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机械学报207，29-49(2009)
DOI 10.1007/s 00707-008-0096-5
陆建飞·徐建华·王东生
层状多孔弹性半空间桩在轴向简谐荷载作用下的动力响应
收到：2008/修订版：2008/网上公布：2008
copy;施普林格出版社2008
摘要：本文研究了层状多孔弹性半空间单桩在轴向谐波荷载作用下的动力响应。摘要基于Biot理论，通过透射矩阵和反射矩阵，推导出了层状多孔弹性半空间中垂直圆形贴片荷载的频域的基本解。利用Muki和Sternberg的方法，建立了第二类Fredholm积分方程，描述了半空间分层桩在单轴荷载作用下的动力相互作用。通过将该模型的特例与已有结果进行比较，验证了该模型的有效性。根据本文的数值计算结果，结果表明，在层状半空间中存在一个更硬或更软的中间层会对桩的阻抗产生很大的影响，而半空间的不均匀性则会导致桩的不均匀性，并且孔隙压力显著。
- 介绍
近几十年来，埋于均匀或分层半空间中的桩在简谐荷载作用下的动力响应受到了广泛的关注。例如，Fowler和Sinclair[1]以及Rajapakse和Shah[2]考虑了部分嵌入弹性半空间的弹性杆的轴向振动。通过将桩作为一维（1D）结构和 半空间作为三维弹性连续体，Pak和Jennings[3]研究了埋于弹性半空间中的柔性桩在横向荷载作用下的动力响应。用Rajapakse[4]软件研究了经典弹性理论在以弹性桩动力响应为重点的动荷载传递问题中的应用。最近，Zeng和Rajapakse[5]和Kim等人讨论了多孔弹性半空间的类似问题。
吕杰
江苏大学土木工程系，镇江，
江苏212013，中华人民共和国
电子邮件：ljfdrr@yahoo.com
徐兵，王俊华
上海交通大学土木工程系，
上海200030，中华人民共和国
电子邮件：xubin1@sjtu.edu.cn
王俊华
电子邮件：wjh417@sjtu.edu.cn
- -S.Jeng
工程、物理和数学学院土木工程系，
邓迪大学，邓迪DD1 4 HN，英国
电子邮件：d.jeng@dende.ac.uk
图1嵌于层状多孔弹性半空间并受时谐轴向荷载作用的圆柱形弹性桩
由于土的不均匀性质对于土体和埋置结构的响应有着很大的影响，层状半空间结构在外界荷载的作用下的动力响应一直是各个研究的热点，研究了几十年。例如，Harkrider[7]和Haskell[8]提出了传播矩阵方法。同时，基于有限元法，Valliappan等人[9]给出了二维波在流体饱和半空间中在谐波表面条形载荷的作用下传播的数值解。而且，基于积分变换法的精确刚度矩阵法是由Senjun tichai和Rajapakse[10]提出的。此外，LECO和Apsel[11，12]建立的透射反射矩阵(TRM)的方法是求解层状半空间动力学问题的一种非常重要的方法。该方法的优点是在TRM的所有项中消除了不匹配的指数项。结果表明，TRM这种方法适用于高频、大厚度的情况，难以用传统的传播矩阵的方法来求解。因此，TRM方法在求解层状结构问题[13-15]中得到了广泛的应用。最近，Lu和Hanyga[16]用TRM方法导出了层状多孔半空间在垂直点力或点流体源作用下的基本解。同时，文[17]对层状饱和半空间的移动荷载作用下的动力响应是由TRM这一方法来解决的。
到目前为止，有关层状半空间中桩的响应问题已经有了一些研究。举例来说，分析了层状地基中的桩体，Lee等人[18]基于严格的弹性荷载的传递理论，研究了层状地基中静轴向荷载桩的受力特性。南斯科特与斯莫尔[19]采用有限层技术对埋于层状土中的竖向荷载桩和群桩进行了分析。再者来说，用精确刚度矩阵法考虑加布森土中桩的动力响应[20]。然而，对于埋于层状多孔弹性半空间中的桩的动力响应，到目前为止还没有开始进行研究。
本研究的主要目的是应用TRM方法求解埋于层状多孔弹性半空间中的桩在桩顶受时谐荷载作用下的动力响应的问题（图1)。虽然弹性介质和孔弹性介质的TRM方法已经发展了一段时间，但是TRM方法还没有应用于分层多孔弹性半刚性桩的问题。由此来说，本文的主要贡献是将TRM这一方法应用于土-桩相互作用的问题上。在这一项研究中，将桩视为一维杆，用杆的振动理论来进行描述，而层状孔弹性半空间处理为多孔介质，采用Biot这一理论进行求解。基于Biot理论和TRM方法，首先推导了层状多孔弹性半空间中垂直圆形贴片荷载的基本解。利用基本解建立了考虑桩与层状半空间动力相互作用的频域Fredholm积分方程。积分方程的数值解得到了桩的动力响应和分层半空间。利用这一方法，研究了几个主要参数对桩土系统动力响应的影响。
2.层状多孔弹性半空间中圆形贴片荷载的基本解
2.1均匀多孔弹性介质的通解
根据Biot的理论，用固体位移(Ui)和渗透位移(Wi)来表示块体材料和孔隙流体的运动方程，具体方程如下[21-23]:
（1）
（2）
其中lambda;和Re是固体骨架的Lameacute;常数；rho;是多孔介质的体积密度，等于rho;(1phi;)rho;的phi;rho;f(其中rho;s是固体骨架的密度，rho;f是洞)。 phi;是孔隙弹性介质的孔隙度；m arho;f/phi;和a是多孔介质的弯曲度；bpeta;/k，eta;和k代表孔隙流体的粘度和渗透率。 多孔介质的Ty；变量上方的叠加点是表示时间导数。
