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A.V. Dmitruk, I.A. Samylovskii
Reeds-Shepp问题在唯一最终自由方向的最优解
莫斯科大学
avdmi@cemi.rssi.ru barbudo.sam@cs.msu.su
摘要： Reeds-Shepp模型描述了平面上只有一个最终方向的移动点，我们研究了它的时间最优问题。利用Pontryagin最大原理，获得了所有类型的极值，然后分析和抛弃非最优的极值，得到最优组合。
关键词：时间最优问题，Pontryagin最大值原理，极值，可行集合,最优解
1 问题陈述
考虑以下问题：平面上的一个移动点：
这里我们有三个状态变量和两个控制u，v，这一对（x，y）决定了平面上点的位置，是它之间的夹角速度（x，y）和纵轴。初始时间t 0是固定的。
这个问题（在初始和at上都有一个固定的速度方向最后的时刻）是由Reeds-Shepp所陈述的，所有可能的极端情况被描述。然后由许多作者研究（例如，3、4、5、7、11、13）;a在[5]中给出了一个固定的最终方向的完整的合成。在这里我们用一个自由的最终方向来考虑这个问题。重点应该是在最短的时间内，在规定的位置，无论从哪个方向这就完成了。毫无疑问，这样的声明在物理上是合理的。我们的目标是为问题构建一个最佳的合成（1）。
注意，自由的问题本质上更简单有固定的（这是最优控制的典型情况）;然而,问题的最佳合成（1）并没有遵循最佳的合成方法固定的的问题。与此同时，问题的相对简单性（1）允许一个人非常清楚地、完全地、很快地研究它，避免对该案件的繁琐考虑，并有一个固定的最终方向。此外,由于问题的合成（1）只依赖于两个参数（x T，y T）（不像一个固定的的合成，它依赖于三个参数），它可以是在飞机上了。
还要注意的是，对于冻结的控制u=1，问题（1）（有不同的对的条件的选择减少到众所周知的马尔可夫问题——杜宾斯问题1、在那和许多其他论文中学习（见6、8、9、10、11、12、13、14）。
因为问题（1）中的可接受的控制集是一个凸紧的（一个正方形）在平面上），控制系统在两个控制中都是线性的，经典的Filippov定理保证了一个解总是存在的。
让(x(t)y(t)ϕ(t)u(t),v(t),tisin;[0,t]是一个最优的过程。根据Pontryagin最大原则（MP），存在一个数字大于0和Lipschitz函数x（t），y（t），（t），不是所有的都等于零，生成Pontryagin函数
并满足costate方程
横截性条件:
“能量守恒定律”:
最重要的条件是，几乎所有的t
考虑到H在u和v中的可分离性，最后一个条件分裂为两个单独的条件：对于a.a. t
这些条件反过来也意味着
在这里，是一个集值函数，等于1的z-0，1的zlt;0，和区间[-1,1]，z=0。
如果u（t）符号z（t），而函数z（t）只在一组零测度上消失，你可以写出“标准”关系u（t）=sign z（t）。
2 最大原则分析
在A.A.Milyutin之后，我们将问题的控制系统称为所有点约束的集合，不考虑端点约束。对于问题（1），控制系统由关系组成
在控制系统的极端情况下，我们称之为状态、控制和共态变量的集合，满足给定的控制系统，以及costate方程、能量守恒定律和最大条件（即MP的所有点态条件）。对于系统（9），极值是函数的集合满足（9）和（3）-（7）。如果costate函数的集合不等于零，那么极值是很重要的。对于系统（9），极端的非平凡性等价于拉格朗日乘数的总集合的非平凡性。（如果，那么也=0）。
让我们找到系统的所有非平凡的极端情况（9）。为了方便起见，我们假设它们是在整个实轴，以及一个适当的位置上定义的区间[t0,T]将在稍后确定，并考虑端点条件。
从（3）开始，，所以，唯一的本质上仍然存在的costate变量，我们将进一步表示它psi;。
注意，如果x=y=0，那么根据（4），=const，以及，我们得到，然后。所有的收藏都是微不足道的。
因此，，不失一般性我们可以设置。然后对一些，所以函数（t）和（t）满足以下条件：
注意，在（12）的情况下，对于几乎所有的t
考虑所谓的异常情况，当=0时。这里是和psi;equiv;0。因为是连续的，sin在孤立点消失，=const，因此，v0。而且，因为在这种情况下，，关系（10）产生u 0。因此，我们的移动点实际上是静止不动的在同一个地方（在原点）。然而，只有在这种情况下才有可能因此，我们假设然后是。
