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第九章 基于规范的残余评估和阀值计算
在本章和后面两章，我们将学习残余评估和阀值计算问题。上一部分的学习已经很清楚的显示：残差信号，往往当出现由于参数改变引起的干扰和不确定因素时发生损坏。为了完成一次成功的基于残差信号的故障检测，需要更多的努力。广泛被接受的一种方法，是形成一种具有特征的残差信号，我们可以从干扰和不确定因素中区分出错误。残余评估和阀值设置就是为了这一目的。在可能发生错误的情况下，将通过简单比较残余特征和阀值的方法来作出决定，如图9-1所示。
图9.1 残余评估和阀值计算图示
根据这种在考虑中的系统，有两种残余评估策略。第一种是统计检测，它已经在统计方法框架中完善制定。另一种方法是所谓的基于规范的残余评估。这种方法不仅有更少的在线计算，而且允许使用完善的鲁棒控制理论来完成系统阀值计算。
在本章，我们将重点讲基于规范的残余评估和相关联的阀值计算，如图9.1所示。统计检测方法、基于规范与统计方法的整合将在下两章提到。
9.1 准备
在7.1和8.1中介绍的信号与系统规范的观念对我们在本章的学习很有必要。
记住在7.1中我们已经介绍的所谓的“峰到峰获得”和广义的H2规范。它们两者都是诱导性系统规范，并且对我们在本章的学习有用。下面，我们在LM1中呈现辅助计算这两种规范后能够得到的结果。
引理 9.1 已有系统
G : ˙x = Ax Edd, y = Cx, x(0) = 0.
然后对于已知常数gamma; gt;0
有且仅有在P gt;0 时
引理 9.2 已有系统
G : ˙x = Ax Edd, y = Cx Fdd, x(0) = 0
D必须满足forall;t, dT (t)d(t) le; 1.
然后对于已知常数gamma; gt;0
如果存在lambda;gt;0, mu;gt;0 且P gt;0 则
接下来的两个引理是引理9.1和9.2对于系统不确定因素的拓展。为了证明他们，可以采用描述在Boyd et al.书中的处理不确定因素的方法。
引理 9.3 已知系统
然后对于已知常数gamma; gt;0
如果存在P gt;0则
引理 9.4 已知系统
则对于已知常数gamma; gt;0
如果存在lambda;gt;0, mu;gt;0且P gt;0则
9.2 基本概念
实际上，所谓的极限值监控和趋势分析，由于它们很简单，所以被广泛的应用于故障检测。对于一个给出的信号y,极限值监控的主要形式是
y lt;ymin or y gt;ymax =rArr; 警报，检测到故障
ymin le; y le; ymax =rArr; 没有警报，无故障
Ymin，ymax 指示在无故障的情况下y最小值和最大值的区域。他们也被称为临界值。
信号y的趋势分析实际上可以被理解为的极限值监控，因此用公式表示为
警报，检测到故障
没有警报，无故障
在实际中，也被广泛接受的是均方根（RMS）（在7.1中也出现过），表示为，它测量了一个信号在一段时间间隔(0,T )中的平均能量。故障检测问题则表示为：
=rArr; 警报，检测到故障
=rArr; 没有警报，无故障
代表的最大值和最小值。
为了克服这些噪音，用在一段时间[t, t T ]中的一个信号的平均能量代替了它的RMS的最大或最小值，这经常被用于故障检测。在这种情况下，极限值监控可以被表示为：
=rArr; 警报，检测到故障
=rArr; 没有警报，无故障
分别代表的最大值和最小值。
总的来说，这是目前工艺水平下，首先定义评估函数的故障检测，给予信号一些数字特征，然后基于这些特征，确定极限值，最后一步就是决策。在接下来的几章节，我们将在更广义的形式中的研究这些问题。
9.3 一些标准评价函数