均匀多孔介质的本构关系为[21-23]形式
（3） （4）
其中，是表示块体材料的应力；是表示固体骨架的应变张量；是表示多余的孔隙流体压力，是表示Kronecker三角洲。在方程(3)和(4)中，膨胀固体骨架的离子和单位体积多孔介质的流体体积增量定义为
（5）
为了求出Biot方程的通解，涉及时间和频率的Fourier变换[24]，定义如下： （6） （7）
其中f(t)表示时域中的函数，f(omega;)则是f(t)t和omega;的傅里叶变换，分别表示时间和频率。
由于现在的问题相对于z轴来说是轴对称的，所以在圆柱坐标系(r，theta;，z)中处理这个问题是很方便的。若要导出通用解，引入了m阶的Hankel积分变换如下[24]：
(8)
(9)
其中m是Hankel积分变换的阶，Jm(*)表示第一类贝塞尔函数的m阶，而xi;则表示水平波数。
利用势方法，分别将Fourier变换和Hankel变换应用于时间和径向坐标r，得到位移、应力和孔隙的表达式，频率波数域中的压力如下[16]： (10a)
(10b)
(10c)
(10d)
(10e)
其中上标数表示Hankel变换的阶数，A(xi;,omega;)F(xi;,omega;)是任意常数，而delta;f、delta;s和delta;t则是与多孔介质的P1、P2和S波垂直波本征有关的复数，以及
(11)
值得注意的是，真正的部分delta;alpha;，alpha;F，S，T在方程[11]应始终为非负的，以此来保证无限大的有界条件。在方程[10]中的三个复波数kf，ks和kt由下式给出：
(12)
其中beta;2beta;4的表达式将在下面给出。此外，为了保证体波的衰减，kf，ks和kt应该求根使IM(Kf)，im(Ks)和im(Kt)非正的。 此外，在方程[12]中两个常数是Af和As取决于以下式子：
(13)
而常数beta;1–beta;5部分将通过以下式子给出：
(14)
2.2用TRM法推导圆片载荷的基本解
在处理桩-土系统动力响应的各部分中，竖向荷载eiiomega;t在分层p中半径为R的圆形区域上均匀分布的基本解，并且弹性半空间是必需的。如上所述，这个解决方案可以通过TRM方法导出。
图1给出了在多孔弹性半空间上覆盖N层水平孔弹层的层状多孔弹性半空间模型。第j层多孔层由符号Lj表示。 底层是由LN 1表示。j层的厚度为hj=zj-zj-1和zj-1，zj表示第j层的上下边界的深度。
为求j次弹性层Lj的基本解，从位移的通解中提取出所有正负指数项eplusmn;delta;iz(i=f，s，t)。 由方程(10)给出的应力和孔隙压力，并将它们与任意常数A(xi;，omega;)，hellip;，F(xi;，omega;)相结合,由
替换。多孔层的位移、应力和孔隙压力的表达式转换后的域重铸如下：
(15a)
(15b)
(15c)
(15d)
其中，上标j表示j的多孔层；向量称为杜下行和上行波矢量，并且是子矩阵由位移、应力和孔隙压力的表达式决定。
从上述分析可以看出，对于每个多孔层，有六个任意常数有待确定。因此，层状半空间存在6x(N 1)未知数。T型 这些未知数可以由下半空间的边界条件、连续性条件和非反射条件决定。
具有完全可渗透表面的半空间的三个自由表面边界条件是
(16)
在每个接口上，以下六个连续性条件保持不变：
(17)
此外，对于底部半空间，上行波应当消失，因此一个具有以下三个辐射条件：
(18)
利用自由表面边界条件(16)、连续条件(18)和辐射条件(18)，在源层上方j个多孔层上的上下波矢量。 r将采用下列表格[16]：
(19)
其中代表j界面上入射的P1，P2，S波的传输矩阵,并且是j界面上上行波入射的广义TRMS[16].
源层Li下方j层的上、下行波矢量如下[16]：
(20)
其中和代表在j界面上入射的下行P1，P2，S波的TRMS，是J介面上入射的下行波的广义传输矩阵。注意在方程式[20]和[21]中
和的表达式在[16]可以找到。
对于源层Ll，由于应该考虑跳变条件，所以需要特殊的波矢量表达式。方程式[15]中的任意常数对于源层，有以下形式：
(21)
其中s是源平面的垂直坐标，上标1，2表示任意常数的两部分，H(*)表示Heaviside阶跃函数。在方程式[21]中的任意常数的第二部分与根源相关，并且它们可以由源面上的跃变条件决定。
如果一个均匀垂直贴片载荷eiwt在半径为R的圆形区域在深度为s的Ll中应用，然后位移、孔隙压力和垂直入渗位移在跨源面连续，应力应满足跳跃条件
(22)
根据源平面上的连续和跳跃条件，给出了方程[21]中任意常数的第二项：
(23)
其中,和的表达式可以在[16]中看到。
源层的六个任意函数由
(24a)
(24b)
其中I为3times;3恒等矩阵，[16]给出了和的表达式。
将方程[23]和[24]带入[21],得到了源层Ll的上、下行波矢量.然后，可以使用[19]和[20]获得任意层的波矢量。如上文所述，在确定任意层的波矢量，可以用方程式[15]计算频率波数域的位移、应力和孔隙压力。通过对频率波数域
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