现在，考虑一下大于0的情况，但是psi;equiv;0。然后是，所以=const，因此是v0。此外，，从那里。这意味着这个点沿着一条直线运动或者以速度1返回。只有当最后的位置在纵坐标上时才有可能轴(即。在由初始速度矢量产生的直线上）。
接下来我们假设（t）不等于0。作为两个函数通过公式（12）确定控制u（t）和v（t）连续的，他们的积极性和消极的集合是由间隔组成的。考虑任何最大的间隔（连接组件）=（t 1，t 2），在哪里定义为0（然后v=1）。
注意，如果t 1或t 2是有限的，那么在这一点上=0（否则区间不是最大的）。自从ϕ= t C(t)在（10）的情况下，然后平移轴t，我们可以假设（t）=t。
从(13)我们有
先考虑案例1。然后（t）6=0 t，因此，我们必须满足横截条件（T）=0，我们将此类型排除在进一步考虑之外。
现在假设0lt;6 1。然后，显然，t 1和t 2是有限的。从它的连续性和最大限度在这一点上间隔psi;= 0。然后（14）我们在这些端点处有sin t=a，因此，。在线段上，函数sin t要么增加，要么从下降到。假设增加是被实现的。让我们找到进一步的（t）的行为。从sin0开始，我们仍然在一个内点t 2=，从u=1开始，在（10）的情况下˙psi;是连续的。此外，不同的情况也会发生，这取决于alpha;isin;(0,1)。
I)alpha;lt; 1。在这种情况下,，因此我们有在某个右手区间上（t 2，t 3）。正如上面所发现的，最大长度这样的区间是2，也就是t 3=t 2 2。在这个区间上，(即ϕ(t)是反向时间),和(14)psi;(t)=(ϕminus;theta;)minus;alpha;。它是很容易的为了看到t 2的图，t 3是相同的对称反射图上的图1，t 2关于点（t 2，0）和的图在t 1上，t 2的对称映射是关于直线的t=t-1。因此，如果（0,1），的图形有以下形式。在真正的直线R，我们要考虑sin t的图像，去掉这里的间隔然后将剩下的部分连接到一起，这样它们就可以了在它们的端点连接。结果是一种“伪正弦信号”。
图1：在大于0的情况下增加的
得到的图像是这样的。在这个区间上，它是（t）=sint（尖顶帽），下一段，3，这顶帽子是用负号，然后加上加号，等等。我们得到了一种锯齿曲线(见图1)。
当这些图被构造出来时，可以从它们中获得控制u和v通过公式（12），多值的符号现在可以被通常替换的迹象。很容易验证这里u（t）=符号因此,psi;(t)来确定你没有必要使用的图像，它就足够知道了psi;的图。因此，当增加为0时，整个过程极值是由一个函数（t）的图形来定义的。如果减少为0，整个极值也由（t）的图来定义，但在这种情况下u(t)=符号˙psi;(t)(见图2)。
所以，对于所有的（0,/2）和对应的=sin(0，1）极值，上面有锯齿形，v=符号，u是由u（t）=符号决定（t），或者有相反的符号。我们称之为极值I型。
区间T 0，T可以放在轴上的任何地方，只有一个。这个区间的左端可以是任意的。
(二)alpha;= 1。这里。像以前一样，考虑最大的0和sin（）从1增加到1。v = 1再一次，改变轴向t，我们可以假设（t）=t，在这种情况下和'最大帽子'的图形：
对于t 2=2，我们有因此，不像我，在t 2之后函数可能不会传递到负区。以下是进一步的行为是可能的：
a）t 1 t 1 的图形是它在t 1 t 1上的图形的复制（翻译）（最大的尖顶帽），
b）t 1 t 1 的图像是t 1 t 1的图像的反映关于t轴（也就是t 1的图的平移，t 1（最大峰值上限),
c）值被保存在一个区间内，任意长度的t 2，然后在区间t 2，t 2 1个变量中a）或b）被实现，也就是说，一个最大的上限要么达到峰值，要么下降。
在所有这些情况下，极值属于II型。接下来，我们需要对上述类型I和II进行更详细的分解。在类型I，下列情况是可能的：
Ia型）极值包含至少一个“完整”的上限，即,有一个长度为2的区间为0或lt;0。当我们有条件（T）=0时，这个要求相当于T T 0 2的条件。
类型Ib）极值只包含一个不完整的上限：。
类型Ic）极端分子包含不超过一半的上限：t0 6。在II型(即。当=1、=/2时，下列情况是可能的：
IIa型）极值包含至少一个完整的上限，即这是一个间隔长度为0或lt;0的长度。这就等于。