分析一个动态过程。在被输入信号u驱使下，输出的值、平均值或过程能量y会变得非常大。为了得到一个有效且高度可靠的FDI，有必要去分析由于残差信号代替了y所产生的系统表现。在我们随后在本章的学习中，我们假设FDI目标一个残余向量，r isin; Rkr，是可得到的。接下来,我们将描述一些标准评价函数，它们实际上是概括上述评价y的函数。
峰值 残余信号r的峰值被定义和表示为，对于持续时间r(t)
对于持续时间 r(k)
r的峰值正是r的最高标准，正如在7.1中介绍的。用r的峰值，限制监控问题可以被阐述为
是所谓的阀值定义
同时，我们可以用峰值来阐述趋势分析。让
对离散时间
则
通常，实际执行的被替代，
当
至于平均价值评价,我们定义为连续时间情况
对于离散时间的情况
此外，
因此，检测错误的决策逻辑是
警报，故障检测到故障
没有警报，无故障
以下修改形式的在(9.9) or (9.10)给出的平均值经常被采用
当且
RMS值 正如在7.1中介绍的，RMS值被定义，对于连续时间情况
对于离散时间的情况
JRMS测量时间间隔(t,t t) (k,k N)中r的平均能量。记住,一个信号的均方根的与信号的范数L2有关。事实上,它使
且
让成为阀值，那么检测逻辑变为
警报，检测到故障
没有警报，无故障
9.4 阈值设置和问题公式化的基本思想
从工程的角度来看,一个阈值的确定是要找出干扰的承受限制和无故障操作条件下的模型不确定性。有许多因素可以很大程度上影响程序。他们是
bull;残差生成器的动力
bull;评估未知输入的方式和模型不确定性
bull;未知输入和模型不确定性的边界
接下来,我们将简要地解决这些问题。
9.4.1 残差生成器的动力
我们假设系统模型是(8.8)-(8.10)所给出的,模型的不确定性类型是范数有界型(8.11)或多面体类型(8.34)。
注意9.1 ： 对于(8.50)中给出的随机模型的不确定性这种类型，将会在一个单独的一章处理。
应用残差生成器（8.13）到这个过程模型
注意,修改后的形式(9.7)、(9.8)的趋势分析或(9.12) 、(9.13)的平均价值分析可以作为一个残差信号的过滤器，,因此它们包含在终滤器R(s)。对此,为了不失一般性, 我们使用(9.18)-(9.20)来代表残差信号的一共三种可能的形式。让我们指示最小状态空间实现和 R(s)的状态向量(Ap,Bp,Cp,Dp)和xp,分别用下标 p代表终滤器。为了我们的目的,将(9.18)-(9.20)代入以下紧凑结构
当
对于范数有界模型不确定性
而对于多面体不确定性
9.4.2 阈值的定义和问题公式化
回想一下,阈值被理解为未知输入的容忍极限和在无故障的系统操作下的模型的不确定性。在这种考虑下, 阈值可以通常定义为
在最后一个小节中定义Delta;指示模型的不确定性和J残余信号的特点。同时,评估未知输入对阈值的确定起着重要的作用。通常情况下, 为了这个目的，未知输入的能量水平和最大价值在实践中被采用。在这种背景下,下面我们介绍不同种类的阈值来涉及这些可能的实际情况。
定义9.1 假设是有界的然后从
的意义上来说
阀值被定义为
对于范数有界不确定性或对于多面体不确定性
在r中测量由于Delta;，dr的瞬间变化引起的最大值改变。注意,即使dr信号的能量水平可能很低但是它的大小在一段时间是非常大的，所以也可以达到,。
定义9.2 假设是有界的然后从
的意义上来说
阀值被定义为
对于范数有界不确定性或对于多面体不确定性
尽管Jth,peak,2也测量r的最大改变，不过不同于Jth,peak,peak, Jth,peak,2，它的测量考虑到dr的有界能量。
定义 9.3 假设是有界的然后从
的意义上来说
阀值被定义为
对于范数有界不确定性或对于多面体不确定性
