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准双曲面齿轮的基本几何参数的优化
Gert F. Bauml;r
Dresden University of Technology, Dresden, Germany
摘 要
普吕克内在参数通过对偶数和矢量方程表示圆锥体是由所有复合螺旋轴组成的规则表面两个给定的不对称的螺旋运动衍生而成的。该理论在齿轮传动领域中，应用于节距曲面的设计、双螺旋齿轮传动特别是准双曲面齿轮。通过基本的几何尺寸参数推导表示出节锥，接触法线，螺旋角，极限压力角，滑动速度偏差，摩擦损失和效率。这些大小仅仅依赖于引入的参考角度和长度作为变量。对于准双曲面齿轮，本文证明了复合材料绝对值的无约束优化问题其相对速度，摩擦损失系数和理论效率是唯一可解的。在本文中作为约束优化问题的例子，考虑了网格重叠的程度。最后，通过在准双曲面齿轮的小齿轮上的加权轴向力和径向力的解决了无约束优化问题。
关键词：空间运动；普吕克圆锥；齿面；节锥；螺旋角度；效率；轮齿载荷；优化；
- 引言
准双曲面齿轮用于执行绕交叉轴线的旋转运动并并广泛用于传输高转矩。改善准双曲面齿轮的运转特性和承载能力一直很重要，并且仍然是一个有趣的话题[7,12,13,15,16,19,23,24]。为了实现更好的运转特性，经常考虑在齿轮制造过程中修改运动参数的影响。然后，通过评估预期传输的虚拟计算机模型来发现改进。这种方法不是没有问题。当然可以找到改进，但这不一定是改进的最终解决方法。
在我看来，上行优化问题，即优化准双曲面齿轮的基本几何结构参数得更多思考和学术研究。这种关系涉及小齿轮和齿轮的尺寸，平均接触点的选择，节锥，接触法线，螺旋和压力角。我们可以知道这些基本的几何数据是通过[17,22,24]中给出的迭代方法计算出来的。基本的几何关系是针对两个斜齿轮传动的情况进行研究的[1-6,8,9,24,25]。简单而言，在开始时考虑一个蜗杆传动装置的输入和输出轴执行螺旋运动。
利用对偶数和向量，研究了有向直线以及Ball瞬时螺旋运动的表示。这些数学工具起源于19世纪，由现代著作中的[5,11,14,21]给出。 在此，我们使用了普吕克圆锥的固有表示方法，可以得到问题的关键所在。
本文根据两个参考参数角度和长度，在传动装置的中点推导出命名量的函数关系。应该强调的是，基本的几何数据，如操作锥形锥，偏移角度，螺旋角度明确或参数计算而无需迭代。 因此，这种影响可以参数化研究和优化偏移量和螺旋角参考参数，摩擦损失系数和理论效率。 此外，对加权轴向和径向力的目标函数进行了描述和举例评估，并对约束进行了探讨。
- 导向线的性质
我们可以知道两个螺旋运动的复合运动又是一个螺旋运动。复合螺旋运动的轴线与给定的螺旋轴线围成确定的角度，并具有确定的距离。然而，可以看出，由于空间角度和距离测量的方向，这些公式的应用出现了困难。如果研究有向线的表示，以及Ball瞬时螺旋运动，这样的困难就消失了。下面的第2节和第3节的公式简要回顾了[11]详细描述的空间运动学基础，并在[21,26]中使用。
令x = a lambda;g，‖g‖= 1是由点a和归一化方向给出的有向直线g的参数表示向量g，其中lambda;是表示的实参数。 矢量 =atimes;g被称为g的动量矢量，因为它并不取决于对g的选择。 显然，满足了普朗克条件g· =0。 这对（g， ）表示归一化g线的普吕克坐标。此外，将坐标集扩展到对偶数环上，向量对定义了对偶单位向量
唯一确定线g。 这个命题通过查看双单位矢量条件很容易验证
（2）它同时表示两个条件，即‖g‖= 1和。请注意，双元单位的定义满足了的定义。 E.研究提出了根据所选择的方向矢量g导向的线g的表示（1），因此称为矛。在下文中，识别出一个矛及其代表的对偶矢量。
这个符号的优点是当两个矛g和h与它们的空间位置进行比较时出现。 双标量积
（3）
被解释为双重角度的双余弦函数：。
这里，实部phi;是角度，双重部分phi;是矛g和h之间的最短距离。
双交叉积
（4）
确定与g和h垂直的矛n。phi;和phi;^的符号对应于n的方向。位置关系g和h可以由消失积给出：
1）g ·h = 0hArr;g 和h正交；
2）g times;h=0hArr;g和h位于同一条直线上。
让g和h是两个正交的矛，然后是矛
k = gcosphi; hsinphi;
是螺旋运动下g轴的图像gtimes;h与双螺旋角phi;.