IIb类型）极值包含一个不完整的上限：。
IIb0类型）极值是由子，在。
IIc型）极值不超过半顶，也就是。。
IIc0类型）极值是一个不完整的“半帽”，由0:t 1扩展在（T 0，T 1）上有0或lt;0，然后在上。
现在我们证明了这些类型的极端情况肯定不是最优的(全球意义上的)。
3 Ia型和IIa型极端情况的非最优性
我们证明，对于这些类型的任何极端情况都存在一个可接受的轨迹时间更短。为了证明它我们做了一些几何结构（这取决于它的价值）。
回忆一下。以Ia型的极端情况为基础考虑它的最终完整的上限。选择坐标系统，以便开始这个帽子的t=0，和原点重合，这个点的速度是沿着y轴方向。为了简便起见，半径为1的圆以点为中心（1,0）将被称为左圆，而对称圆w。r。t。轴的圆。
在不失一般性的情况下，我们假设在我们的帽子中，和减少。然后是，u=（1,1）(0,sigma;)和(sigma;2sigma;)。这对应于左圆的运动正方向（逆时针方向），然后沿着切线方向圆圈仍然处于正方向（例如圆圈的共同之处是一个尖端点的曲线)。如果，我们有一个Ia型的轨迹图3。它的终点B显然位于第一象限，y（B）大于0。
图 3
将左圆的圆心与B点连在一条直线上。让弧A 0 B是对称的，这条直线。的长度弧显然是一样的。然而，弧OA 0的长度比弧OA。这个事实可以很方便地表述为以下纯几何图形断言，从图4中可以很容易地看出这一点。
引理3.1。让直线l穿过点O 1=（1,1）正斜率，让A点在这条线上的左圆上，x=1。让0成为w.r.t l对称的点（很明显，它位于同一个圆上）。然后是。
图4：弧OA 0比OA短
所以，我们的极端OAB的最后一个上限比轨道的长度更大由左圆的弧OA 0和它的切向圆的0 B组成。自这个新轨迹的子弧是在0处连接起来的，这个轨迹是在这个问题中是可以接受的，因为它的长度比我们的极值要短，最后一个不是最优的（在全球意义上）。
现在考虑一下案例=/2。这里的点B在y轴上，极端情况（IIa型）可以由位于y轴上的BC段继续，（u，v）=（1,0）（见图3b）。很明显，美国广播公司的发展轨迹最优，因为它的长度比直线OBC要大，沿着这条线(u,v)equiv;(1,0)。
因此，只有特定类型的Ib、Ic、IIb、IIb0、IIc和IIc0可以假装成最优的。
让我们为每一种类型找到可到达的集合，如果它们相交，图最优的极端情况。
4 得到最优解
首先要注意的是，我们的问题（1）有两个对称：替换，我们得到它的轨道与原始的w。r。t的原点对称，和替换v7v实际上会导致替换t 7 t，然后x 7 x，也就是原始轨迹w。r。t坐标的对称反射轴。因此，在可达性集合的构建中我们可以假设结束点p=（x（T），y（T））位于第一象限
现在考虑以上每种类型的极端情况。
类型Ib：不完全的非最大上限。我们假设这里u=（1,1）间隔(0,gamma;),(gamma;gamma; sigma;),0 lt;gamma;lt;sigma;,T =gamma; sigma;。因为在这情形v 1，点沿顺时针方向旋转：首先在角度上“左”圆，然后沿着切向“右”圆的角度（也就是不是原来的右圆，而是在中心周围旋转的圆O(1)。让我们先修复任何（0,2）。那么极限的值就等于0和sigma;。对于，端点在正确的圆上，当从0增加到它沿着半径在圆心为的中心，我们用表示（见图5）。对于位于水平轴下方。
实际上，让G 0成为左圆的点，用它来表示角度水平轴。点p（，）=B 0是通过沿着弧线运动得到的0，然后沿着GB对称到OG，公切线在点G处。然后点B是对称的，这是w。r。t切线，因此B在横轴下方。
因此，当在上运行时，端点会绘制一个在圆心为O 1和半径为R的圆中打开一个。
考虑到所有这些弧，我们得到一个集合Q ，以弧为界右圆的OA，半径为R（/2）的“大”圆3（/2）的弧AFradic;5曲线OB 0 F，也就是点p（，）的痕迹。（很容易看出这一点曲线是心脏线的一部分，参数方程，y=。
因此，Q 是一个开放集由所有类型的轨迹的端点组成在案例中（t）大于.
如果大于u=（1，1）在相同的区间内，而不是Q 获得集中对称的集合，因为它位于左半平面，我们是对第一象限感兴趣，我们忽略这个例子。
在这种情况下,u=（-1,1），而不是v=1，我们有v=1，然后，做替换，我们得到了集合
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