Jth,RMS,2测量对于模型不确定性的变化和确定能量等级的未知输入r的能量水平的最大变化。
在实践中,一方面针对早期故障检测，另一方面为了低误警率，delta;dinfin;通常被设定的很低，Jth,peak,peak用来激活Jth,peak,2 or Jth,RMS,2.的计算。由于要求通过(长)时间窗口观测残余信号来假设dr , Jth,RMS,2的能级，通常Jth,peak,2设定地比Jth,peak,peak更高。这个方案是用来减少误警率。
注意9.2 虽然把输入信号u当作一个“未知输入”,它的可用信息将被用来实现所谓的自适应阈值, 然后恢复性能。
从数学和系统理论的角度来看,上述定义的阈值可以被理解为诱导规范或“系统收益”。在这种背景下, 我们能够把阈值计算作为一个优化问题:
计算Jth,peak,peak
计算Jth,peak,2
注意 9.3 gamma;2(delta;dinfin; delta;uinfin;)在(9.32)中是由于Fd,r Delta;Fr的存在,而dr将在r立刻行动。在本章节中，我们将更详细地解释Jth,peak,2,的处理计算。
计算Jth,RMS,2
利用LMI技术,我们将推导算法来解决这些问题。这是在本章剩下的部分的主要目标。
9.5 计算Jth,RMS,2
在本节中,为了系统的范数有界与多面体模型的不确定性，我们解决Jth,RMS,2j的计算。
9.5.1 为了系统的范数有界的不确定性计算Jth,RMS,2
对于我们的目的,我们先给一个定理,建立Jth,RMS,2计算的基础。
定理9.1 已给系统(9.21)–(9.22)的范数有界的不确定性和gamma; gt;0，假设
则
如果存在则
当
这个定理的证明类似定理8.1，并且遵循有界实引理和引理8.1。
定理9.1的“离散时间类型”在下面给出。
定理9.2 已知系统
对于范数有界的不确定性,所有系统矩阵是使用在(9.21)-(9.22)中相同的对象,且gamma;gt; 0,假设xr(0)= 0,Delta;T(k)Delta;(k)le;I, 然后
如果存在则
在(9.35)中被定义。
证明由于类似定理8.1,我们只简要地概括出证明。如果
则明显(9.36)成立
回想
它遵循引理8.1，则上述不等式成立,已知
现在,应用Schur补充产量
最后，设定来完成证明。
定理9.1和9.2的帮助以及L2范数之间的关系和RMS,(9.16)或(9.17),我们有以下结果。
算法9.1
（针对系统范数有界的不确定性计算Jth,RMS,2）
例9.1 在这个例子中,我们说明了以上算法如何应用于计算实验室直流电机DR300的阀值。为了证明提出的方法也适用于转移函数方面的系统建模,我们的研究是基于在3.7.1给定的直流电机DR300的基于输入-输出的描述 。我们假设获得的名义模型不确定于
当，测量值y损坏。
图9.2 临界值和评估残余信号
现在我们应用残差产生器在例5.9中开发这个系统。它使
当
通过解决优化问题
最小值y 服从于(9.34) 或(9.37)
我们得到
假设delta;u,2 = 2.1 和评价时间窗口T = 10s, 最后将阈值设定为
验证设计结果,完成模拟不同的缺点。图9.2 和9.3显示阈值和评价残余信号的响应，执行器故障和传感器故障。
图9.3
9.5.2 针对多面体的不确定性计算Jth,RMS,2
现在,我们考虑系统(9.21)-(9.22)的多面体不确定性。以下两个定理直接遵循引理8.2和它的“离散时间类型”。
定理9.3 已知系统(9.21)–(9.22)的多面体不确定性和ygt;0,那么假设，则
如果存在P gt;0则lt;
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