3.复合螺旋运动
让成为空间运动的瞬时螺旋轴的矛。 此外，我们使用双重速度
以组合角速度omega;和沿该螺杆的轴线的平移速度。这两者都是时间的功能。
然后，（瞬时）减小的螺旋节距由下式给出
在表达式中
球的矢量对（瞬时螺旋）用于确定双螺旋向量q。 速度向量x任何一点的x现在由下式给定
现在让我们考虑欧几里德空间的三个Sigma;0，Sigma;1，Sigma;2。 空间Sigma;1和Sigma;2执行一个参数运动Sigma;1/Sigma;0和相对于Sigma;0的Sigma;2/Sigma;0。 指定的瞬时螺旋轴（ISA）p10和p20具有双速度 。这些轴的距离为a并包含角度alpha;。参见图3.1。指定的螺旋运动用q10和q20表示。 在文献[4,8,11]中，空间三极点定理如下：复合（相对）运动Sigma;2/Sigma;1拥有瞬时螺旋运动：
q21 = q20-q10：
在这里，我们想给出分配的复合瞬时螺旋轴p21的参数表示。让我们定义和使用所谓的内在坐标系（O; x，y，z）。原点O与两个给定螺旋轴p10和p20的距离相等。常见的垂线被选为z轴。 x轴包含相等的角度alpha;与螺旋轴。那么，对于i = 1,2，螺旋轴由下式给出
图3.1普吕克圆锥及其基本尺寸的设计
且复合螺旋轴的矛是
相对于原有的坐标系统x-spear、复合螺旋轴采用双螺旋角phi;定位。对于相对运动Sigma;i/Sigma;0（i = 1,2）的角速度omega;i0的每个比率，角度phi;由下式给定
此处
证明在[9]中给出。
所有复合螺旋运动形成一个规则曲面，普吕克的圆锥（或圆柱）的内在表示是由文献（2）给出。
4.双螺旋齿轮传动的齿面
涉及以恒定的角度和轴向平移速度绕固定倾斜轴旋转的两个物体的传动装置作为双螺旋传动装置。技术应用是由蜗轮传动机构给出的，带有齿形和从动体的螺旋运动如文献[10]所示。
为了描述双螺旋齿轮传动的运动学，现在使用前面部分的符号分别表示对于空间Sigma;1，Sigma;2的螺旋运动的恒定角速度omega;i0和轴向平移速度omega;^ i0（i = 1,2）以及轴p10，p20。 因此，假设双速度omega;i0（i = 1,2）是恒定的。 由一个角度phi;ne;plusmn;alpha;/2（modpi;）指向直线（矛）。
普吕克的圆锥形（2）被选定为齿轮的所谓节线c。 顺便说一下，节线c是相对于ISA的两个空间分别以p10，p20旋转，并具有确定的对应角速度的比率，这通常是不同于给定的比率omega;10/omega;20。以上给出的关系允许描述该节线相对于该点的位置给定螺丝轴p10和p20的方式如下
这里，使用的双螺旋角度mu;i=mu;i εui由轴角alpha;和轴距a确定：
在具有轴线pi0的螺杆qi0下，螺距线c扫出一个直纹的螺旋曲面Gamma;i（i = 1,2），它被称为螺距表面。可以表明，齿轮表面沿着轮齿具有共同的正切平面（或普通表面法线）节线。
设置轴向平移速度omega;^ i0 = 0（i = 1,2），我们得到准双曲面齿轮的具体情况如下，其中空间Sigma;1和Sigma;2分别围绕轴线p10和p20执行两个均匀旋转。在这种情况下，齿节面是一张双曲面，称为准双曲面齿轮的准双曲面Psi;1和Psi;2。图4.1显示了沿发生器开放的双曲面Psi;1，以显示内部的轴。
备注1.在这里我们使用节线的当前定义[17,18,22,24]和准双曲面齿轮的曲面。如[1，p111]无限数量的螺距表面对是可能的。轮齿表面不限于双曲面。
