（EOQ）的方法，而不允许延期交货，因为易逝品的顾客不愿意等待获得这些产品。我们表示新产品的两次连续订单之间的时间，以补充库存作为库存周期。在库存周期中，产品价格会多次更改以获得最大可能的利润。我们让h表示每单位时间的单位库存成本，N表示库存周期中使用的不同价格的数量，C(N)表示当库存周期中使用不同价格时，价格变化的成本。在我们的模型中，ti ,i=1,2...N —1，表示第i次价格变化时的时间t00，tN表示库存周期结束时的时间,在此时订购新产品。我们令pi表示时间间隔[ti-1,ti）中的价格，i =1,2...N。图1介绍了一个库存周期。
由于产品的易逝性，库存部分消耗以满
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