备注2.对于斜面与斜齿轮的轴线重合的情况[18， 22.2]，合成轮齿表面的详细阐述在文献[20]。
通过从轴线p10和p20的公共垂线中选择一定的距离r，使得平均接触点（可成为节点或计算点）。
图4.1准双曲面齿轮的节面、线和圆
在节线c上确定。 距离r在这里被指定为参考长度。在P0处存在Psi;1和Psi;2的公共节面法线n0。 因此，它是用可以用矛描述的。
n0 = zcosrho; ssinrho; （5）
这可以通过双角度来确定
在这里，辅助矛s以{s，c，z}形成正交右手基的方式使用。（5）考虑到n0是q21下平均接触点P0的路径法线。另一方面n0必须是a在q10下P0的路径法线。这意味着
从这个条件我们推断出来
sinrho;= r/m*sinmu;1
cosrho;= 1/m* （u1cosmu;1-p10sinmu;1）
注意，公共齿节面表面法线现在由基本输入数据alpha;和a表示。
因此，在平均接触点P0处，齿节面的公切面由公式给出。
xsdot;n0=z0cosrho;。
我们想将它表示为节面Pi;0。该平面在点如下式所示处与螺旋轴线pi0相交
如果sinmu;ine;0，即n0·p10ne;0（i = 1,2）
平均接触点P0用于定义两个旋转锥体Pi;1和Pi;2，其分别在具有轴线p10和p20的P0切向接触。然后，对于i = 1,2，所谓的运转节锥Pi;i面沿节圆ci切向地接触节面表面Psi;i。如果它正在围绕pi0旋转的话，节距圆ci也是平均接触点P0的轨道。如图4.2所示。由于上面提到的交点H1与坐标hi的几何关系可以得到节圆锥Pi;i的顶点。在此使得delta;i是Pi;i的节圆锥角。 直线c，P0H1和P0H2位于节平面Pi;0中。
图4.2准双曲面Psi;1基本几何和节锥Pi;1的轴面投影
线P0Hi包括线c和角度xi;i。于是，在节平面中线P0H1和P0H2包括所谓的偏移角
xi;=xi;2-xi;1。请参见图4.3，并注意它可以被认为是图6.2所识别的细节，它是在节平面的法向量n0方向上观察的。
通过zmi表示节圆ci距中心线O10 O20的距离，我们发现
ZM2/ZM1=cosmu;2/cosmu;1
其正弦比j =sindelta;2/sindelta;1=sinmu;2/sinmu;1被称为几何齿轮比率。
图4.3在以n0向量为方向的节面偏移角xi;，xi;1，xi;2和螺旋角beta;，beta;1和beta;2
5.准双曲面齿轮的基本几何关系
5.1螺旋角定理
设Ni是围绕轴线pi0旋转的齿轮的齿数。然后，（恒定）传动比是
u=N2/N1=omega;10/omega;20=const：
平均点P0的相对速度由下式给出
在验证v21sdot;n0= 0之后，我们得出结论：P0的相对速度v21垂直于轮齿节面法线n0。因此，相对速度v21平行于轮齿界面。如果我们假设在平均点P0处有两个齿轮齿面Phi;1和Phi;2具有与v21平行的公共切平面，则P0是潜在包络齿轮表面的接触点。因此，v21被称为P0的滑动速度。普通齿轮切线平面Delta;通过具有方向矢量v21的平均点P0与直线tP中的螺距平面相交，这些几何对象如图5.1所示。这里，零平面是通过p0点且垂直于v21的平面。因此，如图4.3所示，通过齿面Phi;1和Phi;2切向接触时，在节平面Pi;0中的平均点P0处定义以下角度：
beta;=∢（c，v21）：平均螺旋角，即滑动速度与节线的偏差角；
beta;i=∢（bi，
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